幾個(gè)典型的代數(shù)系統(tǒng).doc

1、第六章 幾個(gè)典型的代數(shù)系統(tǒng)本章討論幾類重要的代數(shù)結(jié)構(gòu)：半群、群、環(huán)、域、格與布爾代數(shù)等我們先討論最簡(jiǎn)單的半群 6.1 半群 定義 6.1 稱代數(shù)結(jié)構(gòu)為半群（semigroups），如果 * 運(yùn)算滿足結(jié)合律當(dāng)半群含有關(guān)于 * 運(yùn)算的么元，則稱它為獨(dú)異點(diǎn)（monoid），或含么半群 例6.1 ，都是半群，后兩個(gè)又是獨(dú)異點(diǎn) 半群及獨(dú)異點(diǎn)的下列性質(zhì)是明顯的定理6.1 設(shè)為一半群,那么（1）的任一子代數(shù)都是半群，稱為的子半群 （2）若獨(dú)異點(diǎn)的子代數(shù)含有么元e,那么它必為一獨(dú)異點(diǎn),稱為的子獨(dú)異點(diǎn) 證明簡(jiǎn)單，不贅述 定理6.2 設(shè),是半群,h為S到S的同態(tài),這時(shí)稱h為半群同態(tài)對(duì)半群同態(tài)有 （1）同態(tài)象為一半

2、群 （2）當(dāng)為獨(dú)異點(diǎn)時(shí)，則為一獨(dú)異點(diǎn). 定理6.3 設(shè)為一半群,那么 （1）為一半群，這里SS為S上所有一元函數(shù)的集合， 為函數(shù)的合成運(yùn)算 （2）存在S到SS的半群同態(tài) 證（l）是顯然的 為證（2）定義函數(shù)h:SSS：對(duì)任意aS h（a）= fa fa：SS 定義如下: 對(duì)任意xS， fa（x）= a*x 現(xiàn)證h為一同態(tài)對(duì)任何元素a,bS h(a*b)fa*b （l11） 而對(duì)任何xS， fa*b（x）= a*b*x = fa（fb（x）= fafb （x） 故fa*b = fafb ,由此及式（l11）即得 h（a*b）= fa*b = fafb h（a） h（b）本定理稱半群表示定理。它表

3、明，任一半群都可以表示為（同態(tài)于）一個(gè)由其載體上的函數(shù)的集合及函數(shù)合成運(yùn)算所構(gòu)成的半群。這里同構(gòu)于 - 的一個(gè)子代數(shù)6.2 群群是最重要的代數(shù)結(jié)構(gòu)類，也是應(yīng)用最為廣泛的代數(shù)結(jié)構(gòu)類.我們以后要深入研究的代數(shù)結(jié)構(gòu)環(huán)和域也都是以群為基礎(chǔ)的.6.2.1 群及其基本性質(zhì) 定義6.6 稱代數(shù)結(jié)構(gòu)為群（groups）,如果 （1）為一半群 （2）中有么元e. （3）中每一元素都有逆元 或者說，群是每個(gè)元素都可逆的獨(dú)異點(diǎn)群的載體常用字母G表示 ，因而字母G也常用于表示群 定義 6.7 設(shè) 為一群 （1）若 * 運(yùn)算滿足交換律，則稱G為交換群或阿貝爾群（Abel group）阿貝爾群又稱加群，常表示為（這里的

4、+ 不是數(shù)加，而泛指可交換二元運(yùn)算回憶: *常被稱為乘）加群的么元常用0來表示，常用-x來表示x的逆元. （2） G為有限集時(shí)，稱G為有限群（finite group）,此時(shí)G的元素個(gè)數(shù)也稱G的階（order）；否則，稱G為無限群（infinite group） 例6.6 （1）（整數(shù)集與數(shù)加運(yùn)算）為一阿貝爾群（加群）,數(shù)0為其么元.不是群因?yàn)樗蟹橇阕匀粩?shù)都沒有逆元. （2）（正有理數(shù)與數(shù)乘）為一阿貝爾群，1為其么元. 不是群，因?yàn)閿?shù)0無逆元 （3）為一k階阿貝爾群, 數(shù)0為其么元 . （4）設(shè)P為集合A上全體雙射函數(shù)的集合， 為函數(shù)合成運(yùn)算.那麼 為一群A上恒等函數(shù)E A為其么元。一般不是

5、阿貝爾群. 群的下列基本性質(zhì)是明顯的. 定理1l.9 設(shè)為群，那麼 （1）G有唯一的么元，G的每個(gè)元素恰有一個(gè)逆元 （2）關(guān)于x的方程a*xb，x*ab都有唯一解（3）G的所有元素都是可約的因此，群中消去律成立：對(duì)任意a,x,ySa*x = a*y 蘊(yùn)涵 x = y ; x*a = y*a 蘊(yùn)涵 x = y （4）當(dāng)G e時(shí), G無零元（5）么元e是G的唯一的等冪元素. 證（1）,（2）,（3）是十分明顯的 （4）若G有零元,那么它沒有逆元，與G為群矛盾。（注意，G = e時(shí),e既是么元，又是零元.）（5）設(shè)G中有等冪元x，那么 x*x = x 又 x = x*e 所以 x*x = x*e 由

6、（3）得x = e 。由（3）我們得知，特別地，當(dāng)G為有限群時(shí)，* 運(yùn)算的運(yùn)算表的每一行（列）都是G中元素的一個(gè)全排列從而有限群的運(yùn)算表中沒有一行（列）上有兩個(gè)元素是相同的因此，當(dāng)G分別為1，2，3階群時(shí), * 運(yùn)算都只有一個(gè)定義方式(即,不計(jì)元素記號(hào)的不同,只有一張定義 * 運(yùn)算的運(yùn)算表,如表6.2所示),于是可以說,1,2,3階的群都只有一個(gè). 定理6.10對(duì)群的任意元素 a,b， （1）(a-1)-1a（2）(a*b) -1b-1*a-1 （3）(ar) -1 = (a1)r（記為ar）（r為整數(shù)） 證（2）(a*b) *(b-1*a-1) = a*(b *b-1)*a-1 = e (b

7、-1*a-1)*(a*b) = b-1*(a-1*a)*b = e 因此a*b的逆元為b-1*a-1，即(a*b) -1b-1*a-1（3）對(duì)r歸納.r = 1時(shí)命題顯然真.設(shè)(ar) -1 = (a1)r,即(a1)r 是ar的逆元.那么 ar+1*(a1)r+1 = ar*(a*a-1)*(a1)rar*(a1)r = e (a1)r+1* ar+1 = (a1)r*(a-1*a)* ar(a1)r* ar = e 故ar+1 的逆元為(a1)r+1，即(ar+1) -1 = (a1)r+1歸納完成, （2）得證. 對(duì)群的任意元素 a,我們可以定義它的冪：a0=e，對(duì)任何正整數(shù)m，am+1

8、=am*a，又據(jù)定理6.1O，在群中可引入負(fù)指數(shù)冪的概念：a-m= (a-1)m，且容易證明: 定理6.11 對(duì)群的任意元素 a,b，及任何整數(shù)m，n, （l）a m*a n = am+n （2）(a m) n = amn 如果我們用aG和Ga分別表示下列集合aG = a*g | gG， Ga = g*a | gG那么我們有以下定理 定理 6.12 設(shè)為一群,a為 G中任意元素，那么aG = G = Ga特別地，當(dāng)G為有限群時(shí)，* 運(yùn)算的運(yùn)算表的每一行（列）都是G中元素的一個(gè)全排列證 aG G是顯然的 設(shè) gG，那么a1*gG，從而a*(a1*g) aG，即 gaG因此 GGa aG = G得

9、證Ga = G同理可證這一事實(shí)的一個(gè)明顯推論是：當(dāng)G為有限群時(shí)，* 運(yùn)算的運(yùn)算表的每一行（列）都是G中元素的一個(gè)全排列.從而有限群的運(yùn)算表中沒有一行（列）上有兩個(gè)元素是相同的因此，當(dāng)G為1，2，3階群時(shí), * 運(yùn)算都只有一個(gè)定義方式(即,不計(jì)元素記號(hào)的不同,只有一張定義 * 運(yùn)算的運(yùn)算表,如表6.2所示),于是可以說,1,2,3階的群都只有一個(gè). 表6.2*e*ea*eabEeeeaeeabaaeaabebbea 對(duì)群還可以引入元素的階的概念. 定義6.8 設(shè)為群，aG，稱 a 的階(order)為n，如果an = e,且n為滿足此式的最小正整數(shù).上述n不存在時(shí),稱a有無限階.例6.7(1)

10、任何群G的幺元e的階為1, 且只有幺元e的階為1。(2) 中幺元0的階為1，而整數(shù)a 1 0時(shí),a有無限階.(3) 中1的階是6,2的階是3,3的階是2,4的階是3,5的階是6. 關(guān)于元素的階有以下性質(zhì). 定理6.13 有限群G的每個(gè)元素都有有限階,且其階數(shù)不超過群G的階數(shù) | G | .證 設(shè)a為G的任一元素,考慮 e = a0 ,a1 ,a2 , ,aG這 | G |+1個(gè)G中元素.由于G中只有 | G |個(gè)元素,因此它們中至少有兩個(gè)是同一元素,不妨設(shè) ar = as (0 r s | G | )于是as-r = e,因此a有有限階,且其階數(shù)至多是s-r,不超過群G的階數(shù)| G | .定理

11、6.14 設(shè)為群,G中元素a的階為k,那么,an = e當(dāng)且僅當(dāng)k整除n .證 先證充分性 設(shè) ak e，k整除n，那么n = kr（r為整數(shù)），因?yàn)閍k e，所以an = akr = (ak )r = e r = e 。 再證必要性 設(shè) an e，n = mk r，其中m為n除以 k的商，r為余數(shù)，因此0 rk 。于是eanamk+ramk*arar因此,由k的最小性得r = 0，k整除n 定理6.15 設(shè)為群，a為G中任一元素，那么a與a-1具有相同的階證 只要證 a具有階n當(dāng)且僅當(dāng)a-1具有階n 。由于逆元是相互的，即(a-1)-1a，同此只需證：當(dāng)a具有階n時(shí)，a-1 也具有階n 。

12、設(shè)a的階是n，a-1的階是m 。由于(a-1)n(an)-1e -1 e 故mn 。又因?yàn)閍 m(a-1)m)-1 e -1 e 故nm 。因此，nm 。6.2.2 子群、陪集和拉格朗日定理定義6.9 設(shè)為群稱為G的子群(subgroups)，如果為G的子代數(shù) ，且為一群 子群有下列特征性(判別法) 定理6.16設(shè)為群，那么為子群的充分必要條件是 （l）G的么元eH （2）若a，bH ，則a*bH （3）若aH，則a-1H 證 先證必要性 設(shè)H為子群那么（2）是顯然的（因H為子代數(shù)）為證（l）,設(shè)的么元為e,那么e* e= e。由于在G中只有e是等冪元,故e = e , eH得證 .為證（3）

13、設(shè)中任一元素a的H中逆元為b,那么a*b = b*a = e,由逆元的唯一性,b就是a在G中的逆元,即b = a-1H. 充分性是明顯的.事實(shí)上只要條件（2），（3）便可使為子群,因?yàn)镠不空時(shí)條件（2）（3）蘊(yùn)涵條件（l）.因此，可用（2）,（3）來判別非空子集H是否構(gòu)成G的子群。 顯然,對(duì)任何群G , 及均為其子群,它們被稱為平凡子群,其它子群則稱為非平凡子群或真子群 例6.8 （l）群有非平凡子群 和 （2）設(shè)EI,E為偶數(shù)集。那么為的子群,但不是的子群.對(duì)于有限群,子群的判別更為簡(jiǎn)單.定理6.17 設(shè)為有限群,那么當(dāng)G的非空子集H對(duì) * 運(yùn)算封閉時(shí), 即為G的子群.證 由于G為有限群,H

14、必為有限集.設(shè) | H | = r,aH.考慮 a1 ,a2 , ,ar+1, 它們都在H中(H對(duì)*運(yùn)算封閉),因此必定有ai = aj (0 i j r+1 ),從而aj-i = e,故eH .若H =e,為G的子群得證.若H e,設(shè)a為H中任一不同于e的元素.同上可證,有k2使ak = e,從而有 a*ak-1 = ak-1*a = e因此, ak-1= a-1 H. 據(jù)定理6.16,為G的子群得證 由于我們采用的上述證明方法僅僅依賴H的有限性,可見本定理可加強(qiáng)為:設(shè)為群，H為G的非空有限子集，且H對(duì) * 運(yùn)算封閉,那么為的子群.和子群概念直接相關(guān)的是陪集的概念 定義6.10 設(shè)為的子群，

15、那么對(duì)任一 gG，稱gH為H的左陪集(left coset) 稱Hg為H的右陪集(right coset).這里 gH = g*h | hH ，Hg = h*g | hH 關(guān)于左（右）陪集我們有以下定理 定理6.18 設(shè)為的子群，那麼 （1）當(dāng)gH時(shí)， gH = H（Hg = H）。 （2）對(duì)任意gG，| gH | = | H |（ | Hg | = | H | ）. 證（l）由定理6.12立得. 為證（2），只要證H與gH之間存在雙射定義函數(shù)f:HgH如下:對(duì)任何一hH， f（h）= g*h設(shè)h1h2 ，那么f（h1）= g*h1,f（h2）= g*h2，若f（h1）= f（h2），那么由可

16、約性即得h1=h2，與h1h2矛盾f為單射得證.f為滿射是顯然的.因此f為雙射| gH | = | H | 得證同理可證 | Hg | = | H | 定理ll.19 設(shè)為的子群，a，bG，那么,或者aH = bH（Ha = Hb），或者aHbH = （HaHb = ） I 證 設(shè)aHbH ，那么有h1,h2H使得 a*h1 = b*h2 .于是ab*h2*h1-1。為證aHbH ，設(shè)xaH。那么有h3H，使得x = a*h3 = b*(h2*h1-1*h3) bH . aHbH得證. 同理可證bHaH .于是aH = bH得證對(duì)于右陪集Ha，Hb，同上可證平行的命題 由于對(duì)每一元素g G，g

17、gH (gHg)，gHG（HgG），因此據(jù)以上討論可以看出，子群H的全體左（右）陪集構(gòu)成G的一個(gè)劃分，且劃分的各單元與H（亦即陪集eH，He）具有同樣數(shù)目的元素由此可導(dǎo)出下列重要的拉格朗日定理（Lagrange theorem）. 定理6.20 設(shè)為有限群的子群，那么H的階整除G的階 證 由以上討論知 | G | = k | H | ，其中k為不同左（右）陪集的數(shù)目.定理得證.注意，拉格朗日定理之逆不能成立。我們將指出一個(gè)12階群、它沒有6階的子群（見練習(xí)6.3第11題之（3）.因此，據(jù)此定理只可判別一子代數(shù)“非子群”,卻不可用它來判別一子代數(shù)“是子群”。 例6.9 拉格朗日定理可用于證明下列

18、事實(shí)： （1）有限群中任何元素的階均為G的階的因子。 設(shè)a為G中任一元素,a的階為r那么必為G的r階子群，因此r整除 | G | 。 （2）質(zhì)數(shù)階的群沒有非平凡子群 利用陪集還可定義陪集等價(jià)關(guān)系 定義6.11 設(shè)為群的子群。定義 G上H的左(右)陪集等價(jià)關(guān)系。對(duì)任意a,bG ab當(dāng)且僅當(dāng)a，b在H的同一左（右）陪集中 顯然，確為一等價(jià)關(guān)系關(guān)于有下列事實(shí)。 定理6.21 設(shè)為群G上H的左（右）陪集等價(jià)關(guān)系，那么 ab當(dāng)且僅當(dāng) a-1*bH 證 設(shè)ab，則有g(shù)G，使a，bgH，因而有hl,h2H,使得a = g*h1，bg*h2 .于是 a-1*b = (g*h1)-1*(g*h2) = h1-1

19、*h2 H 反之，設(shè)a-1*bH,即有hH 使a-1*b = h 。因而b = a*haH 。而aaH顯然，故a，b在同一左陪集aH中，ab真對(duì)右陪集等價(jià)關(guān)系同理可證上述定理6.2.3 循環(huán)群 定義6.13 稱為循環(huán)群(cyclic group)，如果 G為群，且G中存在元素g,使 G以g為生成集，即 G的任何元素都可表示為g的冪（約定e = g0），這時(shí)g稱為循環(huán)群G的生成元（generater）例6.12 （1）為循環(huán)群，1或（l）為其生成元 . （2）令 A =2i | iI，那么(為數(shù)乘 )是循環(huán)群 ，2是生成元 （3）為循環(huán)群，1，2，3，4都可以是生成元 關(guān)于循環(huán)群的下列性質(zhì)是明顯

20、的 定理6.26 設(shè)為循環(huán)群，g為生成元，那么 （1） G為阿貝爾群 （2） G的 h同態(tài)像是以 h（g）為生成元的循環(huán)群 （3） G為無限循環(huán)群時(shí)必同構(gòu)于 （4） G為有限循環(huán)群時(shí)，必有 G = e，g，g2,，gn-1其中n = | G |，也是g的階從而n階循環(huán)群必同構(gòu)于 定理 6.27 循環(huán)群的子群都是循環(huán)群 證 設(shè)為g生成的循環(huán)群，為其子群當(dāng)然，H中元素均可表示為gr形 （1）若He,顯然H為循環(huán)群 （2）若He，那么H中有g(shù)i(i0)由于H為子群，H中必還有g(shù)-i .因此，不失一般性，可設(shè)i為正整數(shù)，并且它是H中元素的最小正整數(shù)指數(shù)現(xiàn)證H為gi生成的循環(huán)群 設(shè)gj為H中任一元素令j

21、mi+r，其中m為i除j的商，r為剩余，0ri于是 gj = gmi+rgmi*gr gr= g-mi*gj由于gj, g-miH，（因gmiH），故grH，根據(jù)i的最小性，r 0，從而 gj = gmi = (gi)m， H為循環(huán)群證訖 根據(jù)上述定理，立即可以推得以下定理 定理6.28 設(shè)為g生成的循環(huán)群 （1）若G為無限群，則G有無限多個(gè)子群，它們分別由g0,g1,g2, g3,生成 （2）若G為有限群，| G | n，且n有因子 k1,k2,k3,kr，那么G有r個(gè)循環(huán)子群，它們分別由 gk1,gk2,gk3,生成.（注意這r個(gè)子群中可能有相同者） 例6.13 （1）有循環(huán)子群： ， ，

22、 ，,， （2）有循環(huán)子群： ， ， , 6.2.4 置換群 定義6.14 稱有限集上的雙射函數(shù)為置換稱任意集合上的雙射函數(shù)為變換 例6.14設(shè)A = l,2，那么A上有兩個(gè)置換： 當(dāng)A = 1,2,3時(shí), A上有6個(gè)置換： 一般地，A = a1，a2，an時(shí)，A上有 n!個(gè)置換置換 p滿足 p(ai)aji時(shí)，可表示為 置換的合成運(yùn)算通常用記號(hào) 表示之，對(duì)置換的獨(dú)特表示形式計(jì)算它們的合成時(shí)，可像計(jì)算兩個(gè)關(guān)系的合成那樣來進(jìn)行例如： = = 因此,應(yīng)當(dāng)注意 （pipj）（x）= pj（pi（x） 對(duì)于置換的合成運(yùn)算而言，A上置換的全體中有么元-恒等函數(shù),又稱么置換，且每一置換都有逆置換，因此置換

23、全體構(gòu)成一個(gè)群。 定義6.15 將n個(gè)元素的集合A上的置換全體記為S，那么稱群為n次對(duì)稱群（symmetric group），它的子群又稱為n次置換群（permutation group） 對(duì)置換群稍作推廣便有變換群的概念. 定義6.16 對(duì)任意集合A定義集合S S = f | fAAf為雙射那么群及其子群稱為變換群，其中 為函數(shù)的合成運(yùn)算 像定理6.3那樣，可以證明下列群表示定理 定理6.30 每個(gè)群均同構(gòu)于一個(gè)變換群，特別地,每一個(gè)有限群均同構(gòu)于一個(gè)置換群. 證 設(shè)為任一群,對(duì)G中每一元素a，定義雙射函數(shù)fa:GG如下。 fa（x） a*x（請(qǐng)讀者自行證明fa確為雙射）令 F = fa |

24、 aG 現(xiàn)證為群（ 為函數(shù)合成運(yùn)算） （l）F對(duì) 運(yùn)算封閉。設(shè)faF，fbF,那么aG，bG考慮fafb。：對(duì)任意xG， fafb（x）fa(fb(x) a*b*x fa*b（x）即 fafb fa*b 。由于a*bG，fa*b F,故fafb F （2） 運(yùn)算顯然滿足結(jié)合律 （3） 運(yùn)算有么元fe Fe為群G的么元。 （4）F中每一元素fa均有逆元fa-1這是因?yàn)橛蒩G知a-1G，從而fa-1F，并且對(duì)任意xG，faf a-1（x）= a*a-1*xx = e*x = fe（x），即faf a-1= fe 。再證與同構(gòu)為此定義函數(shù)h:GF，使得對(duì)任一xG，h(x) = fx 顯然h為雙射（請(qǐng)

25、讀者自證）.另仿(1)可證h保運(yùn)算,即對(duì)G中任意元素x,y，有h(x*y)= fx*y = fxfy = h(x) h(y)6.3 環(huán)和域這一節(jié)我們要討論含有兩個(gè)二元運(yùn)算的代數(shù)結(jié)構(gòu)，環(huán)和域.6.3.1 環(huán) 下文中符號(hào)，表示一般二元運(yùn)算，分別稱為加、乘運(yùn)算（未必是數(shù)加和數(shù)乘），并對(duì)它們沿用數(shù)加、數(shù)乘的術(shù)語及運(yùn)算約定，例如,a，b的積表示為ab，n個(gè)a的和a+a表示為na, n個(gè)a的積表示為an 等 定義6.17 稱代數(shù)結(jié)構(gòu)為環(huán)（ring），如果 （1）是阿貝爾群（或加群） （2）是半群 （5）乘運(yùn)算對(duì)加運(yùn)算可分配，即對(duì)任意元素a,b,c R， a（bc） ab+ac , （bc）a = ba+c

26、a 例6.16 （1）(I為整數(shù)集，+,為數(shù)加與數(shù)乘運(yùn)算)為一環(huán) （2）為環(huán)，因?yàn)槲覀円阎獮榧尤?，為半群，此外?ak（b+ kc）= ak (b+c)mod k) =（a（b+c）（mod k）（mod k） =（a（b+c）（mod k） =（ab+ac）（mod k） = ab（mod k）+ kac（mod k） = akb + k akc （其中x（mod k）表示x除以k的剩余）且同理可證（b+ kc）k a = bka + k cka . （3）所有整數(shù)分量的n n方陣集合Mn與矩陣加運(yùn)算（+）及矩陣乘運(yùn)算（）構(gòu)成一環(huán)，即， 為環(huán)（4）所有實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式（以x為變?cè)┑募蟁x與多

27、項(xiàng)式加，乘運(yùn)算構(gòu)成環(huán)，即為環(huán) （5）(其中0為加法么元、乘法零元)為一環(huán)，稱為零環(huán)。（其它環(huán)至少有兩個(gè)元素） （6）(其中0為加法么元、乘法零元，e為乘法么元)為一環(huán) 環(huán)有下列基本性質(zhì)定理6.31 設(shè)為環(huán)，0為加法么元,那么對(duì)任意a,b,cR （1）0a = a0 = 0 (加法么元必為乘法零元) （2）（-a）b = a（-b）= -ab（-a表示a的加法逆元,下同） （3）（-a）（-b）= ab （4）若用ab表示a+(-b),則 （a-b）cacbc , c（a-b）ca-cb 證（1） 0a0+(-a)0 = a(0+0)+(-a)0 = a0+ a0+(-a)0 = a0 同理可證

28、0a = 0 . （2）(-a)b = ab+(-ab)+(-a)b = (a+(-a)b+(-ab) = 0b+(-ab) = -ab 同理可證a（-b）= -ab . （3）仿（2）可證 （4）(a-b)c (a+(-b)c = ac+(-b)cac+(-bc) = ac-bc同理可證c(a-b)cacb 注意, 中乘運(yùn)算未必滿足交換律，也未必有么元（但一定有零元）定義6.18 環(huán)中運(yùn)算滿足交換律時(shí)，稱 R為交換環(huán)（commutative rings），當(dāng)運(yùn)算有么元時(shí)，稱R為含么環(huán)（ring with unity） 例6.16中（1）,（2） ，（4）是含么交換環(huán)，（3）是含么環(huán). 環(huán)不僅

29、必有零元，還可能有下述所謂零因子 定義6.19 設(shè)為環(huán)，若有非零元素 a，b滿足 ab = 0，則稱a,b為R的零因子（divisor of 0），并稱R為含零因子環(huán)，否則稱R為無零因子環(huán)例6.17 在環(huán)中, 0是零元,2,3為零因子，因?yàn)?630在環(huán)中有零因子 和 因?yàn)?= 它是矩陣加的么元 6.3.2域定義6.28 稱為域（fields）,如果為一環(huán),且為阿貝爾群由于群無零因子（為什么？），因此域必定是整環(huán)事實(shí)上，域也可定義為每個(gè)非零元素都有乘法逆元的整環(huán) 例6.23 為域，但不是域，因?yàn)樵谡麛?shù)集中整數(shù)沒有乘法逆元為域，1和4的逆元是4和1,2和3互為逆元.但不是域，它甚至不是整環(huán)，同為它

30、有零因子，例如2，3，它們沒有乘法逆元域有以下基本性質(zhì) 定理 6.44 為域當(dāng)且僅當(dāng) p為質(zhì)數(shù) 證 設(shè)p不是質(zhì)數(shù)，那么由上例可知Np有零因子（p的因子），故不是域 反之，當(dāng)p為質(zhì)數(shù)時(shí)，可證Np中所有非零元素都有p運(yùn)算的逆元，從而含么交換環(huán)為域 設(shè)q是Np中任一非零元素，那么q與p互質(zhì)據(jù)數(shù)論事實(shí),有整數(shù)m,n使mp + nq = 1 從而(mp+nq)(mod p) = 1即mp(mod p) +p nq(mod p) = 10 + n(mod p) p q(mod p)= 1, 或 n(mod p) p q= 1因此,q有逆元n(mod p) . 定理得證. 定理6.45 有限整環(huán)都是域 證

31、設(shè)為有限整環(huán)，由于為有限含幺交換半群,據(jù)定理6.17的證明，為阿貝爾群,因而為域 定理6.46 設(shè)為域,那么F中的非零元素在中有相同的階. 證 當(dāng)中每個(gè)元素都是無限階時(shí),定理當(dāng)然真當(dāng)中有非零元素a具有有限階n，欲證中任一元素b的階亦必是n 。 事實(shí)上(nb)a = b(na) = 0，而F無零因子,且a 0故nb = 0，因此b的階不超過n (a的階) 現(xiàn)設(shè) b的階為m。由(ma)b=a(mb) = 0,可知ma = 0, 因此a的階(n)不超過m（b的階）.故a的階等于b的階6.4 格6.1.1 格有序集 格是一種特殊的有序集，因此我們先從有序集方面引入格的概念。對(duì)有序集的任一子集可引入上確

32、界和下確界的概念，但并非每個(gè)子集都有上確界或下確界，例如在圖6.1中哈斯圖所示的有序集里，a，b沒有上確界，c，d沒有下確界。不過，當(dāng)某子集的上、下確界存在時(shí)，這個(gè)上、下確界是唯一確定的。定義6.1稱有序集為格（lattice），如果L中的任何兩個(gè)元素的子集都有上確界和下確界。 通常用ab表示a，b的上確界，用ab表示a，b的下確界， 和分別稱為保聯(lián)（join）和保交（meet）運(yùn)算。由于對(duì)任何a，b，ab及ab都是L中確定的成員，因此 , 均為L(zhǎng)上的運(yùn)算 a b c d d ca b 圖6.1例 6.1 （1）對(duì)任意集合A，有序集為格，其中保聯(lián)、保交運(yùn)算即為集合的并、交運(yùn)算，即 BCBC ,

33、 BCBC （2）設(shè)I+表示正整數(shù)集，| 表示I+上整除關(guān)系，那么為格，其中保聯(lián)、保交運(yùn)算即為求兩正整數(shù)最小公倍數(shù)和最大公約數(shù)的運(yùn)算，即 mnlcm（m,n）， mngcd（m,n） (3) 全序集（鏈）都是格，其中保聯(lián)、保交運(yùn)算可如下規(guī)定：對(duì)任何a，bL。 （4）設(shè)P為命題公式集合，邏輯蘊(yùn)涵關(guān)系 為P上的序關(guān)系（指定邏輯等價(jià)關(guān)系為相等關(guān)系），那么，為格，對(duì)任何命題公式 A，B， AB = AB，AB = AB（等式右邊的，為邏輯運(yùn)算符）。 現(xiàn)設(shè)表示序關(guān)系的逆關(guān)系，那么據(jù)逆關(guān)系的性質(zhì)可知：定理6.1當(dāng)為格時(shí)，亦為格,且它的保聯(lián)、保交運(yùn)算,對(duì)任意a,bL滿足 ab = ab , ab = ab于

34、是，我們有下列對(duì)偶原理。 定理6.2A為格上的真表達(dá)式，當(dāng)且僅當(dāng)A*為上的真表達(dá)式，這里A*稱為A的對(duì)偶式，即將A中符號(hào)，分別改為，后所得的公式，而 ab意即ba 。 回憶命題演算、集合代數(shù)中所述對(duì)偶定理，上述定理的意義是十分清楚的。 例6.2 格中的真表達(dá)式AB A有對(duì)偶真表達(dá)式ABA。格中真表達(dá)式pq q有對(duì)偶真表達(dá)式q pq 。現(xiàn)在我們深入地討論格的性質(zhì)。在有必要時(shí)，下文將同時(shí)給出對(duì)偶的兩個(gè)真表達(dá)式. 定理6.3設(shè)為格，那么對(duì)L中任何元素a,b,c 有 （l）aab， bab aba， abb （2）若ab，ac，則abc 若ba，ca，則bca （3）若ab，cd，則acbd，acbd

35、 （4）若ab，則acbc，acbc 證（l），（2）由運(yùn)算，的定義立得 （3）設(shè)ab， cd，我們只證acbd，將acbd 的證明留給讀者。 由（1）bbd，dbd，于是 abd，cbd（由的傳遞性）。于是由（2）得acbd 。 （4）這是（3）的特例. 定理6.4設(shè)為格，那么對(duì)L中任意元素a,b,c 有 （1）aa = a ，aaa (冪等律) （2）ab = ba ，ab = ba （交換律）（3）a（bc）=（ab）c a（bc）=（ab）c (結(jié)合律) （4）a (ab) = a ，a (ab) = a (吸收律) 證（1），（2）是顯然的 （3）證a（bc）=（ab）c,另一式請(qǐng)讀

36、者自證。因?yàn)?（ab）c ab a （ab）c ab b （ab）c c從而 （ab）c bc ,進(jìn)而 （ab）c a（bc） 。同理可證 a（bc）（ab）c 由的反對(duì)稱性，（3）式得證.；。 （4）顯然，a（ab） a；另一方面 ，由于 aa ， a ab故而 a a（ab）于是有 a (ab) = a a (ab) = a 的證明留給讀者 本定理給出了格的本質(zhì)屬性，我們將看到，格的其它性質(zhì)都是它們的邏輯結(jié)果，包括有關(guān)序關(guān)系的性質(zhì)。格還有下列性質(zhì)； 定理6.5 設(shè)為格。那么對(duì)L中任意元素a,b,c有 （1） ab當(dāng)且僅當(dāng)。ab = a當(dāng)且僅當(dāng)ab = b 。 （2） a（bc）（ab）（a

37、c）。 （3） ac當(dāng)且僅當(dāng) a (bc)（ab）c。 證（1）首先設(shè)ab，那么aab；另一方面aba是已知成立的。因此有ab = a 。 再設(shè)a = ab ，那么ab =（ab）b，即ab = b（由吸收律）。 最后，設(shè)bab，那么由aab立得ab。 至此,（1）中3個(gè)命題的等價(jià)性得證。 （2）首先 aab ，aac ,故a（ab）（ac）.其次因?yàn)?bcbab，bccac從而有bc（ab）（ac）由兩者即得 a（bc）（ab）（ac） （3）設(shè)ac ，那么ac = c,代入（2）式即得 a (bc)（ab）c 反之，設(shè)a (bc)（ab）c 。由于 aa（bc），（ab）c c因此有ac。

38、這一小節(jié)里我們將從代數(shù)結(jié)構(gòu)的角度來討論格，即把格定義為載體和滿足特定公理的運(yùn)算組成的代數(shù)結(jié)構(gòu)，并用抽象代數(shù)研究工具討論之。 定義6.2設(shè)L為一非空集合，, 為L(zhǎng)上的兩個(gè)二元運(yùn)算，稱 為格代數(shù)，或簡(jiǎn)單地稱為格，如果中運(yùn)算,滿足冪等律、交換律、結(jié)合律和吸收律（見定理6.4）。 現(xiàn)在我們要證明這里定義的格正是定義6.l中所說的格,為此，需要在上定義序關(guān)系，使得對(duì)任意a，bL, ab為a，b的上確界，ab為a，b的下確界（依據(jù)序）。從而使定理6.3成立。 定義L上關(guān)系如下；對(duì)任意a，bL， ab當(dāng)且僅當(dāng) ab = a （1）可證為L(zhǎng)上序關(guān)系。 l）因?yàn)閍aa，故aa自反性得證。 2）設(shè)ab，bc，那么

39、ab = a，bc = b，于是 ac =（ab）ca（bc）ab = a故ac 。傳遞性得證。 3）設(shè) ab，ba，那么 ab = a，ba = b。 由于ab = ba。故a = b。反對(duì)稱性得證。 （2）可證ab當(dāng)且僅當(dāng)abb。 設(shè)ab，那么ab = a ，從而（ab）bab,由吸收律即得 b = ab。 反之，設(shè)abb，那么a（ab） ab，由吸收律可知aab，即ab 。 （3）可證ab為a,b的上確界。 由吸收律a（ab） a，b（ab）b，可知aab，bab,因而ab為a,b的上界。設(shè)c為a，b任一上界，即ac ，bc，那么，acc, bcc ,于是 acbccc亦即abcc,故a

40、bc 。這表明ab為a，b的上確界。 （4）仿上可證ab為a，b的下確界。細(xì)節(jié)留給讀者補(bǔ)出。 對(duì)作為代數(shù)結(jié)構(gòu)的格，自然可以討論它的特殊常元的存在性，討論它的子格以及同態(tài)、同構(gòu)映射等。 定義6.3 格稱為完全格（complete lattice），如果L的所有非空子集都有上確界和下確界。設(shè)SL，那么S的上確界記為 或 ，S的下確界記為 或 。L的上確界記為1，L的下確界記為0 。 定理6.6設(shè)為完全格，那么0為運(yùn)算么元、運(yùn)算零元；l為運(yùn)算么元、運(yùn)算零元 證 由定義知：對(duì)L中任意元素a有 0a1，從而 0a a0 a ， 0a a0 0 1a a1 = 1 ， 1a = a1 a 有限格總是完全格，這是極易想到的。無限格中是否有完全格呢？例 l中（l）（其中 A為無限集時(shí)），（4），（5）是完全格，但（2）不是完全格。下面的定理可用于完全格的判定。 定理6.7有序集為完全格的充分必要條件是:存在L的上確界1，并且L的每一非空子集有下確界。 證 必要性是顯然的。 為證充分性，只要證L的任一非空子集都有上確界 設(shè) SL ，S ?？紤] S的上界集合B。由于1B是顯然的，因此B 。據(jù)題設(shè)，B有下確界，記為b，現(xiàn)證b為S的上確界 b當(dāng)然是S的上界，因?yàn)閎B。另設(shè)a是S的任一上界，那么 aB，因而 ba。這就是說，b是S的上確界。 我們不打算重復(fù)敘