高中數(shù)學 第三講 柯西不等式與排序不等式本講知識歸納與達標驗收同步配套教學案 新人教A版選修4-5

1、第三講 柯西不等式與排序不等式 對應學生用書P37考情分析從近兩年高考來看，對本部分內容還未單獨考查，可也不能忽視，利用柯西不等式構造“平方和的積”與“積的和的平方”，利用排序不等式證明成“對稱”形式，或兩端是“齊次式”形式的不等式問題真題體驗1(陜西高考)設a，b，m，nR ，且 a2b25，manb5，則 的最小值為_解析：由柯西不等式得(a2b2)(m2n2)(manb)2，將已知代入得m2n25 ，當且僅當“”時等號成立答案：2(福建高考)已知定義在R上的函數(shù)f(x)|x1|x2|的最小值為a.(1)求a的值；(2)若p，q，r是正實數(shù)，且滿足pqra，求證：p2q2r23.解：(1)

2、因為|x1|x2|(x1)(x2)|3，當且僅當1x2時，等號成立，所以f(x)的最小值等于3，即a3.(2)由(1)知pqr3，又因為p，q，r是正實數(shù)，所以(p2q2r2)(121212)(p1q1r1)2(pqr)29，即p2q2r23. 對應學生用書P37利用柯西不等式證明有關不等式問題柯西不等式的一般形式為(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2(ai，biR，i1,2，n)，形式簡潔、美觀、對稱性強，靈活地運用柯西不等式，可以使一些較為困難的不等式證明問題迎刃而解例1已知a，b，c，d為不全相等的正數(shù)，求證：.證明由柯西不等式()()()2，于是等號成立abcd.又已知a

3、，b，c，d不全相等，則中等號不成立即.利用排序不等式證明有關的不等式問題排序不等式具有自己獨特的體現(xiàn)：多個變量的排列與其大小順序有關，特別是與多變量間的大小順序有關的不等式問題，利用排序不等式解決往往很簡捷例2設a，b，c為實數(shù)，求證：a10b10c10.證明由對稱性，不妨設abc，于是a12b12c12，.由排序不等式：順序和亂序和得.又因為a11b11c11，再次由排序不等式：反序和亂序和得.由得a10b10c10.利用柯西不等式或排序不等式求最值問題有關不等式問題往往要涉及到對式子或量的范圍的限定其中含有多變量限制條件的最值問題往往難以處理在這類題目中，利用柯西不等式或排序不等式處理往

4、往比較容易例3已知5a23b2，求a22abb2的最大值解(a)2(b)22(ab)2a22abb2，當且僅當5a3b即a，b時取等號(5a23b2)a22abb2.a22abb2(5a23b2)1.a22abb2的最大值為1.例4 已知正實數(shù)x1，x2，xn滿足x1x2xnP，P為定值，求F的最小值解不妨設00且00，f(x) .當且僅當3，即2(2x)3(x)即x時等號成立答案：C7設a，b，c為正數(shù)，ab4c1，則2的最大值是()A. B.C2 D.解析：1ab4c()2()2(2)2()2()2(2)2(121212)(2)2，(2)23.即當且僅當ab4c時等式成立，所求為.答案：B

5、8函數(shù)f(x)cos x，則f(x)的最大值是()A. B.C1 D2解析：由f(x)cos x，所以f(x) cos x .當且僅當cos x時取等號答案：A9已知abc1，且a，b，cR，則的最小值為()A1 B3C6 D9解析：abc1，2(abc)(ab)(bc)(ca)(111)29.答案：D10設c1，c2，cn是a1，a2，an的某一排列(a1，a2，an均為正數(shù))，則的最小值是()A. BnC1 D不能確定解析：不妨設0a1a2an，則，是，的一個排列，又反序和亂序和，所以n.答案：B二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分把正確答案填寫在題中橫線上)11x，yR，若x

6、y1，則x2y2的最小值為_解析：令a(1,1)，b(x，y)，則abxy1，又|ab|a|b|，1()2()22(x2y2)當且僅當xy時取等號x2y2.答案：12已知A，B，C是三角形三個內角的弧度數(shù)，則的最小值是_解析：(ABC)(111)29，而ABC，故，當且僅當ABC時，等號成立答案：13函數(shù)y2的最大值是_解析：y .當且僅當x時取等號答案：14已知a，b，x，y均為正數(shù)，且，xy，則與的大小關系是_解析：，ba0.又xy0，由排序不等式知，bxay.又0，.答案：三、解答題(本大題共4小題，共50分解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)15(本小題滿分12分)已知實數(shù)

7、a，b，c滿足a2bc1，a2b2c21，求證：c1.證明：因為a2bc1，a2b2c21，所以a2b1c，a2b21c2.由柯西不等式：(1222)(a2b2)(a2b)2，5(1c2)(1c)2，整理得，3c2c20，解得c1.c1.16(本小題滿分12分)求函數(shù)y的最大值解：由1sin x0,4sin x10，得sin x1，則y22(14)，即y，當且僅當4(1sin x)sin x即sin x時等號成立，所以函數(shù)y的最大值為.17(本小題滿分12分)設a，b，cR，求證：.證明：(bc)(ca)(ab)2(abc)2，即2(abc)(abc)2.又a，b，cR，.18(本小題滿分12分)(1)已知：a，bR，ab4，證明：1；(2)已知： a，