高中數(shù)學(xué) 第三講 柯西不等式與排序不等式本講知識(shí)歸納與達(dá)標(biāo)驗(yàn)收同步配套教學(xué)案 新人教A版選修4-5

1、第三講 柯西不等式與排序不等式 對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)P37考情分析從近兩年高考來(lái)看，對(duì)本部分內(nèi)容還未單獨(dú)考查，可也不能忽視，利用柯西不等式構(gòu)造“平方和的積”與“積的和的平方”，利用排序不等式證明成“對(duì)稱(chēng)”形式，或兩端是“齊次式”形式的不等式問(wèn)題真題體驗(yàn)1(陜西高考)設(shè)a，b，m，nR ，且 a2b25，manb5，則 的最小值為_(kāi)解析：由柯西不等式得(a2b2)(m2n2)(manb)2，將已知代入得m2n25 ，當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)等號(hào)成立答案：2(福建高考)已知定義在R上的函數(shù)f(x)|x1|x2|的最小值為a.(1)求a的值；(2)若p，q，r是正實(shí)數(shù)，且滿(mǎn)足pqra，求證：p2q2r23.解：(1)

2、因?yàn)閨x1|x2|(x1)(x2)|3，當(dāng)且僅當(dāng)1x2時(shí)，等號(hào)成立，所以f(x)的最小值等于3，即a3.(2)由(1)知pqr3，又因?yàn)閜，q，r是正實(shí)數(shù)，所以(p2q2r2)(121212)(p1q1r1)2(pqr)29，即p2q2r23. 對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)P37利用柯西不等式證明有關(guān)不等式問(wèn)題柯西不等式的一般形式為(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2(ai，biR，i1,2，n)，形式簡(jiǎn)潔、美觀、對(duì)稱(chēng)性強(qiáng)，靈活地運(yùn)用柯西不等式，可以使一些較為困難的不等式證明問(wèn)題迎刃而解例1已知a，b，c，d為不全相等的正數(shù)，求證：.證明由柯西不等式()()()2，于是等號(hào)成立abcd.又已知a

3、，b，c，d不全相等，則中等號(hào)不成立即.利用排序不等式證明有關(guān)的不等式問(wèn)題排序不等式具有自己獨(dú)特的體現(xiàn)：多個(gè)變量的排列與其大小順序有關(guān)，特別是與多變量間的大小順序有關(guān)的不等式問(wèn)題，利用排序不等式解決往往很簡(jiǎn)捷例2設(shè)a，b，c為實(shí)數(shù)，求證：a10b10c10.證明由對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)abc，于是a12b12c12，.由排序不等式：順序和亂序和得.又因?yàn)閍11b11c11，再次由排序不等式：反序和亂序和得.由得a10b10c10.利用柯西不等式或排序不等式求最值問(wèn)題有關(guān)不等式問(wèn)題往往要涉及到對(duì)式子或量的范圍的限定其中含有多變量限制條件的最值問(wèn)題往往難以處理在這類(lèi)題目中，利用柯西不等式或排序不等式處理往

4、往比較容易例3已知5a23b2，求a22abb2的最大值解(a)2(b)22(ab)2a22abb2，當(dāng)且僅當(dāng)5a3b即a，b時(shí)取等號(hào)(5a23b2)a22abb2.a22abb2(5a23b2)1.a22abb2的最大值為1.例4 已知正實(shí)數(shù)x1，x2，xn滿(mǎn)足x1x2xnP，P為定值，求F的最小值解不妨設(shè)00且00，f(x) .當(dāng)且僅當(dāng)3，即2(2x)3(x)即x時(shí)等號(hào)成立答案：C7設(shè)a，b，c為正數(shù)，ab4c1，則2的最大值是()A. B.C2 D.解析：1ab4c()2()2(2)2()2()2(2)2(121212)(2)2，(2)23.即當(dāng)且僅當(dāng)ab4c時(shí)等式成立，所求為.答案：B

5、8函數(shù)f(x)cos x，則f(x)的最大值是()A. B.C1 D2解析：由f(x)cos x，所以f(x) cos x .當(dāng)且僅當(dāng)cos x時(shí)取等號(hào)答案：A9已知abc1，且a，b，cR，則的最小值為()A1 B3C6 D9解析：abc1，2(abc)(ab)(bc)(ca)(111)29.答案：D10設(shè)c1，c2，cn是a1，a2，an的某一排列(a1，a2，an均為正數(shù))，則的最小值是()A. BnC1 D不能確定解析：不妨設(shè)0a1a2an，則，是，的一個(gè)排列，又反序和亂序和，所以n.答案：B二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分把正確答案填寫(xiě)在題中橫線(xiàn)上)11x，yR，若x

6、y1，則x2y2的最小值為_(kāi)解析：令a(1,1)，b(x，y)，則abxy1，又|ab|a|b|，1()2()22(x2y2)當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)取等號(hào)x2y2.答案：12已知A，B，C是三角形三個(gè)內(nèi)角的弧度數(shù)，則的最小值是_解析：(ABC)(111)29，而ABC，故，當(dāng)且僅當(dāng)ABC時(shí)，等號(hào)成立答案：13函數(shù)y2的最大值是_解析：y .當(dāng)且僅當(dāng)x時(shí)取等號(hào)答案：14已知a，b，x，y均為正數(shù)，且，xy，則與的大小關(guān)系是_解析：，ba0.又xy0，由排序不等式知，bxay.又0，.答案：三、解答題(本大題共4小題，共50分解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)15(本小題滿(mǎn)分12分)已知實(shí)數(shù)

7、a，b，c滿(mǎn)足a2bc1，a2b2c21，求證：c1.證明：因?yàn)閍2bc1，a2b2c21，所以a2b1c，a2b21c2.由柯西不等式：(1222)(a2b2)(a2b)2，5(1c2)(1c)2，整理得，3c2c20，解得c1.c1.16(本小題滿(mǎn)分12分)求函數(shù)y的最大值解：由1sin x0,4sin x10，得sin x1，則y22(14)，即y，當(dāng)且僅當(dāng)4(1sin x)sin x即sin x時(shí)等號(hào)成立，所以函數(shù)y的最大值為.17(本小題滿(mǎn)分12分)設(shè)a，b，cR，求證：.證明：(bc)(ca)(ab)2(abc)2，即2(abc)(abc)2.又a，b，cR，.18(本小題滿(mǎn)分12分)(1)已知：a，bR，ab4，證明：1；(2)已知： a，