數(shù)學(xué)小知識(shí)小匯總

1、數(shù)學(xué)小知識(shí) 阿拉伯?dāng)?shù)字 在生活中，我們經(jīng)常會(huì)用到0、1、2、3、4、5、6、7、8、9這些數(shù)字。那么你知道這些數(shù)字是誰發(fā)明的嗎？ 這些數(shù)字符號(hào)原來是古代印度人發(fā)明的，后來傳到阿拉伯，又從阿拉伯傳到歐洲，歐洲人誤以為是阿拉伯人發(fā)明的，就把它們叫做“阿拉伯?dāng)?shù)字”，因?yàn)榱鱾髁嗽S多年，人們叫得順口，所以至今人們?nèi)匀粚㈠e(cuò)就錯(cuò)，把這些古代印度人發(fā)明的數(shù)字符號(hào)叫做阿拉伯?dāng)?shù)字。 現(xiàn)在，阿拉伯?dāng)?shù)字已成了全世界通用的數(shù)字符號(hào)。 九 九 歌 九九歌就是我們現(xiàn)在使用的乘法口訣。 遠(yuǎn)在公元前的春秋戰(zhàn)國時(shí)代，九九歌就已經(jīng)被人們廣泛使用。在當(dāng)時(shí)的許多著作中，都有關(guān)于九九歌的記載。最初的九九歌是從“九九八十一”起到“二二如四

2、”止，共36句。因?yàn)槭菑摹熬啪虐耸弧遍_始，所以取名九九歌。大約在公元五至十世紀(jì)間，九九歌才擴(kuò)充到“一一如一”。大約在公元十三、十四世紀(jì)，九九歌的順序才變成和現(xiàn)在所用的一樣，從“一一如一”起到“九九八十一”止。 現(xiàn)在我國使用的乘法口訣有兩種，一種是45句的，通常稱為“小九九”；還有一種是81句的，通常稱為“大九九”。音樂與數(shù)學(xué)動(dòng)人的音樂常給人以美妙的感受。古人云：余音繞梁，三日不絕，這說的是唱得好，也有的人五音不全，唱不成調(diào)，這就是唱得不好了。同樣是唱歌，甚至是唱同樣的歌，給人的感覺卻是迥然不同。其重要原因在于歌唱者發(fā)聲振動(dòng)頻率不同。人類很早就在實(shí)踐中對(duì)聲音是否和諧有了感受，但對(duì)諧和音的比較深

3、入的了解只是在弦樂器出現(xiàn)以后，這是因?yàn)橄艺駝?dòng)頻率和弦的長度存在著簡單的比例關(guān)系。近代數(shù)學(xué)已經(jīng)得出弦振動(dòng)的頻率公式是 W = ，這里，P是弦的材料的線密度；T是弦的張力，也就是張緊程度；L是弦長；W是頻率，通常以每秒一次即赫茲為單位。那么，決定音樂和諧的因素又是什么呢？人類經(jīng)過長期的研究，發(fā)現(xiàn)它決定于兩音的頻率之比。兩音頻率之比越簡單，兩音的感覺效果越純凈、愉快與和諧。首先，最簡單之比是：。例如，一個(gè)音的頻率是160、7赫茲，那么，與它相鄰的協(xié)和音的頻率應(yīng)該是2260、7赫茲，這就是高八度音。而與頻率為2260、7赫茲的音和諧的次一個(gè)音是4260、7赫茲。這樣推導(dǎo)下去，我們可以得到下面一列和諧的

4、音樂：260、7，2260、7，22260、7我們把它簡記為C0，C1，C2，稱為音名。由于我們討論的是音的比較，可暫時(shí)不管音的絕對(duì)高度（頻率），因此又可將音樂簡寫為：C0C1C2C3需要說明的是，在上面的音列中，不僅相鄰的音是和諧的，而且C與C2，C與C3等等也都是和諧的。一般說來這些協(xié)和音頻率之比是2M。（其中M是自然數(shù)）等號(hào)與不等號(hào)Ec等號(hào)與不等號(hào)的發(fā)明權(quán)屬于英國人。年，數(shù)學(xué)家雷科德在他的智慧的激勵(lì)一書中，首先把“”作為等號(hào)，他說：“最相像的兩件東西是兩條平行線，所以這兩條線應(yīng)該用來表示相等?！彼臅腔鄣募?lì)也因此引起了人們極大的興趣。在數(shù)學(xué)中，等號(hào)“”既可表示兩個(gè)數(shù)相等，也可以表示兩

5、個(gè)式子相等，但無論何種相等，它們都遵循以下規(guī)則：（）若a=b，那么對(duì)于任何數(shù)c，有ac=bc；（）若a=b，那么b=a；（）若a=b，b=c，那么a=c；（）若a=b，那么對(duì)于任何數(shù)c，有ac=bc。人們起初用“ ”和“ ”。表示大于和小于，英國人烏特勒首次在他的數(shù)學(xué)入門一書中使用了它們。另一英國數(shù)學(xué)家哈里奧特引入了現(xiàn)在的兩個(gè)符號(hào)：、。他在自己的書中明確地寫道：“ab表示a量大于b量，ab表示a量小于b量。”不等號(hào)在數(shù)學(xué)中有著普遍應(yīng)用，在使用它們時(shí)，應(yīng)遵循如下原則（a、b為實(shí)數(shù)）（）若ab，則ba（）若ab，那么對(duì)于任何實(shí)數(shù)c，有acbc；（）若ab，c為大于零的實(shí)數(shù)，那么acbc；（）若ab

6、，c為小于零的實(shí)數(shù)，那么acbc；（）若ab，bc，那么ac。 加減乘除的來歷加減乘除（、()、(）等數(shù)學(xué)符號(hào)是我們每一個(gè)人最熟悉的符號(hào)，因?yàn)椴还庠跀?shù)學(xué)學(xué)習(xí)中離不開它們，幾乎每天的日常的生活也離不開它們。別看它們這么簡單，直到世紀(jì)中葉才全部形成。法國數(shù)學(xué)家許凱在年寫成的算術(shù)三篇中，使用了一些編寫符號(hào)，如用D表示加法，用M表示減法。這兩個(gè)符號(hào)最早出現(xiàn)在德國數(shù)學(xué)家維德曼寫的商業(yè)速算法中，他用“”表示超過,用“”表示不足。到年，荷蘭的赫克首次用“”表示加法，用“”表示減法。年，德國數(shù)學(xué)家施蒂費(fèi)爾在整數(shù)算術(shù)中正式用“”和“”表示加減，這兩個(gè)符號(hào)逐漸被公認(rèn)為真正的算術(shù)符號(hào)，廣泛采用。以符號(hào)“”代表乘是英

7、國數(shù)學(xué)家奧特雷德首創(chuàng)的。他于年出版的數(shù)學(xué)之鑰中引入這種記法。據(jù)說是由加法符號(hào)變動(dòng)而來，因?yàn)槌朔ㄟ\(yùn)算是從相同數(shù)的連加運(yùn)算發(fā)展而來的。后來，萊布尼茲認(rèn)為“”容易與“X”相混淆，建議用“”表示乘號(hào)，這樣，“”也得到了承認(rèn)。 除法符號(hào)“”是英國的瓦里斯最初使用的，后來在英國得到了推廣。除的本意是分，符號(hào)“”的中間的橫線把上、下兩部分分開，形象地表示了“分”。至此，四則運(yùn)算符號(hào)齊備了，當(dāng)時(shí)還遠(yuǎn)未達(dá)到被各國普遍采用的程度。零的歷史數(shù)學(xué)史家把稱作“哥倫布雞蛋”，這不僅是因?yàn)榈男螤钕耠u蛋，其中還含有深刻的哲理。凡事都是開創(chuàng)時(shí)困難，有人開了端，仿效是很容易的。的出現(xiàn)就是一個(gè)典型的例子，在發(fā)明之前，誰都想不到，一

8、旦有了它，人人都會(huì)用簡單的方法來記數(shù)。我們知道，零不僅表示一無所有，它還有以下的一些意義；在位值制記數(shù)法中，零表示“空位”，同時(shí)起到指示數(shù)碼所在位置的作用，如中的表示十位上沒有數(shù)；零本身還是一個(gè)數(shù)，可以同其他的數(shù)一起參與運(yùn)算；零是標(biāo)度的起點(diǎn)或分界，如每天的時(shí)間從時(shí)開始。在古代巴比倫，楔形文字的零號(hào)已起到現(xiàn)今位值制中號(hào)的作用，它一方面表示零位，另一方面也指明數(shù)碼的位置。然而他們還沒有把零看作一個(gè)數(shù)，也沒有將它和“一無所有”這一概念聯(lián)系起來。印度人對(duì)零的最大貢獻(xiàn)是承認(rèn)它是一個(gè)數(shù)，而不僅僅是空位或一無所有。婆羅摩笈多對(duì)零的運(yùn)算有較完整的敘述：“負(fù)數(shù)減去零是負(fù)數(shù)，正數(shù)減去零是正數(shù)，零減去零什么也沒有；

9、零乘負(fù)數(shù)、正數(shù)或零都是零。零除以零是空無一物，正數(shù)或負(fù)數(shù)除以零是一個(gè)以零為分母的分?jǐn)?shù)”。每一個(gè)學(xué)過除法的人都知道，零不可以作除數(shù)，因?yàn)槿绻鸻0而b=0，那就不可能存在一個(gè)使得bc=a。這個(gè)道理盡人皆知，但在得到正確結(jié)論之前，卻經(jīng)歷了漫長的歷史。我國自古以來就用算籌來記數(shù)，早就用算籌來記數(shù)，用的是進(jìn)位值制。巴比倫知道位值制，但用的是進(jìn)制。印度到公元年才在碑文上有明確的進(jìn)位值制的記數(shù)法。位值制必須有表示零的辦法。起初，中國使用空格來表示零，后來以表示零，后來印度的就傳入了中國。 在我們眼里，零的存在是那么自然、簡潔，但就是這么一個(gè)簡單的零，卻也有這么一段頗不簡單的歷史。數(shù)學(xué)中的符號(hào)我們知道，數(shù)學(xué)起

10、源于結(jié)繩記數(shù)和土地測(cè)量。最初，并沒有標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)符號(hào)，符號(hào)是后來的實(shí)踐中逐漸產(chǎn)生并進(jìn)一步完善的。但是，數(shù)學(xué)符號(hào)一旦產(chǎn)生，就能簡化數(shù)學(xué)研究工作，促進(jìn)數(shù)學(xué)的發(fā)展。所以，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，要從數(shù)學(xué)符號(hào)開始。阿拉伯?dāng)?shù)字、就是最簡單，常用的符號(hào)，也就是它們引起了數(shù)學(xué)上的一場革命。 數(shù)學(xué)家韋達(dá)第一個(gè)把符號(hào)引入數(shù)學(xué)，他用元音字母表示未知量，用輔音字母表示已知量（方程的正系數(shù)）。此前，所有的已知數(shù)都是用具體數(shù)字表達(dá)的，從而限制數(shù)學(xué)的應(yīng)用范圍?，F(xiàn)在的符號(hào)體系是笛卡爾創(chuàng)立的。他提出，用英文字母中前面的字母a、b、c表示已知數(shù)，最后的字母x、y、z表示未知數(shù)。 符號(hào)的使用推動(dòng)了數(shù)學(xué)本身的發(fā)展。符號(hào)一經(jīng)形成，便成為表述概念，說明

11、方法和敘述定理必不可少的工具。建立較好的符號(hào)系統(tǒng)，便于總結(jié)運(yùn)算法則，揭示數(shù)量關(guān)系利于推理。一句話，符號(hào)是數(shù)學(xué)前進(jìn)，發(fā)展，運(yùn)用的工具。數(shù)學(xué)符號(hào)一般有以下幾種：（）數(shù)量符號(hào)：如 , ,， ， ，自然對(duì)數(shù)底e，圓周率 。（）運(yùn)算符號(hào)：如加號(hào)（+），減號(hào)（-），乘號(hào)（或），除號(hào)（或），兩個(gè)集合的并集（），交集（），根號(hào)（ ），對(duì)數(shù)（log，lg，ln），比（），微分（d），積分（）等。（）關(guān)系符號(hào)：如“=”是等號(hào)，“”或“ ”是近似符號(hào)，“”是不等號(hào)，“”是大于符號(hào)，“”是小于符號(hào)，“ ”表示變量變化的趨勢(shì)，“”是相似符號(hào)，“”是全等號(hào)，“”是平行符號(hào)，“”是垂直符號(hào)，“”是正比例符號(hào)，“”是屬于符號(hào)

12、等。（）結(jié)合符號(hào)：如圓括號(hào)“（）”方括號(hào)“”，花括號(hào)“”括線“”B（）性質(zhì)符號(hào)：如正號(hào)“+”，負(fù)號(hào)“-”，絕對(duì)值符號(hào)“（）省略符號(hào)：如三角形（），正弦（sin），X的函數(shù)（f(x)），極限（lim），因?yàn)椋ǎ?，所以（），總和（），連乘（），從N個(gè)元素中每次取出R個(gè)元素所有不同的組合數(shù)（C ），冪（aM），階乘（?。┑?。數(shù)學(xué)符號(hào)的應(yīng)用，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、研究數(shù)學(xué)的重要途徑，愿同學(xué)們?cè)跀?shù)學(xué)中學(xué)好符號(hào)，用好符號(hào)。為什么時(shí)間和角度的單位用六十進(jìn)位制 時(shí)間的單位是小時(shí)，角度的單位是度，從表面上看，它們完全沒有關(guān)系。可是，為什么它們都分成分、秒等名稱相同的小單位呢？為什么又都用六十進(jìn)位制呢？ 我們仔細(xì)研究一下，

13、就知道這兩種量是緊密聯(lián)系著的。原來，古代人由于生產(chǎn)勞動(dòng)的需要，要研究天文和歷法，就牽涉到時(shí)間和角度了。譬如研究晝夜的變化，就要觀察地球的自轉(zhuǎn)，這里自轉(zhuǎn)的角度和時(shí)間是緊密地聯(lián)系在一起的。因?yàn)闅v法需要的精確度較高，時(shí)間的單位小時(shí)、角度的單位度都嫌太大，必須進(jìn)一步研究它們的小數(shù)。時(shí)間和角度都要求它們的小數(shù)單位具有這樣的性質(zhì)：使1/2、1/3、1/4、1/5、1/6等都能成為它的整數(shù)倍。以1/60作為單位，就正好具有這個(gè)性質(zhì)。譬如：1/2等于30個(gè)1/60，1/3等于20個(gè)1/60，1/4等于15個(gè)1/60 數(shù)學(xué)上習(xí)慣把這個(gè)1/60的單位叫做分，用符號(hào)來表示；把1分的1/60的單位叫做秒，用符號(hào)來表示

14、。時(shí)間和角度都用分、秒作小數(shù)單位。 這個(gè)小數(shù)的進(jìn)位制在表示有些數(shù)字時(shí)很方便。例如常遇到的1/3，在十進(jìn)位制里要變成無限小數(shù)，但在這種進(jìn)位制中就是一個(gè)整數(shù)。 這種六十進(jìn)位制（嚴(yán)格地說是六十退位制）的小數(shù)記數(shù)法，在天文歷法方面已長久地為全世界的科學(xué)家們所習(xí)慣，所以也就一直沿用到今天。0是我國最早創(chuàng)造的我們知道阿拉伯?dāng)?shù)字、原是印度人發(fā)明的，世紀(jì)后期傳入中國，人們誤認(rèn)為也是印度人發(fā)明的。其實(shí)印度起先發(fā)明時(shí)沒有“”，他們把“”，寫成“ ”，中間空著，把，寫成“ ”，怎么區(qū)別中間有幾個(gè)零呢？為了避免看不清，就用點(diǎn)“”來表示，寫成“”，那不和小數(shù)混淆了？直到公元年才把“”確定下來。我國卻在年前就已創(chuàng)造了“”

15、，我國的零，當(dāng)時(shí)是“”，它是根據(jù)寫字時(shí)缺字用“”來表示缺字，“”表示這個(gè)數(shù)沒有，或這個(gè)數(shù)位上沒有，用“”表示，隨著人們長期不斷地記數(shù)，慢慢發(fā)展演變，最后確定為今天的“”。因此以“”作為零是我國古代數(shù)學(xué)家的一項(xiàng)杰出貢獻(xiàn)。米的誕生在公元1790年之前世界各國的長度單位幾乎各不相同，給不同國家的人們之間相互交流帶來了很大的麻煩。這時(shí)，法國的一位科學(xué)家他雷蘭提出了制定一個(gè)世界各國通用單位的建議。法國的學(xué)者取得世界各國的同意，把地球子午線上從北極到赤道的長度的一千萬分之一作為長度的單位，叫做1米。當(dāng)時(shí)的科學(xué)技術(shù)還很不發(fā)達(dá)。測(cè)量了整整七年，實(shí)際還只是僅僅測(cè)量了西班牙的巴賽羅納和法國的敦刻爾克之間的距離。通

16、過計(jì)算得到了最初的1米。后來1960年的國際會(huì)議規(guī)定。一米為氪（K8）原子在真空中發(fā)射的橙色光波波長的.73倍。圓周率圓的周長與直徑的比。圓周率是一個(gè)常數(shù)，通常用希臘字母表示。如果設(shè)圓的直徑為1，并把圓內(nèi)接正六邊形的周長（P6=3）看作是圓周長的近似值，那么圓周率的近似值就為3。這是我國古代最早所用的圓周率“徑一周三（即取3）”的來歷，后人稱為古率。把圓內(nèi)接正六邊形的邊數(shù)加倍，可以得到圓內(nèi)接正十二邊形，再加倍，可以得到圓內(nèi)接正二十四邊形，。這一些圓內(nèi)接正多邊形，當(dāng)邊數(shù)成倍增長時(shí)，它們的周長Pn也不斷增大，越來越接近于圓的周長，因此，Pn與直徑的比值也越來越接近于圓周率準(zhǔn)確值。這種求圓周率的方法

17、稱為“割圓術(shù)”。三國時(shí)魏人劉徽用割圓術(shù)求得3.3.。南北朝的祖沖之進(jìn)一步算得 比西方達(dá)到這一結(jié)果要早1100多年。圓周率是一個(gè)無理數(shù)，即是一個(gè)無限不循環(huán)小數(shù)。圓的歷史古代人最早是從太陽，從陰歷十五的月亮得到圓的概念的，那么是什么人作出第一個(gè)圓的呢？18000年前的山頂洞人用一種尖狀的石器來鉆孔，一面鉆不透，再從另一面鉆。石器的尖是圓心，它的寬度的一半就是半徑，這樣以同一個(gè)半徑和圓心一圈圈地轉(zhuǎn)就可以鉆出一個(gè)圓的孔。到了陶器時(shí)代，許多陶器都是圓的。圓的陶器是將泥土放在一個(gè)轉(zhuǎn)盤上制成的。6000年前，半坡人就已經(jīng)會(huì)造圓形的房頂了。古代人還發(fā)現(xiàn)圓的木頭滾著走比較省勁。后來他們?cè)诎徇\(yùn)重物時(shí)，就把幾段圓木

18、墊在重物的下面滾著走，這樣就比扛著走省勁得多。大約在6000年前，美索不達(dá)米亞人，做出了世界上第一個(gè)輪子圓的木輪。約在4000年前，人們將圓的木輪固定在木架上，這就成了最初的車子。會(huì)作圓并且真正了解圓的性質(zhì)，卻是在2000多年前，是由我國的墨子給出圓的概念的：“一中同長也?！币馑际钦f，圓有一個(gè)圓心，圓心到圓周的長都相等。這個(gè)定義比希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得給團(tuán)下定義要早100年。奇妙的圓形 圓形，是一個(gè)看來簡單，實(shí)際上是很奇妙的圓形。古代人最早是從太陽，從陰歷十五的月亮得到圓的概念的。一萬八千年前的山頂洞人曾經(jīng)在獸牙、礫石和石珠上鉆孔，那些孔有的就很圓。 以后到了陶器時(shí)代，許多陶器都是圓的。圓的陶器是

19、將泥土放在一個(gè)轉(zhuǎn)盤上制成的。 當(dāng)人們開始紡線，又制出了圓形的石紡綞或陶紡綞。古代人還發(fā)現(xiàn)圓的木頭滾著走比較省勁。后來他們?cè)诎徇\(yùn)重物的時(shí)候，就把幾段圓木墊在大樹、大石頭下面滾著走，這樣當(dāng)然比扛著走省勁得多。大約在6000年前，美索不達(dá)米亞人，做出了世界上第一個(gè)輪子-圓的木盤。大約在4000多年前，人們將圓的木盤固定在木架下，這就成了最初的車子。會(huì)作圓，但不一定就懂得圓的性質(zhì)。古代埃及人就認(rèn)為：圓，是神賜給人的神圣圖形。一直到兩千多年前我國的墨子（約公元前468-前376年）才給圓下了一個(gè)定義：一中同長也。意思是說：圓有一個(gè)圓心，圓心到圓周的長都相等。這個(gè)定義比希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得（約公元前330-

20、前275年）給圓下定義要早100年。圓周率，也就是圓周與直徑的比值，是一個(gè)非常奇特的數(shù)。 周髀算經(jīng)上說徑一周三，把圓周率看成3，這只是一個(gè)近似值。美索不達(dá)來亞人在作第一個(gè)輪子的時(shí)候，也只知道圓周率是3。魏晉時(shí)期的劉徽于公元263年給九章算術(shù)作注。他發(fā)現(xiàn)徑一周三只是圓內(nèi)接正六邊形周長和直徑的比值。他創(chuàng)立了割圓術(shù)，認(rèn)為圓內(nèi)接正多連形邊數(shù)無限增加時(shí)，周長就越逼近圓周長。他算到圓內(nèi)接正3072邊形的圓周率，= 3927/1250。劉徽已經(jīng)把極限的概念運(yùn)用于解決實(shí)際的數(shù)學(xué)問題之中，這在世界數(shù)學(xué)史上也是一項(xiàng)重大的成就。祖沖之（公元429-500年）在前人的計(jì)算基礎(chǔ)上繼續(xù)推算，求出圓周率在3.與3.之間，是

21、世界上最早的七位小數(shù)精確值，他還用兩個(gè)分?jǐn)?shù)值來表示圓周率：22/7稱為約率，355/113稱為密率。在歐洲，直到1000年后的十六世紀(jì)，德國人鄂圖（公元1573年）和安托尼茲才得到這個(gè)數(shù)值?，F(xiàn)在有了電子計(jì)算機(jī)，圓周率已經(jīng)算到了小數(shù)點(diǎn)后一千萬以上了。天文與數(shù)學(xué)有這么一張畫，下面是一只小船，上面是三個(gè)太陽。這是什么意思呢？這表示，坐了三天船。太陽升落一次，就是一天，所以一天又叫一日。日，是人們認(rèn)識(shí)時(shí)間的基礎(chǔ)。向上，將日積累為月、年、世紀(jì)；向下，將日分為時(shí)、分、秒。為了記載日數(shù)，原始人曾經(jīng)用刀在樹上刻記號(hào)，過一天刻上一道。我國古代很早就發(fā)展了畜牧業(yè)和農(nóng)業(yè)，因此很重視歷法，天文學(xué)非常發(fā)達(dá)。而天文學(xué)只有

22、借助于數(shù)學(xué)才能發(fā)展，因此，很早就開始了數(shù)學(xué)的研究。我國最早的一部數(shù)學(xué)著作周髀算經(jīng)，是兩千多年前成書的。它既是一部數(shù)學(xué)著作，也是一部天文學(xué)著作。它總結(jié)了古代勞動(dòng)人民天文學(xué)和數(shù)學(xué)的成就。我國古代曾經(jīng)用干支記日。十干就是：甲、乙、丙、丁、戍、已、庚、辛、壬、癸。十二支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥。將十干和十二支依次循環(huán)組合，就得甲子、乙丑、丙寅、丁卯直到任戌、癸亥等六十個(gè)數(shù)（現(xiàn)在稱六十甲子）。一個(gè)數(shù)代表一天，從甲子到癸亥，一共六十天，再從甲子開始，周而復(fù)始。例如公元前632年4月4日，爆發(fā)了著名的“城濮大戰(zhàn)”，在左傳上記載的是：“夏月己已?！备芍Р粌H可以記時(shí)和日，也可以用來記月

23、和年。月，是從月亮來的。月亮，每晚有變化。不但月出月落時(shí)間上有變化，月亮形狀也有變化；圓了又缺，缺了又圓。這是古代人觀察得到的。從新月在天上出現(xiàn)，一天天過去了，月亮圓了又缺了，不見了，到下次新月又在天上出現(xiàn)，古代人根據(jù)刻的日子計(jì)算得到，一個(gè)月29天半。（現(xiàn)在知道：一個(gè)朔望月有29日12小時(shí)44分3秒，或29.53日）為了使一個(gè)月的日子是整數(shù)，以后又規(guī)定大月30天，小月29天。詩經(jīng)上說：“十月之交，朔日辛卯，日有食之，亦孔之丑?！备鶕?jù)我國天文學(xué)史家推算：公元前776年10月1日早上7-9點(diǎn)發(fā)生過日食，這天正是辛卯日。這里的“朔”字是我國第一次使用的，意思是整晚見不到月亮。計(jì)年的方法比記月的多。如

24、果開始計(jì)算的時(shí)候是收獲季節(jié)，過了12個(gè)多月，地球繞太陽走了一圈，果子、谷物又成熟了，那就叫做一年。我國古代黃河流域的人和古代斯拉夫人都是這么計(jì)算的。埃及的尼羅河每年7月開始泛濫，古代埃及人就將兩次泛濫之間的日子稱為一年。美洲印第安人計(jì)算年以初雪為標(biāo)志，澳洲人則根據(jù)雨季計(jì)算。我國黑龍江一帶的居民，以吃大馬哈魚作為一年的標(biāo)準(zhǔn)。因?yàn)榇篑R哈魚定年定時(shí)由海里進(jìn)入黑龍江。這些計(jì)算年的方法當(dāng)然都是很原始，很不精確的。我們現(xiàn)在都知道，地球繞太陽一周，也就是一個(gè)太陽年，等于365天5小時(shí)48分46秒或365.天。如果根據(jù)月亮來算，一年12個(gè)月卻只有354天或355天，平均差了10天21小時(shí)。一年差10天多，如果

25、過上兩三年就不得了，這對(duì)游牧民族和農(nóng)業(yè)民族定季節(jié)就大大不利。于是每過兩三年就增加一個(gè)月，叫做閏月，有閏月的年叫閏年。閏年一年就有384或385天。我國早在四千年前的夏朝就開始制定歷法，所以叫做夏歷。在三千年前，就有十三月的名稱了。到兩千多年前，人們知道了一年等于12又7/19陰歷的月，就采用“19年7閏”的方法設(shè)置閏月。夏歷既是根據(jù)月亮（太陽），也根據(jù)太陽，所以是陰陽歷的一種，兩千多年前秦始皇的時(shí)候（公元前246年）就測(cè)得了一年平均是365又1/4天。它比陰歷優(yōu)越，只是平年和閏年，日數(shù)相差太大了?，F(xiàn)在世界通用的公歷（陽歷）也經(jīng)過一個(gè)長期演變的過程。我們先看，公歷每個(gè)月的日數(shù)是固定的：“七前單大

26、，八后雙大”。也就是說，一、三、五、七、八、十、臘月（十二月）是31天，四、六、九、十一月是30天，只有二月，平年28天，閏年29天。二月平年為什么只有28天？原來，我們今天用的公歷是從儒略歷變來的。在公元前46年，羅馬的統(tǒng)帥叫儒略愷撒。據(jù)說他的生日在7月，為了表示他的偉大，于是他決定：將7月叫“儒略月”，連同所有單月都定為31天，雙日定為30天，只有2月平年29天，閏年30天。因?yàn)?月是行刑的月份，所以減少一天。愷撒的繼承人叫奧古斯都，他的生日在8月。偉大人物生日的那個(gè)月只有30天那怎么行？他決定將8月叫“奧古斯都月”，并且將8月、10月、12月都改為31天，9月、11月都改為30天。這一來

27、不就多了一天嗎？于是又從2月里拿出一天來。從此2月平年就只有28天，閏年只有29天了。閏年為什么要多一天呢？前面我們說過，地球繞太陽一周要365天5小時(shí)48分46秒。為了方便，一年算365天。那么，多出的5小時(shí)多怎么辦呢？人們想，每隔4年，就差不多可以湊上一天了，于是四年一閏，在閏年2月加一天，現(xiàn)在，公歷年數(shù)，凡是能被4整除的，如1984、1988、1992、1996年都定為閏年的。可是，問題還沒有完，因?yàn)樗哪陮?shí)際上只多了23小時(shí)15分4秒，還差44分56秒。這個(gè)差數(shù)積累400年，又少了3天。也就是說，每隔400年要少設(shè)三個(gè)閏年才行。于是又規(guī)定，整百年的數(shù)必須能被400整除才算閏年，否則不算。

28、例如1600、2000、2400才算閏年。1700、1800、1900年都不算閏年。這樣，每400年差的三天就扣出來了。當(dāng)然，還有一點(diǎn)點(diǎn)差距，但是那只要3000年以后再調(diào)整就行了?！皵?shù)學(xué)”這一名稱的由來古希臘人在數(shù)學(xué)中引進(jìn)了名稱，概念和自我思考，他們很早就開始猜測(cè)數(shù)學(xué)是如何產(chǎn)生的。雖然他們的猜測(cè)僅是匆匆記下，但他們幾乎先占有了猜想這一思考領(lǐng)域。古希臘人隨意記下的東西在世紀(jì)變成了大堆文章，而在世紀(jì)卻變成了令人討厭的陳辭濫調(diào)。在現(xiàn)存的資料中，希羅多德（，公元前年）是第一個(gè)開始猜想的人。他只談?wù)摿藥缀螌W(xué)，他對(duì)一般的數(shù)學(xué)概念也許不熟悉，但對(duì)土地測(cè)量的準(zhǔn)確意思很敏感。作為一個(gè)人類學(xué)家和一個(gè)社會(huì)歷史學(xué)家，

29、希羅多德指出，古希臘的幾何來自古埃及，在古埃及，由于一年一度的洪水淹沒土地，為了租稅的目的，人們經(jīng)常需要重新丈量土地；他還說：希臘人從巴比倫人那里學(xué)會(huì)了日晷儀的使用，以及將一天分成個(gè)時(shí)辰。希羅多德的這一發(fā)現(xiàn)，受到了肯定和贊揚(yáng)。認(rèn)為普通幾何學(xué)有一個(gè)輝煌開端的推測(cè)是膚淺的。 柏拉圖關(guān)心數(shù)學(xué)的各個(gè)方面，在他那充滿奇妙幻想的神話故事費(fèi)德洛斯篇中，他說：故事發(fā)生在古埃及的洛克拉丁（區(qū)域），在那里住著一位老神仙，他的名字叫賽斯（），對(duì)于賽斯來說，朱鷺是神鳥，他在朱鷺的幫助下發(fā)明了數(shù)，計(jì)算、幾何學(xué)和天文學(xué)，還有棋類游戲等。柏拉圖常常充滿了奇怪的幻想，原因是他不知道自己是否正亞里士多德最后終于用完全概念化的語

30、言談?wù)摂?shù)學(xué)了，即談?wù)摻y(tǒng)一的、有著自己發(fā)展目的的數(shù)學(xué)。在他的形而上學(xué)（）第卷第章中，亞里士多德說：數(shù)學(xué)科學(xué)或數(shù)學(xué)藝術(shù)源于古埃及，因?yàn)樵诠虐＜坝幸慌浪居锌臻e自覺地致力于數(shù)學(xué)研究。亞里士多德所說的是否是事實(shí)還值得懷疑，但這并不影響亞里士多德聰慧和敏銳的觀察力。在亞里士多德的書中，提到古埃及僅僅只是為了解決關(guān)于以下問題的爭論：存在為知識(shí)服務(wù)的知識(shí)，純數(shù)學(xué)就是一個(gè)最佳的例子：知識(shí)的發(fā)展不是由于消費(fèi)者購物和奢華的需要而產(chǎn)生的。亞里士多德這種“天真”的觀點(diǎn)也許會(huì)遭到反對(duì)；但卻駁不倒它，因?yàn)闆]有更令人信服的觀點(diǎn)就整體來說，古希臘人企圖創(chuàng)造兩種“科學(xué)”的方法論，一種是實(shí)體論，而另一種是他們的數(shù)學(xué)。亞里士多德的

31、邏輯方法大約是介于二者之間的，而亞里士多德自己認(rèn)為，在一般的意義上講他的方法無論如何只能是一種輔助方法。古希臘的實(shí)體論帶有明顯的巴門尼德的“存在”特征，也受到赫拉克利特“理性”的輕微影響，實(shí)體論的特征僅在以后的斯多葛派和其它希臘作品的翻譯中才表現(xiàn)出來。數(shù)學(xué)作為一種有效的方法論遠(yuǎn)遠(yuǎn)地超越了實(shí)體論，但不知什么原因，數(shù)學(xué)的名字本身并不如“存在”和“理性”那樣響亮和受到肯定。然而，數(shù)學(xué)名稱的產(chǎn)生和出現(xiàn)，卻反映了古希臘人某些富于創(chuàng)造的特性。下面我們將說明數(shù)學(xué)這一名詞的來源。“數(shù)學(xué)”一詞是來自希臘語，它意味著某種已學(xué)會(huì)或被理解的東西或“已獲得的知識(shí)”，甚至意味著“可獲的東西”，“可學(xué)會(huì)的東西”，即“通過學(xué)

32、習(xí)可獲得的知識(shí)”，數(shù)學(xué)名稱的這些意思似乎和梵文中的同根詞意思相同。甚至偉大的辭典編輯人利特雷（也是當(dāng)時(shí)杰出的古典學(xué)者），在他編輯的法語字典（年）中也收入了“數(shù)學(xué)”一詞。牛津英語字典沒有參照梵文。公元世紀(jì)的拜占庭希臘字典“”中，引出了“物理學(xué)”、“幾何學(xué)”和“算術(shù)”的詞條，但沒有直接列出“數(shù)學(xué)”詞?！皵?shù)學(xué)”一詞從表示一般的知識(shí)到專門表示數(shù)學(xué)專業(yè)，經(jīng)歷一個(gè)較長的過程，僅在亞里士多德時(shí)代，而不是在柏拉圖時(shí)代，這一過程才完成。數(shù)學(xué)名稱的專有化不僅在于其意義深遠(yuǎn)，而在于當(dāng)時(shí)古希臘只有“詩歌”一詞的專有化才能與數(shù)學(xué)名稱的專有化相媲美?！霸姼琛痹瓉淼囊馑际恰耙呀?jīng)制造或完成的某些東西”，“詩歌”一詞的專有化在

33、柏拉圖時(shí)代就完成了。而不知是什么原因辭典編輯或涉及名詞專有化的知識(shí)問題從來沒有提到詩歌，也沒有提到詩歌與數(shù)學(xué)名稱專有化之間奇特的相似性。但數(shù)學(xué)名稱的專有化確實(shí)受到人們的注意。首先，亞里士多德提出，“數(shù)學(xué)”一詞的專門化使用是源于畢達(dá)哥拉斯的想法，但沒有任何資料表明對(duì)于起源于愛奧尼亞的自然哲學(xué)有類似的思考。其次在愛奧尼亞人中，只有泰勒斯（公元前？年）在“純”數(shù)學(xué)方面的成就是可信的，因?yàn)槌说跉W根尼拉爾修（）簡短提到外，這一可信性還有一個(gè)較遲的而直接的數(shù)學(xué)來源，即來源于普羅克洛斯（）對(duì)歐幾里得的評(píng)注：但這一可信性不是來源于亞里士多德，盡管他知道泰勒斯是一個(gè)“自然哲學(xué)家”；也不是來源于早期的希羅多德，

34、盡管他知道塞利斯是一個(gè)政治、軍事戰(zhàn)術(shù)方面的“愛好者”，甚至還能預(yù)報(bào)日蝕。以上這些可能有助于解釋為什么在柏拉圖的體系中，幾乎沒有愛奧尼亞的成份。赫拉克利特（公元前？年）有一段名言：“萬物都在運(yùn)動(dòng)中，物無常往”，“人們不可能兩次落進(jìn)同一條河里”。這段名言使柏拉圖迷惑了，但赫拉克賴脫卻沒受到柏拉圖給予巴門尼德那樣的尊敬。巴門尼德的實(shí)體論，從方法論的角度講，比起赫拉克賴脫的變化論，更是畢達(dá)哥拉斯數(shù)學(xué)的強(qiáng)有力的競爭對(duì)手。對(duì)于畢達(dá)哥拉斯學(xué)派來說，數(shù)學(xué)是一種“生活的方式”。事實(shí)上，從公元世紀(jì)的拉丁作家格利烏斯（）和公元世紀(jì)的希臘哲學(xué)家波菲利（）以及公元世紀(jì)的希臘哲學(xué)家揚(yáng)布利科斯（）的某些證詞中看出，似乎畢達(dá)

35、哥拉斯學(xué)派對(duì)于成年人有一個(gè)“一般的學(xué)位課程”，其中有正式登記者和臨時(shí)登記者。臨時(shí)成員稱為“旁聽者”，正式成員稱為“數(shù)學(xué)家”。這里“數(shù)學(xué)家”僅僅表示一類成員，而并不是他們精通數(shù)學(xué)。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的精神經(jīng)久不衰。對(duì)于那些被阿基米德神奇的發(fā)明所深深吸引的人來說，阿基米德是唯一的獨(dú)特的數(shù)學(xué)家，從理論的地位講，牛頓是一個(gè)數(shù)學(xué)家，盡管他也是半個(gè)物理學(xué)家，一般公眾和新聞?dòng)浾邔幵赴褠垡蛩固箍醋鲾?shù)學(xué)家，盡管他完全是物理學(xué)家。當(dāng)羅吉爾培根（，年）通過提倡接近科學(xué)的“實(shí)體論”，向他所在世紀(jì)提出挑戰(zhàn)時(shí)，他正將科學(xué)放進(jìn)了一個(gè)數(shù)學(xué)的大框架，盡管他在數(shù)學(xué)上的造詣是有限的，當(dāng)?shù)芽▋海ǎ辏┻€很年輕時(shí)就決心有所創(chuàng)新，于是他確定

36、了“數(shù)學(xué)萬能論”的名稱和概念。然后萊布尼茨引用了非常類似的概念，并將其變成了以后產(chǎn)生的“符號(hào)”邏輯的基礎(chǔ)，而世紀(jì)的“符號(hào)”邏輯變成了熱門的數(shù)理邏輯。在世紀(jì)，數(shù)學(xué)史的先驅(qū)作家蒙托克萊（）說，他已聽說了關(guān)于古希臘人首先稱數(shù)學(xué)為“一般知識(shí)”，這一事實(shí)有兩種解釋：一種解釋是，數(shù)學(xué)本身優(yōu)于其它知識(shí)領(lǐng)域；而另一種解釋是，作為一般知識(shí)性的學(xué)科，數(shù)學(xué)在修辭學(xué)，辯證法，語法和倫理學(xué)等等之前就結(jié)構(gòu)完整了。蒙托克萊接受了第二種解釋。他不同意第一種解釋，因?yàn)樵谄樟_克洛斯關(guān)于歐幾里得的評(píng)注中，或在任何古代資料中，都沒有發(fā)現(xiàn)適合這種解釋的確證。然而世紀(jì)的語源學(xué)家卻傾向于第一種解釋，而世紀(jì)的古典學(xué)者卻又偏向第二種解釋。但我

37、們發(fā)現(xiàn)這兩種解釋并不矛盾，即很早就有了數(shù)學(xué)且數(shù)學(xué)的優(yōu)越性是無與倫比的。數(shù)的發(fā)展計(jì)數(shù)方法的出現(xiàn)一般說來，最古老的數(shù)學(xué)應(yīng)當(dāng)從人類把大小、形狀和數(shù)的概念系統(tǒng)化方面所作的最初的也是最基本的努力算起。因此，有數(shù)的概念和懂得計(jì)數(shù)方法的原始人的出現(xiàn)可以看作是數(shù)學(xué)的第一起點(diǎn)！數(shù)的概念和計(jì)數(shù)方法還在有文字記載以前就發(fā)展起來了。但是，關(guān)于這些數(shù)學(xué)的發(fā)展方式則多半來源于揣測(cè)。人類的在最原始的時(shí)代就有了數(shù)的意識(shí)，至少在為數(shù)不多的一些東西中增加幾個(gè)或從中取出幾個(gè)時(shí)，能夠辨認(rèn)其多寡。隨著逐步進(jìn)化，簡單的計(jì)算成為了生產(chǎn)和生活中必不可少的活動(dòng)。一個(gè)部落首領(lǐng)必須知道自己的部落有多少成員、有多少敵人；一個(gè)人需要知道他羊群里的羊是

38、否少了?；蛟S最早的計(jì)數(shù)方法是使用簡單算籌以一一對(duì)應(yīng)的原則來進(jìn)行的。例如，當(dāng)數(shù)羊的只數(shù)時(shí)，每有一只羊就扳一個(gè)指頭。顯然，古人也能夠使用一些簡單的方法計(jì)數(shù)，例如集攢小石子或小木棍；在土塊或石頭上刻道或在木頭上刻槽；或在繩上打結(jié)，作為對(duì)應(yīng)于為數(shù)不多的東西的數(shù)目的語言符合。以后，隨著書寫方式的改變，逐漸形成了一族代表這些數(shù)目的書寫符號(hào)。在語言計(jì)數(shù)的較早階段，即使是同樣的數(shù)字，但如果實(shí)際物體不同，表示方法也大不一樣。例如，對(duì)于兩只羊和兩個(gè)人所用的語音詞是不同的。例如，在英語中有team of horse表示共同拉車，拉犁的兩匹馬，yoke of oxen共扼的兩頭牛，brace of partridge

39、一對(duì)鷓鴣，pair of shoes一雙鞋。把2種共同性質(zhì)加以抽象，并采用與任何具體事物都無關(guān)的某個(gè)語音來代表它，或許人類經(jīng)過很長時(shí)間以后才實(shí)現(xiàn)的，雖然在今天看來，這是如此的簡單。計(jì)數(shù)方法的系統(tǒng)化隨著社會(huì)生產(chǎn)的發(fā)展，更為廣泛的計(jì)數(shù)成為了生活和生產(chǎn)的必需。要完成這樣復(fù)雜的計(jì)數(shù)就必須將計(jì)數(shù)的方法系統(tǒng)化。古人采取的方法是這樣的：把數(shù)目排列成便于考慮的基本群；群的大小多半以所用的匹配方式而定。也就是說：選取某一數(shù)b作為計(jì)數(shù)的基（base）也叫記數(shù)根（radix）或進(jìn)位制（scale）并定出數(shù)目1，2，3b的名稱。這時(shí)，大于b的數(shù)目用已選定名稱的數(shù)目的組合表示。由于人的手指提供了一個(gè)方便的匹配工具，所以

40、，人們大多選用10個(gè)數(shù)作為數(shù)基b，這是不奇怪的。例如，考慮我們現(xiàn)在用的數(shù)詞，它們就是以10為基而形成的。1，2，10這十個(gè)數(shù)，英語中均有基特殊的名稱：one,two, ten。當(dāng)我們數(shù)到十一時(shí)，我們說eleven11；語言學(xué)家告訴我們，它是從ein lifon導(dǎo)出的意思是剩下或比10多1。類似地，twelve（12）是從twe lif比10多2導(dǎo)出的；還有，thirteen13，即3和10；fourteen14，即4和10；一直到nineteen19，即9和10。然后有twenty20，即twe-tig，或兩個(gè)10。Twenty-one（兩個(gè)10和1）等等。有證據(jù)表明：2，3和4也曾被當(dāng)作原始

41、的數(shù)基。例如，澳洲東部昆士蘭的土人就是這么計(jì)數(shù)的：1，2，2和1，兩個(gè)2，多一些非洲矮人以1，2，3，4，5和6就是這么計(jì)教的：a,oa,ua,oa-oa,oa-oa-a, 和oa-oa-oa。阿根廷火地島的某部落，頭幾個(gè)數(shù)的名稱，就是以3為基的；與此相似，南美的一些部落用4為基?？梢栽O(shè)想：五進(jìn)制即以5為基的數(shù)系，是最初用得很廣泛的計(jì)數(shù)法。到現(xiàn)在，一些南美的部落還是用手計(jì)數(shù)-1，2，3，4，手，手和1等等。西伯利亞的尤卡吉爾人用的是混合基計(jì)數(shù)法：1，2，3，3和1，5，兩個(gè)3，多1個(gè)，兩個(gè)4，10去1，10。德國農(nóng)民日歷，一直到1800年還以5為數(shù)基。也有證據(jù)表明，在有史以前12曾被用作數(shù)基，

42、即采用十二進(jìn)制，這主要與量度有關(guān)，使用這樣的一個(gè)數(shù)基，可能是由于一年大約有12年朔望月；也可能是上于12能被許多整數(shù)整除。例如，1英尺是12英寸，古代的一英磅是12盎斯，1先令是12便士，1英寸是12英分，鐘有12個(gè)小時(shí)，一年有12個(gè)月。Dozen（打），gross（籮）這些詞在英語中還用作更高級(jí)的單位。（一打是12個(gè)，一籮是12打）。二十進(jìn)制即以20為基的數(shù)系，曾被廣泛應(yīng)用，它使用人想起人類的赤腳時(shí)代。這種計(jì)數(shù)法，曾經(jīng)由美洲印第安人使用，并以其用于高度發(fā)達(dá)的瑪雅（Maya）數(shù)系中而著稱。法語中用quartevingt四個(gè)20代替huitante80，用quatre-vingt-dix四個(gè)20

43、加10代替nonante90，從這里可以看出克爾特人以20為基數(shù)的痕跡。在蓋爾人、丹麥人和威爾士人的語言中也能發(fā)現(xiàn)這種痕跡。格陵蘭使用 一個(gè)人代表20，兩個(gè)人代表40等等。英國人也常用score20這個(gè)字。古代巴比倫人用六十進(jìn)位制，即以60為基的數(shù)系，直到現(xiàn)在，當(dāng)以分、秒為單位計(jì)量時(shí)間和角度時(shí)，六十進(jìn)位制仍被廣泛使用。手指記數(shù)在遙遠(yuǎn)的古代，除了口頭上說的數(shù)以外，手指數(shù)（finger nrmber）在也曾被廣泛應(yīng)用。事實(shí)上，用手指和手的不同位置表示數(shù)，應(yīng)該比使用數(shù)的符號(hào)或數(shù)的名稱還早。例如，最早的表示1，2，3和4的書寫符號(hào)是適當(dāng)數(shù)目的豎的或橫的筆劃，它們堅(jiān)起平伸的手指數(shù)目；digit（即手指）

44、這個(gè)詞也可以用來表示數(shù)字（從1到9），這也能追溯到同一來源。有一段時(shí)間，手指數(shù)曾被擴(kuò)展到包括出現(xiàn)在商業(yè)交易中的最大的數(shù)，并且在中世紀(jì)就已為國際通用。發(fā)展到后來，1，2，和10，2090這些數(shù)用左手來表示，100，200900和1，000，9，000，這些數(shù)用右手來表示。用這種方法，10，000以內(nèi)的任何數(shù)都能用兩只手表示。手指數(shù)的樣式，在文藝復(fù)興時(shí)期的算術(shù)書上有記載。例如，用左手，部分屈折的小指表示1，部分屈折的小指和無名指表示2，部分屈折的小指、無名指和中指表示3，屈折中指和無名指表示4，屈折的中指表示5，屈折的無名指表示6，完全屈折的小指表示7，完全屈折的小指和無名指表示8，完全屈折的小指

45、、無名指和中批表示9。雖然手指數(shù)起源于很古老的年代，在今天，在非洲的某些原始種族中，在阿拉伯人中，在伊朗人中仍被采用。在北美和南美，某此本地的印第安人和愛斯基摩人的部落中仍然采用手指數(shù)。記錄工具的出現(xiàn)數(shù)字的記錄和長期保存離不開記錄的工具。但是，記錄工具的發(fā)明和改進(jìn)是一個(gè)非常漫長的過程。我們現(xiàn)在常用的機(jī)器制造的紙張只有100多年的歷史。以前的手工制作的紙是非常昂貴和難以得到的，即使是這種紙也是在十二世紀(jì)才傳到歐洲，雖然聰明的中國古人早在一千多年前，就已經(jīng)掌握了這一門技術(shù)。但是，古人為了滿足自己記錄的需要，也想辦法創(chuàng)造了一些工具。一種早期類似紙的書寫材料，稱為紙草片（Papyrus），是古代埃及人

46、發(fā)明的，而且，公元前650年左右，已經(jīng)傳入希臘。它是一種叫做紙草（papu）的蘆葦做的。把蘆葦?shù)那o切成一條條細(xì)長的薄片，并排合成一張，一層層地往上放，完全用水浸濕，再將水?dāng)D壓出來，然后放到太陽地里曬干。也許由于植物中天然膠質(zhì)，幾層粘到一起了。在紙草片干了以后，再用圓的硬東西用力把它們壓平衡，這樣就能書寫了。用紙草片打草稿，就是一小片，也要花不少錢。另一種早期的書寫材料是羊皮紙，是用動(dòng)物（通常是羊和羊羔）皮做的。自然，這是稀有和難得的。更昂貴的是一種用牛犢皮做的仿羊皮紙，稱做犢皮紙。事實(shí)上，羊皮紙已經(jīng)是非常昂貴的了。以致中世紀(jì)出現(xiàn)一種習(xí)慣：洗去老羊皮手稿上的墨跡，然后再用。這樣的手稿，現(xiàn)在被稱做

47、重寫羊皮紙。有這樣的情況：在若干年后，重寫羊皮文件上最初寫的原稿又模糊地出現(xiàn)了。一些有趣的修復(fù)就是這樣做成的。大約兩千年以前，羅馬人書寫用品是涂上薄薄一層蠟的小木板和一支硬筆。在羅馬帝國之前和羅馬帝國時(shí)代，常用沙盤進(jìn)行簡單的計(jì)算和畫幾何圖形。要推測(cè)更早的記錄工具，也并不困難。因?yàn)?，毫無疑問，人們很早就用石頭和粘土做書寫記錄了。印度和阿拉伯?dāng)?shù)系我們現(xiàn)在常用的數(shù)字符號(hào)系統(tǒng)，是印度-阿拉伯?dāng)?shù)系。之所以用印度和阿拉伯命名，是因?yàn)樗赡苁怯《热税l(fā)明的，又由阿拉伯人傳到西歐的。目前，保存下來現(xiàn)在所用的數(shù)字符號(hào)的最早樣品是印度的一些石柱上發(fā)現(xiàn)的，這些石柱是公元前250左右烏索庫王建造的。至于其它在印度的早期

48、樣品，如果解釋正確的話，則是從大約公元前100暝誑拷幟潛叩囊蛔繳系囊辭繳峽滔碌募鍬賈瀉痛喲笤脊?00年在納西克窯洞中刻下的一些碑文中發(fā)現(xiàn)。這些早期樣本中既沒有零，也沒有采用位置記號(hào)。但是，考古學(xué)家推測(cè)，位置值（positional value）和零，必定是公元800年以前的某個(gè)時(shí)刻傳到印度的，因?yàn)椴ㄋ箶?shù)學(xué)家花拉子密在公元825年寫的一本書中描述過這樣一種完整的印度數(shù)系。這些新的數(shù)字符號(hào)，最初是在何時(shí)和如何引進(jìn)歐洲的，即使到了現(xiàn)在也還沒有弄清：但是考古學(xué)家認(rèn)為，這些符號(hào)十之八九是由地中海沿岸的商人和旅行家們帶過來的。在十世紀(jì)西班牙書稿中就發(fā)現(xiàn)有這些符號(hào)，它們可能是由阿拉伯人傳到西班牙的。阿拉伯人

49、在公元711年侵入了這個(gè)半島，直到1492年還在那里。通過花拉子密的專著的十二世紀(jì)拉丁文譯本以及后來歐洲人的有關(guān)著作，這一完整的數(shù)系得到廣泛的傳播。在十世紀(jì)以后的四百年中，提倡這數(shù)系的珠算家與算法家展開了競爭，到公元1500年左右，我們現(xiàn)有的計(jì)算規(guī)則獲得優(yōu)勢(shì)。在這以后的一百年中，珠算家?guī)缀醣蝗诉z忘，到了十八世紀(jì)在西歐就見不到算盤的蹤跡了。算盤作為一個(gè)奇妙的東西再次出現(xiàn)于歐洲，是法國幾何學(xué)家JV蓬斯菜（Poncelet）在拿破侖計(jì)伐俄國的戰(zhàn)爭中當(dāng)了俘擄，被釋放后，把一個(gè)算盤的樣品帶回了法國。印度-阿拉伯?dāng)?shù)系中的數(shù)字符號(hào)曾多次變異，只是由于印刷業(yè)的發(fā)展，才開始穩(wěn)定下來的。英語中的zero（零）這個(gè)

50、詞可能是從阿拉伯文sifr的拉丁化形式zephirum演變過來的；而阿拉伯文 sifr又是從印度文中表示無和空的詞sunya翻譯過來。阿拉伯文sifr在十三世紀(jì)由奈莫拉里烏斯（Nemorarius）引進(jìn)到德國，寫作cifra，由此我們得到現(xiàn)在的字cipher（零）。人身上的尺子我們每個(gè)人身上都攜帶著幾把尺子。假如你“一拃”的長度為8厘米，量一下你課桌的長為7拃，則可知課桌長為56厘米。如果你每步長65厘米，你上學(xué)時(shí)，數(shù)一數(shù)你走了多少步，就能算出從你家到學(xué)校有多遠(yuǎn)。身高也是一把尺子。如果你的身高是150厘米，那么你抱住一棵大樹，兩手正好合攏，這棵樹的一周的長度大約是150厘米。因?yàn)槊總€(gè)人兩臂平伸

51、，兩手指尖之間的長度和身高大約是一樣的。要是你想量樹的高，影子也可以幫助你的。你只要量一量樹的影子和自己的影子長度就可以了。因?yàn)闃涞母叨葮溆伴L身高人影長。這是為什么？等你學(xué)會(huì)比例以后就明白了。你若去游玩，要想知道前面的山距你有多遠(yuǎn)，可以請(qǐng)聲音幫你量一量。聲音每秒能走331米，那么你對(duì)著山喊一聲，再看幾秒可聽到回聲，用331乘聽到回聲的時(shí)間，再除以2就能算出來了。學(xué)會(huì)用你身上這幾把尺子，對(duì)你計(jì)算一些問題是很有好處的。同時(shí)，在你的日常生活中，它也會(huì)為你提供方便的。為什么電子計(jì)算機(jī)要用二進(jìn)制由于人的雙手有十個(gè)手指，人類發(fā)明了十進(jìn)位制記數(shù)法。然而，十進(jìn)位制和電子計(jì)算機(jī)卻沒有天然的聯(lián)系，所以在計(jì)算機(jī)的理

52、論和應(yīng)用中難以暢通無阻。究竟為什么十進(jìn)位制和計(jì)算機(jī)沒有天然的聯(lián)系？和計(jì)算機(jī)聯(lián)系最自然的記數(shù)方法又是什么呢? 這要從計(jì)算機(jī)的工作原理說起。計(jì)算機(jī)的運(yùn)行要靠電流，對(duì)于一個(gè)電路節(jié)點(diǎn)而言，電流通過的狀態(tài)只有兩個(gè)：通電和斷電。計(jì)算機(jī)信息存儲(chǔ)常用硬磁盤和軟磁盤，對(duì)于磁盤上的每一個(gè)記錄點(diǎn)而言，也只有兩個(gè)狀態(tài)：磁化和未磁化。近年來用光盤記錄信息的做法也越來越普遍，光盤上海一個(gè)信息點(diǎn)的物理狀態(tài)有兩個(gè)：凹和凸，分別起著聚光和散光的作用。由此可見，計(jì)算機(jī)所使用的各種介質(zhì)所能表現(xiàn)的都是兩種狀態(tài)，如果要記錄十進(jìn)位制的一位數(shù)，至少要有四個(gè)記錄點(diǎn)（可有十六個(gè)信息狀態(tài)），但此時(shí)又有六個(gè)信息狀態(tài)閑置，這勢(shì)必造成資源和資金的大量

53、浪費(fèi)。因此，十進(jìn)位制不適合于作為計(jì)算機(jī)工作的數(shù)字進(jìn)位制。那么該用什么樣的進(jìn)位制呢？人們從十進(jìn)位制的發(fā)明中得到啟示：既然每種介質(zhì)都是具有兩個(gè)狀態(tài)的，最自然的進(jìn)位制當(dāng)然是二進(jìn)位制。 二進(jìn)位制所需要的記數(shù)的基本符號(hào)只要兩個(gè)，即0和1?？梢杂?表示通電，0表示斷電；或1表示磁化，0表示未磁化；或1表示凹點(diǎn)，0表示凸點(diǎn)?？傊?，二進(jìn)位制的一個(gè)數(shù)位正好對(duì)應(yīng)計(jì)算機(jī)介質(zhì)的一個(gè)信息記錄點(diǎn)。用計(jì)算機(jī)科學(xué)的語言，二進(jìn)位制的一個(gè)數(shù)位稱為一個(gè)比特（bit），8個(gè)比特稱為一個(gè)字節(jié)（byte）。 二進(jìn)位制在計(jì)算機(jī)內(nèi)部使用是再自然不過的。但在人機(jī)交流上，二進(jìn)位制有致命的弱點(diǎn)數(shù)字的書寫特別冗長。例如，十進(jìn)位制的寫成二進(jìn)位制成為。

54、為了解決這個(gè)問題，在計(jì)算機(jī)的理論和應(yīng)用中還使用兩種輔助的進(jìn)位制八進(jìn)位制和十六進(jìn)位制。二進(jìn)位制的三個(gè)數(shù)位正好記為八進(jìn)位制的一個(gè)數(shù)位，這樣，數(shù)字長度就只有二進(jìn)位制的三分之一，與十進(jìn)位制記的數(shù)長度相差不多。例如，十進(jìn)位制的寫成八進(jìn)位制就是。十六進(jìn)位制的一個(gè)數(shù)位可以代表二進(jìn)位制的四個(gè)數(shù)位，這樣，一個(gè)字節(jié)正好是十六進(jìn)位制的兩個(gè)數(shù)位。十六進(jìn)位制要求使用十六個(gè)不同的符號(hào)，除了09十個(gè)符號(hào)外，常用A、B、C、D、E、F六個(gè)符號(hào)分別代表（十進(jìn)位制的）10、11、12、13、14、15。這樣，十進(jìn)位制的寫成十六進(jìn)位制就是186A0。 二進(jìn)位制和八進(jìn)位制、二進(jìn)位制和十六進(jìn)位制之間的換算都十分簡便，而采用八進(jìn)位制和十

55、六進(jìn)位制又避免了數(shù)字冗長帶來的不便，所以八進(jìn)位制、十六進(jìn)位制已成為人機(jī)交流中常用的記數(shù)法。一、百年前的講演一個(gè)世紀(jì)前，德國數(shù)學(xué)家希爾伯特（18621943）在巴黎國際數(shù)學(xué)家大會(huì)上作了題為 數(shù)學(xué)問題的著名講演。這是載入數(shù)學(xué)史冊(cè)的重要講演。他在講演的前言和結(jié)束語中，對(duì)數(shù) 學(xué)的意義、源泉、發(fā)展過程及研究方法等發(fā)表了許多精辟的見解。而整個(gè)講演的主體，則是 他根據(jù)19世紀(jì)數(shù)學(xué)研究的成果和發(fā)展趨勢(shì)而提出的23個(gè)數(shù)學(xué)問題，這些問題涉及現(xiàn)代數(shù)學(xué)的 許多重要領(lǐng)域。100年來，這些問題一直激發(fā)著數(shù)學(xué)家們濃厚的研究興趣。100年過去了，這 些問題近一半已經(jīng)解決或基本解決，還有些問題雖取得了重大進(jìn)展，但尚未最后解決，

56、如黎 曼猜想、哥德巴赫猜想等。100年過去了，現(xiàn)在回過頭來看，對(duì)希爾伯特提出的23個(gè)問題，有不少評(píng)論。很多人認(rèn) 為，這些問題對(duì)推動(dòng)20世紀(jì)數(shù)學(xué)的發(fā)展起了很大的作用，當(dāng)然也有評(píng)論曾指出其不足之處， 例如，這23個(gè)問題中未能包括拓樸學(xué)、微分幾何等在20世紀(jì)成為前沿學(xué)科領(lǐng)域中的數(shù)學(xué)問題 ，除數(shù)學(xué)物理外很少涉及應(yīng)用數(shù)學(xué)，等等，當(dāng)然更不會(huì)想到20世紀(jì)電腦的大發(fā)展及其對(duì)數(shù)學(xué) 的重大影響。20世紀(jì)數(shù)學(xué)的發(fā)展實(shí)際上遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了希爾伯特所預(yù)示的范圍。希爾伯特是19世紀(jì)和20世紀(jì)數(shù)學(xué)交界線上高聳著的三位偉大數(shù)學(xué)家之一，另兩位是龐加 萊（18541912）及克萊因（18491925）。他們的數(shù)學(xué)思想及對(duì)數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)，既反射出19 世紀(jì)數(shù)學(xué)的光輝，也照耀著20世紀(jì)數(shù)學(xué)前進(jìn)的道路。希爾伯特是在上一次世紀(jì)交替之際作講演的，現(xiàn)在又一個(gè)新的世