HPM視角下數(shù)學(xué)歸納法的教學(xué)設(shè)計(jì)

1、數(shù)學(xué)歸納法的教學(xué)設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)123班 朱婷婷 一、教材分析本節(jié)課是人教版教材高中數(shù)學(xué)選修2-2第二章2.3第1課時(shí)的內(nèi)容。數(shù)學(xué)歸納法是以解決與正整數(shù)有關(guān)問題的一種推理方法，它將一個(gè)無窮歸納過程轉(zhuǎn)化為一個(gè)有限步驟的演繹過程，是證明與正整數(shù)有關(guān)問題的有力工具。在高一數(shù)列的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了用歸納法推導(dǎo)等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，但其正確性還有待用數(shù)學(xué)歸納法加以證明，因此數(shù)學(xué)歸納法學(xué)習(xí)是數(shù)列知識的深入與擴(kuò)展。它既是高中代數(shù)中的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)內(nèi)容，也是一種重要的數(shù)學(xué)方法。2、 學(xué)情分析學(xué)生通過第二章前兩節(jié)的學(xué)習(xí)，已基本掌握歸納推理，且已經(jīng)具備了一定的觀察、歸納、猜想能力。另外高二學(xué)生經(jīng)過了一年半的高

2、中學(xué)習(xí)之后，已初步具有了發(fā)現(xiàn)和探究問題的能力，這為本節(jié)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法奠定了一定的基礎(chǔ)。三、教學(xué)目標(biāo)1、知識與技能(1)了解數(shù)學(xué)推理的常用方法（歸納法）；(2)了解數(shù)學(xué)歸納法的原理及使用范圍；(3)初步掌握數(shù)學(xué)歸納法證題的兩個(gè)步驟和一個(gè)結(jié)論；(4)會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題。2、過程與方法通過對歸納法的復(fù)習(xí)，說明不完全歸納法的弊端，并通過多米諾骨牌實(shí)驗(yàn)引出數(shù)學(xué)歸納法的原理。在學(xué)習(xí)中培養(yǎng)學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的意識，解決問題和數(shù)學(xué)交流的能力,學(xué)會(huì)用總結(jié)、歸納、演繹類比探求新知識。3.情感態(tài)度價(jià)值觀目標(biāo)（1）通過對數(shù)學(xué)歸納法原理的探究，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)摹?shí)事求是的科學(xué)態(tài)度和

3、不怕困難，勇于探索的精神。（2）努力創(chuàng)設(shè)課堂愉悅情境，使學(xué)生處于積極思考、大膽質(zhì)疑氛圍，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和課堂效率。教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn)：（1）使學(xué)生理解數(shù)學(xué)歸納法的實(shí)質(zhì)；（2）掌握數(shù)學(xué)歸納法證題步驟,尤其是遞推步驟中歸納假設(shè)和恒等變換 的運(yùn)用。 難點(diǎn)：（1）對數(shù)學(xué)歸納法原理和遞推思想的理解；（2）如何利用假設(shè)證明當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論正確。四、教學(xué)方法講授法、引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法、類比探究法、講練結(jié)合法5、 教學(xué)工具黑板、粉筆、PPT課件，傳統(tǒng)板書與多媒體輔助教學(xué)相結(jié)合。6、 教學(xué)過程（1） 創(chuàng)設(shè)情境，引出課題情境一：費(fèi)馬猜想（不完全歸納法） 師：在本章前兩節(jié)內(nèi)容中我們學(xué)習(xí)過不完全歸納法與完全歸納法，那么

4、老師先請同學(xué)們來觀察一下下面這組數(shù)： 1640年，法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬觀察到這些數(shù)都是質(zhì)數(shù)，于是他提出猜想：任何形如（nN*)的數(shù)都是質(zhì)數(shù)，這就是著名的費(fèi)馬猜想。這個(gè)猜想是正確的嗎？學(xué)生思考計(jì)算。師：其實(shí)在費(fèi)馬猜想提出半個(gè)世紀(jì)以后，另一位數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)n=5時(shí)，F(xiàn)5=641不是質(zhì)數(shù)，從而推翻了費(fèi)馬猜想。（說明不完全歸納的結(jié)論是不可靠的，進(jìn)而引出第二個(gè)問題）情境二：華羅庚的“摸球?qū)嶒?yàn)”（完全歸納法）師：我們再來探究一下華羅庚的“摸球?qū)嶒?yàn)”。（1）這里有一袋球共12個(gè)，我們要判斷這一袋球是白球，還是黑球，請問怎么判斷？啟發(fā)回答:方法一：把它全部倒出來看一看。特點(diǎn)：方法是正確的，但操作上缺乏順序性。 方法

5、二：一個(gè)一個(gè)拿，拿一個(gè)看一個(gè)。 比如結(jié)果為：第一個(gè)白球，第二個(gè)白球，第三個(gè)白球，第十二個(gè)白球，由此得到：這一袋球是白球。 特點(diǎn)：有順序，有過程。（2）如果想象袋子有足夠大容量，球也無限多？要判斷這一袋球是白球，還是黑球，上述方法可行嗎？生：不可行。(利用完全歸納法得出的結(jié)論是可靠的，但對于解決與正整數(shù)有關(guān)的問題卻無法完成。）總結(jié)：通過前面兩個(gè)例子，使我們進(jìn)一步認(rèn)識到用不完全歸納法得出的結(jié)論，因?yàn)橹豢疾炝瞬糠智闆r，結(jié)論不一定具有普遍性。要想正確的解決一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的問題，就可靠性而言，應(yīng)該選用完全歸納法。現(xiàn)在請同學(xué)們想一想，在以前給出的數(shù)學(xué)公式中，有沒有用不完全歸納法得出的？ 生：有。例如等差

6、數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)。師：很好。我們是由等差數(shù)列前幾項(xiàng)滿足的規(guī)律:，歸納出了它的通項(xiàng)公式的。等差數(shù)列的通項(xiàng)公式也是由有限個(gè)特殊事例歸納出來的，也可能不正確，又因?yàn)檎麛?shù)有無限多個(gè)，不可能一一驗(yàn)證，那么該如何證明這類有關(guān)正整數(shù)的命題呢？（追問引出課題：數(shù)學(xué)歸納法）師：其實(shí)這種方法來源于生活，請同學(xué)們看多米諾骨牌的視頻。情境三：播放多米諾骨牌視頻問：怎樣才能讓多米諾骨牌全部倒下？設(shè)計(jì)意圖：首先通過兩個(gè)數(shù)學(xué)史上有名的歸納法案例探究激發(fā)學(xué)生的興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性?；仡櫟炔顢?shù)列通項(xiàng)公式推導(dǎo)過程點(diǎn)出兩種歸納法的不同特點(diǎn)。通過梳理我們熟悉的一些問題，很自然為本節(jié)課主題與重點(diǎn)引出打下伏筆。最后順勢用多米諾

7、骨牌引出數(shù)學(xué)歸納法，并揭示數(shù)學(xué)歸納法的原理。（二）師生合作，探究新知探究一：讓所有的多米諾骨牌全部倒下，必須具備什么條件？條件一：第一張骨牌倒下；條件二：任意相鄰的兩張骨牌，前一張倒下一定導(dǎo)致后一張倒下。（此問題由學(xué)生合作交流完成，必要時(shí)，教師重新播發(fā)視頻或給予提示。）探究二：同學(xué)們在看完多米諾骨牌視頻后，是否對證明等差數(shù)列的通項(xiàng)公式有些啟發(fā)？（證明本題對任意正整數(shù)都成立相當(dāng)于驗(yàn)證讓骨牌全部倒下的條件）通過以上合作交流，以及使骨牌全部倒下的兩個(gè)條件，此時(shí)，師生共同探究得到解決引例的方法：（1）第一塊骨牌倒下相當(dāng)于證明當(dāng)n=1時(shí)，命題成立；（2）對于任一塊骨牌倒下相鄰的后一塊也倒下，相當(dāng)于當(dāng)n=

8、k(k1,kN*)時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立。師：（投影）證明an=a1+(n-1)d：（1）當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，等式是成立的。（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)等式成立，就是，下面看看是否能推出時(shí)等式也成立，那么等于什么？生：由可得 。師：看來時(shí)等式也成立，這樣做對嗎？生：（齊答）不對。師：用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)命題時(shí)，難點(diǎn)和關(guān)鍵都在第二步，而這一步主要在于合理運(yùn)用歸納假設(shè)，即以“n=k時(shí)命題成立”為條件，證明“證n=k+1時(shí)命題也成立”。這里容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是證明中不使用“n=k時(shí)命題成立”這個(gè)條件，而直接將n=k+1代入命題，便斷言此命題成立，從而得出原命題成立的結(jié)論。下面請同學(xué)們給出正確的證明過程

9、。（學(xué)生齊答，教師繼續(xù)板書）。這就是說，當(dāng)時(shí)，等式也成立，大家說有了這兩步，是不是就證明了等差數(shù)列通項(xiàng)公式的正確性了呢？生：n=1時(shí)等式成立n=2時(shí)等式成立n=3時(shí)等式成立所以n取任何正整數(shù)等式都成立。師：我再補(bǔ)充一點(diǎn)：完成第一步、第二步后，必須要下結(jié)論，其格式為：根據(jù)(1)(2)可知公式對任意都成立.探究三：第一塊骨牌不倒行不行？假如從第二塊、第三塊骨牌開始將骨牌推倒，結(jié)果會(huì)是怎樣？（第一塊骨牌必須倒，才能讓所有的骨牌倒下。如果從第二塊或第三塊開始倒，則只能讓該塊骨牌后面的全部倒下。）此問題說明第一塊骨牌倒下對全部骨牌倒下的重要性，同時(shí)也說明在證明與正整數(shù)有關(guān)問題時(shí)，n0是使命題成立的最小正

10、整數(shù)，n0不一定取1，也可以取其它正整數(shù)。（三）理解升華，加深認(rèn)識 師：（板書） “數(shù)學(xué)歸納法”1、 數(shù)學(xué)歸納法的原理： 一般地，證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：（1）（歸納奠基）證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0(n0N*)時(shí)命題成立；（2）（歸納遞推）假設(shè)n=k(kn0,kN*)時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)，命題也成立。只要完成以上兩個(gè)步驟，就可以判定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立。上述方法叫做數(shù)學(xué)歸納法。2、數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)：無窮的歸納有限的演繹（遞推關(guān)系） 師：用數(shù)學(xué)歸納法證題時(shí)，兩個(gè)步驟各起到了怎樣的作用呢？生：第一步是命題遞推的基礎(chǔ)，第二步是命題遞推的根據(jù)。師：回答的很

11、好，我再強(qiáng)調(diào)一點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法證題時(shí)這兩個(gè)步驟缺一不可，只有把兩個(gè)步驟中的結(jié)論結(jié)合起來，才能斷定命題成立。 設(shè)計(jì)意圖：至此，由生活實(shí)例出發(fā)，與學(xué)生一起解析歸納原理, 揭示遞推過程。教師強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)歸納法特點(diǎn)。數(shù)學(xué)歸納法實(shí)際上是一種以數(shù)學(xué)歸納法原理為依據(jù)的演繹推理，它將一個(gè)無窮的歸納過程轉(zhuǎn)化為一個(gè)有限步驟的演繹過程，是處理自然數(shù)有關(guān)問題的有力工具，一種具普遍性的方法。（四）錯(cuò)例辨析，突出重點(diǎn)1、求證：所有的奇數(shù)都是2的倍數(shù)。證明：假設(shè)第m個(gè)奇數(shù)為k，且k為2的倍數(shù)，則第m+1個(gè)奇數(shù)為k+2，而k+2也是2的倍數(shù)，所以命題成立。2、用數(shù)學(xué)歸納法證明：證明：（1）當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，等式成立；（2）假設(shè)當(dāng)（

12、k1,kN*）時(shí)，那么：，則當(dāng)時(shí)也成立。根據(jù)（1）和（2），可知等式對任何都成立。注：對例1，師先讓學(xué)生討論一下數(shù)學(xué)歸納法中沒有第一步行不行，進(jìn)而說出這個(gè)例子，讓學(xué)生理解當(dāng)時(shí)，命題成立的重要性，沒有第一步，就如同空中閣樓，是不可靠的。另外在例1中，讓學(xué)生明白假設(shè)是錯(cuò)誤的，此處并不是把假設(shè)當(dāng)作條件來用，數(shù)學(xué)歸納法的第二步其實(shí)是一個(gè)條件命題，第一步已經(jīng)驗(yàn)證是正確的，如果有懷疑，第二步中k可以取n0，這其實(shí)是在證明一個(gè)傳遞性。對例2，師首先說明在利用數(shù)學(xué)歸納法證題時(shí)，當(dāng)時(shí)的證明必須利用的歸納假設(shè)，并用課本上的思考題舉例：即猜想證明,在時(shí)必須要利用這一步。然后請學(xué)生觀察例2并從中找出錯(cuò)誤（第二步中的錯(cuò)

13、誤是沒有利用n=k的假設(shè)進(jìn)行證明，而直接利用了等差數(shù)列求和公式），以增強(qiáng)學(xué)生對第二步的理解。設(shè)計(jì)意圖：通過對兩個(gè)錯(cuò)誤例題的分析，加深學(xué)生對數(shù)學(xué)歸納法的原理的理解，從而正確掌握數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟。（五）典例分析例1：用數(shù)學(xué)歸納法證明漢諾塔猜想。師：（板書）1、猜想：H（n)=-12、證明：（1） n=1時(shí)，H（1）=1，顯然命題成立；（2） 假設(shè)n=k（k1,kN*)時(shí),命題成立，即H（k)=-1；則由H（k）=2H（k-1）+1得H(k+1)=2H(k)+1=2（1）+1=1，即當(dāng)n=k+1時(shí)，命題也成立。根據(jù)（1）和（2），可知等式對任何都成立。注：漢諾塔是根據(jù)一個(gè)傳說形成的一個(gè)問題：有三

14、根桿子A，B，C。A桿上有n個(gè)(n1)穿孔圓盤，盤不能疊在小盤上面。(提示：可將圓盤臨時(shí)置于B桿，也可將從A桿移出的圓盤重新移回A桿，但都必須尊循上述兩條規(guī)則。)問：如何移？最少要移動(dòng)多少次？變量設(shè)置：n為圓盤個(gè)數(shù)，H（n）為移動(dòng)盤子次數(shù)的最小值。遞推公式： H（n）=2H（n-1）+1通項(xiàng)公式：H（n）=2n-1例2、用數(shù)學(xué)歸納法證明證明：（1）當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，等式成立；（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)，等式成立，即：，那么： 設(shè)計(jì)意圖：通過典型例題使學(xué)生探究嘗試，體驗(yàn)“觀察歸納猜想證明”的完整過程，既能進(jìn)一步熟悉數(shù)學(xué)歸納法，也能培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立研究數(shù)學(xué)問題的意識和能力。師板書寫現(xiàn)完整過程，以突出數(shù)學(xué)歸納法證題

15、的一般步驟。（六）反饋練習(xí)，加深理解1、證明：當(dāng)自然數(shù)n1，3（+2n)2、證明：當(dāng)自然數(shù)n4， n!3、證明：當(dāng)自然數(shù)n， 設(shè)計(jì)意圖：通過這幾個(gè)練習(xí)能看到學(xué)生對數(shù)學(xué)歸納法證題步驟的掌握情況。這樣既可以檢驗(yàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)水平，保證不盲目拔高，同時(shí)不沖淡本節(jié)課的重點(diǎn)，對例題是一個(gè)很好的對比與補(bǔ)充。（7） 拓展練習(xí)，提高能力習(xí)題1、平面上有n條直線，其中沒有兩條直線平行，沒有三條直線交于同一點(diǎn)。用數(shù)學(xué)歸納法證明：他們共有交點(diǎn)n(n1)個(gè)。習(xí)題2、證明斐波納契數(shù)列中的第3n個(gè)數(shù)（n為正整數(shù)）都是偶數(shù)，第5n個(gè)數(shù)都能被5整除。（斐波納契數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，從第三項(xiàng)開始的每一項(xiàng)都是前面二項(xiàng)之和） 設(shè)計(jì)意圖：在學(xué)生初步掌握數(shù)學(xué)歸納法后，用兩個(gè)較難的習(xí)題去拓展學(xué)生的思維，提高他們的能力，更加鞏固對數(shù)學(xué)歸納法的運(yùn)用。（八）歸納小結(jié)，概念提升問：今天我們學(xué)習(xí)了一種很重要的數(shù)學(xué)證明方法，通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？（學(xué)生總結(jié)，教師整理）1、數(shù)學(xué)來源于生活，生活中有許多形如“數(shù)學(xué)歸納法”這樣的方法等著我們?nèi)グl(fā)現(xiàn)。2、數(shù)學(xué)歸