高一數(shù)學(xué)幾何數(shù)學(xué)經(jīng)典試題

1、1. 如圖，已知ABC是正三角形，EA、CD都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a,DC=a,F是BE的中點(diǎn)，求證：M(1) FD平面ABC;(2) AF平面EDB.解；(1)取AB的中點(diǎn)M,連FM,MC, F、M分別是BE、BA的中點(diǎn) FMEA, FM= EA EA、CD都垂直于平面ABC CDEA CDFM又 DC=a, FM=DC 四邊形FMCD是平行四邊形 FDMCFD平面ABC(2)因M是AB的中點(diǎn)，ABC是正三角形，所以CMAB又 CMAE,所以CM面EAB, CMAF, FDAF, 因F是BE的中點(diǎn), EA=AB所以AFEB. 2、已知四棱錐P-ABCD(如圖所示)的底面為正方形

2、，點(diǎn)A是點(diǎn)P在底面AC上的射影，PA=AB=a，S是PC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)） 求證：；（4分） 當(dāng)?shù)拿娣e取得最小值時(shí),求平面SBD與平面PCD所成二面角的大?。?0分） 1）證明：連接AC點(diǎn)A是點(diǎn)P在底面AC上的射影,(1分)PA面AC.(2分)PC在面AC上的射影是AC.正方形ABCD中,BDAC,(3分)BDPC.(4分)2)解:連接OS.BDAC,BDPC,又AC、PC是面PAC上的兩相交直線,BD面PAC. (6分)OS面PAC,BDOS.(7分)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，BD=，（8分）DBSD的面積（9分）OS的兩個(gè)端點(diǎn)中，O是定點(diǎn)，S是動(dòng)點(diǎn)當(dāng)取得最小值時(shí)，取得最小值，即OSPC（10分）

3、PCBD， OS、BD是面BSD中兩相交直線，PC面BSD（12分）又PC面PCD，面BSD面PCD（13分）面BSD與面PCD所成二面角的大小為90（14分）4、在三棱錐PABC中，,PA = PB = PC,點(diǎn)P到平面ABC的距離為 AC(1) 求二面角PACB的大?。?2) 若，求點(diǎn)B到平面PAC的距離. 解 ：(1) 由條件知ABC為直角三角形，且BAC = 90，PA = PB = PC，點(diǎn)P在平面ABC上的射影是ABC的外心，即斜邊BC的中點(diǎn)E 取AC中點(diǎn)D，連PD, DE, PEPE平面ABC，DEAC ( DEAB), ACPD PDE為二面角PACB的平面角 又PE = AC

4、 ，DE = AC ，（）tan PDE = =， PDE = 60 故二面角PACB的大小為60 5. 如圖，邊長(zhǎng)為2的等邊PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC，M為BC的中點(diǎn).()證明：AMPM；()求二面角PAMD的大??；()求點(diǎn)D到平面AMP的距離.解：() 四邊形ABCD是矩形BCCD平面PCD平面ABCDBC平面PCD2分而PC平面PCDBCPC同理ADPD在RtPCM中，PM= 同理可求PA=，AM=5分PMA=90即PMAM 6分()取CD的中點(diǎn)E，連結(jié)PE、EMPCD為正三角形PECD，PE=PDsinPDE=2sin60=平面PCD平面ABCDPE平面ABCD

5、由() 可知PMAMEMAMPME是二面角PAMD的平面角8分sin PME=PME=45二面角PAMD為457、（本小題滿分14分） 在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=BC=CA=，AA1=（I）求AB1與側(cè)面CB1所成的角；（4分）（II）若點(diǎn)P為側(cè)棱AA1的中點(diǎn)，求二面角PBCA的大??；(5分)（）在（II）的條件下，求點(diǎn)A到平面PBC的距離.解：（I）取BC中點(diǎn)D,連結(jié)AD,B1D 三棱柱ABCA1B1C1是直棱柱側(cè)面CB1底面ABC,且交線為BC1分ABC為等邊三角形ADBC, AD面CB1 AB1D為AB1與側(cè)面CB1所成的角2分 在RtADB1中 AD=，AB1sinAB1D AB1D=（II）連結(jié)PB,PC,PD,PA底面ABC ADBC PDBC PDA為二面角PBCA的平面角在RtPAD tanPDAPDAarctan.）設(shè)點(diǎn)A到平面PBC的距離為h，則由得 ，.6、如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點(diǎn)，（I）求證：平面BCD；（II）求異面直線AB與CD所成角的大小的余弦值；（I）證明：連結(jié)OC