平行四邊形(基礎(chǔ))知識講解

1、平行四邊形（基礎(chǔ)）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1理解平行四邊形的概念，掌握平行四邊形的性質(zhì)定理和判定定理；2能初步運用平行四邊形的性質(zhì)進行推理和計算，并體會如何利用所學(xué)的三角形的知識解決四邊形的問題3. 能綜合運用平行四邊形的判定定理和平行四邊形的性質(zhì)定理進行證明和計算【要點梳理】要點一、平行四邊形的定義平行四邊形的定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形. 平行四邊形ABCD記作“ABCD”，讀作“平行四邊形ABCD”. 要點詮釋：平行四邊形的基本元素：邊、角、對角線.相鄰的兩邊為鄰邊，有四對；相對的邊為對邊，有兩對；相鄰的兩角為鄰角，有四對；相對的角為對角，有兩對；對角線有兩條.要點二、平行四邊形的性

2、質(zhì) 1邊的性質(zhì)：平行四邊形兩組對邊平行且相等；2角的性質(zhì)：平行四邊形鄰角互補，對角相等；3對角線性質(zhì)：平行四邊形的對角線互相平分；4平行四邊形是中心對稱圖形，對角線的交點為對稱中心. 要點詮釋：（1）平行四邊形的性質(zhì)中邊的性質(zhì)可以證明兩邊平行或兩邊相等；角的性質(zhì)可以證明兩角相等或兩角互補；對角線的性質(zhì)可以證明線段的相等關(guān)系或倍半關(guān)系.（2）由于平行四邊形的性質(zhì)內(nèi)容較多，在使用時根據(jù)需要進行選擇.（3）利用對角線互相平分可解決對角線或邊的取值范圍的問題，在解答時應(yīng)聯(lián)系三角形三邊的不等關(guān)系來解決.要點三、平行四邊形的判定1.兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；2.兩組對邊分別相等的四邊形是平行四

3、邊形；3.一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；4.兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；5.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.要點詮釋：（1）這些判定方法是學(xué)習(xí)本章的基礎(chǔ)，必須牢固掌握，當(dāng)幾種方法都能判定同一個平行四邊形時，應(yīng)選擇較簡單的方法.（2）這些判定方法既可作為判定平行四邊形的依據(jù)，也可作為“畫平行四邊形”的依據(jù).要點四、平行線間的距離1.兩條平行線間的距離：（1）定義：兩條平行線中，一條直線上的任意一點到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線間的距離.注：距離是指垂線段的長度，是正值.（2）平行線間的距離處處相等任何兩平行線間的距離都是存在的、唯一的，都是夾在這兩條平行線間最短的線

4、段的長度.兩條平行線間的任何兩條平行線段都是相等的. 2.平行四邊形的面積： 平行四邊形的面積底高；等底等高的平行四邊形面積相等.【典型例題】類型一、平行四邊形的性質(zhì)1、如圖，在ABCD中，E為BC邊上一點，且AB=AE（1）求證：ABCEAD；（2）若AE平分DAB，EAC=20，求AED的度數(shù)【思路點撥】（1）先證明B=EAD，然后利用SAS可進行全等的證明；（2）證明ABE為等邊三角形，可得BAE=60，求出BAC的度數(shù)，即可得AED的度數(shù)【答案與解析】解：（1）在平行四邊形ABCD中，ADBC，BC=AD，EAD=AEB，又AB=AE，B=AEB，B=EAD，在ABC和EAD中，ABC

5、EAD（2）AE平分DAB，BAE=DAE，BAE=AEB=B，ABE為等邊三角形，BAE=60，BAC=BAE+EAC=80，ABCEAD，AED=BAC=80【總結(jié)升華】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，解答本題注意掌握平行四邊形的對邊平行且相等的性質(zhì)舉一反三：【變式】如圖，E、F是平行四邊形ABCD的對角線AC上的點，CEAF，請你猜想：線段BE與線段DF有怎樣的關(guān)系？并對你的猜想加以證明. 【答案】證明：猜想：BE DF且BEDF.四邊形ABCD是平行四邊形 CBAD，CBAD BCEDAF 在BCE和DAF中 BCEDAF BEDF，BECDFA BEDF即 BE

6、DF且BEDF.類型二、平行四邊形的判定2、如圖所示，E、F分別為四邊形ABCD的邊AD、BC上的點，且四邊形AECF和DEBF都是平行四邊形，AF和BE相交于點G，DF和CE相交于點H求證：四邊形EGFH為平行四邊形【思路點撥】欲證四邊形EGFH為平行四邊形，只需證明它的兩組對邊分別平行，即EGFH，F(xiàn)GHE可用來證明四邊形EGFH為平行四邊形【答案與解析】 證明： 四邊形AECF為平行四邊形， AFCE 四邊形DEBF為平行四邊形， BEDF 四邊形EGFH為平行四邊形【總結(jié)升華】平行四邊形的定義既包含平行四邊形的性質(zhì)，又可以用來判定一個四邊形是平行四邊形，即平行四邊形的兩組對邊分別平行，

7、兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形舉一反三：【變式】（2015廈門校級一模）如圖，在四邊形ABCD中，ABCD，BAD的平分線交直線BC于點E，交直線DC于點F，若CE=CF，求證：四邊形ABCD是平行四邊形【答案】證明：BAD的平分線交直線BC于點E，1=2，ABCD，1=F，CE=CF，F(xiàn)=3，1=3，2=3，ADBC，ABCD，四邊形ABCD是平行四邊形3、如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F分別在AD、BC邊上，且AECF求證：（1）ABECDF；（2）四邊形BFDE是平行四邊形【答案與解析】證明：（1）四邊形ABCD是平行四邊形，AC，ABCD，在ABE和CDF中，ABECDF（S

8、AS）；（2）四邊形ABCD是平行四邊形，ADBC，ADBC，AECF，ADAEBCCF，即DEBF，四邊形BFDE是平行四邊形【總結(jié)升華】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定以及全等三角形的判定此題難度不大，注意熟練掌握定理的應(yīng)用類型三、平行四邊形與面積有關(guān)的計算4、如圖所示，在ABCD中，AEBC于點E，AFCD于點F若EAF60，BE2，DF3，求AB，BC的長及ABCD的面積【思路點撥】在四邊形AECF中，由已知條件EAF60，可求出C120，進而求出B60由于BE2，在RtABE中，可求出AB同理，在RtAFD中求出AD要求ABCD的面積，需求出AE或AF的長【答案與解析】解：在四邊形AECF中，EAF60，AEBC，AFCD， C360EAFAECAFC360609090120 在ABCD中， ABCD， BC180CD180， BD60 在RtABE中，B60，BE2， AB4，CDAB4(平行四邊形的對邊相等) 同理，在RtADF中，AD6， BCAD6， () CDAF()【總結(jié)升華】本題除了應(yīng)用平行四邊形的性質(zhì)及勾股定理外，還應(yīng)用了“直角三角形中，30的銳角所對的直角邊等于斜邊的一半”這個直角三角形的性質(zhì)舉一反三：【變式】如圖，已