高中數(shù)學(xué) 第一章 空間幾何體 1.3.2 球的體積和表面積學(xué)案（含解析）新人教A版必修2

1、13.2球的體積和表面積球的體積和表面積提出問題從生活經(jīng)驗(yàn)中我們知道，不能將橘子皮展成平面，因?yàn)殚僮悠そ朴谇蛎妫@種曲面不能展成平面圖形那么，人們又是怎樣計(jì)算球面的面積的呢？古人在計(jì)算圓周率時(shí)，一般是用割圓術(shù)，即用圓的內(nèi)接或外切正多邊形來逼近圓的周長(zhǎng)理論上，只要取得圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)越多，圓周率越精確，直到無窮這種思想就是樸素的極限思想問題1：運(yùn)用上述思想能否計(jì)算球的表面積和體積？提示：可以問題2：求球的表面積和體積需要什么條件？提示：已知球的半徑即可導(dǎo)入新知1球的體積設(shè)球的半徑為R，則球的體積VR3.2球的表面積設(shè)球的半徑為R，則球的表面積S4R2，即球的表面積等于它的大圓面積的4倍化解

2、疑難1一個(gè)關(guān)鍵把握住球的表面積公式S球4R2，球的體積公式V球R3是計(jì)算球的表面積和體積的關(guān)鍵，半徑與球心是確定球的條件把握住公式，球的體積與表面積計(jì)算的相關(guān)題目也就迎刃而解了2兩個(gè)結(jié)論(1)兩個(gè)球的體積之比等于這兩個(gè)球的半徑之比的立方(2)兩個(gè)球的表面積之比等于這兩個(gè)球的半徑之比的平方球的體積與表面積例1若圓錐與球的體積相等，且圓錐底面半徑與球的直徑相等，求圓錐側(cè)面積與球面面積之比解設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h，母線長(zhǎng)為l，球的半徑為R，則由題意得(2R)2hR3，Rh，r2h，l h，S圓錐側(cè)rl2hh2h2，S球4R24h2，.類題通法求球的體積與表面積的方法(1)要求球的體積或表面積，

3、必須知道半徑R或者通過條件能求出半徑R，然后代入體積或表面積公式求解(2)半徑和球心是球的最關(guān)鍵要素，把握住了這兩點(diǎn)，計(jì)算球的表面積或體積的相關(guān)題目也就易如反掌了活學(xué)活用球的體積是，則此球的表面積是()A12B16C. D.答案：B根據(jù)三視圖計(jì)算球的體積與表面積例2一個(gè)幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，則該幾何體的表面積是_cm2.答案412類題通法1由三視圖計(jì)算球或球與其他幾何體的組合體的表面積或體積，最重要的是還原組合體，并弄清組合體的結(jié)構(gòu)特征和三視圖中數(shù)據(jù)的含義根據(jù)球與球的組合體的結(jié)構(gòu)特征及數(shù)據(jù)計(jì)算其表面積或體積此時(shí)要特別注意球的三種視圖都是直徑相同的圓2計(jì)算球與球的組合體的表面積與

4、體積時(shí)要恰當(dāng)?shù)胤指钆c拼接，避免重疊和交叉活學(xué)活用如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)可得該幾何體的表面積為()A18B30C33D40答案：C球的截面問題例3已知球的兩平行截面的面積為5和8，它們位于球心的同一側(cè)，且相距為1，求這個(gè)球的表面積解如圖所示，設(shè)以r1為半徑的截面面積為5，以r2為半徑的截面面積為8，O1O21，球的半徑為R，OO2x，那么可得下列關(guān)系式：rR2x2且r(R2x2)8，rR2(x1)2且rR2(x1)25，于是(R2x2)R2(x1)285，即R2x2R2x22x13，2x2，即x1.又(R2x2)8，R218，R29，R3.球的表面積為S4R243236.類題通

5、法球的截面問題的解題技巧(1)有關(guān)球的截面問題，常畫出過球心的截面圓，將問題轉(zhuǎn)化為平面中圓的問題(2)解題時(shí)要注意借助球半徑R，截面圓半徑r，球心到截面的距離d構(gòu)成的直角三角形，即R2d2r2.活學(xué)活用已知過球面上三點(diǎn)A，B，C的截面到球心的距離等于球半徑的一半，且ACBC6，AB4，求球的表面積與球的體積解：如圖，設(shè)球心為O，球半徑為R，作OO1垂直平面ABC于O1，由于OAOBOCR，則O1是ABC的外心設(shè)M是AB的中點(diǎn)，由于ACBC，則O1在CM上設(shè)O1Mx，易知O1MAB，設(shè)O1A，O1CCMO1Mx.又O1AO1C，x.解得x.則O1AO1BO1C.在RtOO1A中，O1O，OO1A

6、90，OAR.由勾股定理得22R2.解得R.故S球4R254，V球R327.1探究與球有關(guān)的組合問題典例一個(gè)長(zhǎng)方體的各個(gè)頂點(diǎn)均在同一球的球面上，且一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱的長(zhǎng)分別為1,2,3，則此球的表面積為_解析長(zhǎng)方體外接球直徑長(zhǎng)等于長(zhǎng)方體體對(duì)角線長(zhǎng)，即2R，所以球的表面積S4R214.答案14多維探究1球的內(nèi)接正方體問題若棱長(zhǎng)為2的正方體的各個(gè)頂點(diǎn)均在同一球面上，求此球的體積解：正方體的外接球直徑等于正方體的對(duì)角線長(zhǎng)，即2R2，所以R，所以V球()34.2球內(nèi)切于正方體問題將棱長(zhǎng)為2的正方體木塊削成一個(gè)體積最大的球，則該球的體積為()A.B.C. D.答案：A3球的內(nèi)接正四面體問題若棱長(zhǎng)為a的正

7、四面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為R的球面上，求球的表面積解：把正四面體放在正方體中，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為x，則ax，由題意2Rxa，S球4R2aa.4球的內(nèi)接圓錐問題球的一個(gè)內(nèi)接圓錐滿足：球心到該圓錐底面的距離是球半徑的一半，則該圓錐的體積和此球體積的比值為_解析：當(dāng)圓錐頂點(diǎn)與底面在球心兩側(cè)時(shí)，如圖所示，設(shè)球半徑為r，則球心到該圓錐底面的距離是，于是圓錐的底面半徑為 ，高為.該圓錐的體積為2r3，球體積為r3，該圓錐的體積和此球體積的比值為.同理，當(dāng)圓錐頂點(diǎn)與底面在球心同側(cè)時(shí)，該圓錐的體積和此球體積的比值為.答案：或5球的內(nèi)接直棱柱問題設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱的長(zhǎng)都為a，頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球

8、的表面積為()Aa2 B.a2C.a2 D5a2答案：B方法感悟1正方體的內(nèi)切球球與正方體的六個(gè)面都相切，稱球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，此時(shí)球的半徑為r1，過在一個(gè)平面上的四個(gè)切點(diǎn)作截面，如圖(1)2球與正方體的各條棱相切球與正方體的各條棱相切于各棱的中點(diǎn)，過球心作正方體的對(duì)角面有r2，如圖(2)3長(zhǎng)方體的外接球長(zhǎng)方體的八個(gè)頂點(diǎn)都在球面上，稱球?yàn)殚L(zhǎng)方體的外接球，根據(jù)球的定義可知，長(zhǎng)方體的體對(duì)角線是球的直徑，若長(zhǎng)方體過同一頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)為a，b，c，則過球心作長(zhǎng)方體的對(duì)角面有球的半徑為r3 ，如圖(3)4正方體的外接球正方體棱長(zhǎng)a與外接球半徑R的關(guān)系為2Ra.5正四面體的外接球正四面體的棱長(zhǎng)a與外接球半

9、徑R的關(guān)系為：2Ra.隨堂即時(shí)演練1兩個(gè)球的半徑之比為13，那么兩個(gè)球的表面積之比為()A19B127C13 D11答案：A2棱長(zhǎng)為2的正方體的外接球的表面積是()A8 B4C12 D16答案：C3火星的半徑約是地球半徑的一半，則地球的體積是火星體積的_倍答案：84已知OA為球O的半徑，過OA的中點(diǎn)M且垂直于OA的平面截球面得到圓M.若圓M的面積為3，則球O的表面積等于_答案：165(1)已知球的直徑為2，求它的表面積和體積(2)已知球的體積為36，求它的表面積答案：(1)表面積：4，體積：.(2)36.課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)一、選擇題1兩個(gè)球的體積之比為827，那么這兩個(gè)球的表面積之比為()A23B4

10、9C. D.答案：B2設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為2a，a，a，其頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的表面積為()A3a2 B6a2C12a2 D24a2答案：B3如果一個(gè)球的外切圓錐的高是這個(gè)球的半徑的3倍，則圓錐的側(cè)面面積和球的表面積之比為()A43 B31C32 D94答案：C4(全國(guó)乙卷)如圖，某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條互相垂直的半徑若該幾何體的體積是，則它的表面積是()A17 B18C20 D28答案：A5(山東高考)一個(gè)由半球和四棱錐組成的幾何體，其三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A. B.C. D1答案：C二、填空題6圓柱形容器的內(nèi)壁底半徑是10 cm，有一個(gè)實(shí)心鐵球浸沒于容器的水中，若取出這個(gè)鐵球，測(cè)得容器的水面下降了 cm，則這個(gè)鐵球的表面積為_ cm2.答案：1007正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上若該棱錐的高為4，底面邊長(zhǎng)為2，則該球的表面積為_答案：8(天津高考)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(單位：m)，則該幾何體的體積為_m3.答案：189三、解答題9某組合體的直觀圖如圖所示，它的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，若圖中r1，l3，試求該組合體的表面積和體積解：該組合體的表面積S4r22rl41221310，該組合體的體積Vr3r2l13123.10用兩個(gè)平行平面去截