微積分下第7章多元函數(shù)微積分學 練習題

1、第七章 多元函數(shù)微積分學 第一部分：多元函數(shù)微分學 一、二元函數(shù)的極限專題練習： 1.求下列二元函數(shù)的極限: 31?22;limxsin?y;2?limxy (2) (1) 2xyy? 22x?y?1?(x,y)?,?(x,y)?2,? 2? xyxysin;limlim; (4) (3) x?xy?1?1?0,0,y)?(x0,1?(x,y) 44yx?f(y)x,0,0(x?),y的極限不存在。時，2證明：當 ?344y?x 二、填空題 22y?)?xyf(x?,y，則3. 若 ； ?)f(x,y 2222的定義域是 4. 函數(shù) ； ?D1)yx?f(x,y)4?x?y?ln( 2yx?)

2、,fy(x ； 5. 已知 ，則 e)f(x,y?x 32 ； 6. 當,則 ?f(0,1)yx?5yf(x,)x z?2xyyx?z?e ； ，則 7. 若 ? y?y(1,0)f?)?ln(x)(fx,y；設8. ，則 yx2 xyz?xe ； ?dz的全微分9. 二元函數(shù) 10.則dz= . ，)Z?arctan(xy設 三、選擇題 ?Z ( ) 11.設函數(shù) ，則 ?)xyZ?ln( x?1x1y D C A B yyxx Z?2),Z?sin(xy) 則12.設 ( ? x?222222)cos(ycos(xyxy)?xycos(xyxy?)cos(xy)y D A BC Z?xy

3、( ) ，則 設13.?3Z? x?1xy?xyxyxy3yxy3 D C B A ln333ln3y ?f?0，則（ 14.已知 ） ?x2f?20?0yf?xfx,y,1x?fyx,y?x. ；D 關于BA為單調(diào)遞增；C 2?x?y,xy,?fxz處具有偏導數(shù)是它在該點存在全微分的（ 15函數(shù) ）在點 00A必要而非充分條件；B充分而非必要條件；C充分必要條件 ； D既非充分又非必要條件. 四、計算與應用題 y22yx?ez?(1,1),z(?z(0,1),(1,0)1,z?1)zarctan?z；求(2) , 16. (1) ； , 求 yxxyx ?2xy 17.)y(x)x,y和f,

4、求fyf已知(x,)?e?yx,(yx ?Z?Zy?224x2和,求x?設Z(3?y) 18. 已知 y?x? xye?z19.zz;。 ，求 yx22y?x 2dZ)y?ln(x?Z ，求 20.設函數(shù) 22Z?Z 21.,求?y),Z設?xln(x 2y?x?x :計算下列函數(shù)的二階偏導數(shù)22.xxy?z)esinx?z?(cosxy ； (1) ；(2) 22y?x 23求復合函數(shù)的偏導數(shù)或導數(shù): yzz?222,ylnv,u?x?,vuz?；，求 (1) ?x?yx yz?z 2uv2,arctanuz?e,?lnx?,v?y； (2) ，求 ?x?yx Z2dZ0Z?y?eln?x

5、確定，求 由方程 24.設),y(Z?Zx ?z?z?zx?2y3?)3y2?sin(2x?z 25.，求設 y?x? 26求下列函數(shù)的極值 1x?22332 y?2ln?y?2lnxz?z?x?y3xy?xeyz?x?2 (3) ； (1) ； (2) ； （選做題）：27求下列函數(shù)的最值2231y1?4,1?x?zx?4?2xyy,?x? ；(1) 220?,?zxyxyxyxy3,y?0,x? (2) ； zz,y?)F(x?0z?z(x,y)，F(xiàn)具有一階連續(xù)偏導數(shù)，（選做題）28. 設由方程確定 yx?z?z?y?z?xyx 證明： ?x?y 第二部分：多元函數(shù)積分學二重積分 一、填空

6、題 f(x,y)在閉區(qū)域D1、當函數(shù)上_時，則其在D上的二重積分必定存在 D?D?D)xf(,y，在有界閉區(qū)域2、若D上可積，且 21 ?0x,y)?f(d),y_xf()(fx,yd；當時，則 DD21?0xf(,)?yd),f(xydyxf(,)_ 當時，則 DD21 ?dxfgx,y,?y,=_ 、設為常數(shù)，則3D?D,Ddxf,y=_ 構成，則4、區(qū)域D由閉區(qū)域21D?yx?f,z D在閉區(qū)域D5、設函數(shù)上連續(xù)，的面積，是?,dx,yf=_ 上至少存在一點使得則在DD?xydx?2x?,yy?1, 所圍成的閉區(qū)域。D是由直線6、計算=_，其中 D?10,0,0,21,0,1yd?x1=

7、_ 、設D是頂點分別為的直邊梯形，計算7D 、改變下列二次積分的積分次序8211x2x?2?fdydxfdydx； =_=_； 00x12?xy3?12uy3?dvdu?fdydyfdxvfdx =_；=_； 010000 9、把下列二重積分表示為極坐標形式的二次積分y?22?dxdyarctanfx,?ydxdyyx?； =_； =_ x?22224y?x?x2?yx?22yx? 22?dxdyexy?y?4D?yx,x1?, =_()；D22y?x?edxdy、半徑為D其中 =_， 是由中心在原點、a10的圓周所圍成的閉區(qū)域。D 二、選擇題222?D,D,DD1?x?yydx=） 二、在一

8、、三、分別為圓四象限的部分，1、則 （4213D1222?ydydydxxx ； C B ； A (D)0. ；DDD432?1 ?2222?d?yx?1D?,xyxx?y 、2 ） =，則（? 2?D?22111?xx1?2222?dx?dyydxxx?ydy ； B ； A 1122?1?xx?1 22?2?x11?112222?dy?xdxyyddx?xy. D ； C 111?1? 222? ay?x?a,x,x?y?aD?yx,?0D?x,y?xa?a，、設有平面閉區(qū)域31?dxdyycosxsinxy?=（ 則 ） D?xydxdy2sinydxdy2cosx； B ； A DD1

9、1?dxdysin4yxy?cosx； C D 0. D1 11?x4、二次積分等于( ). dy)y(x,dxf?0011?xy?11?f(xdy,y)dx B. A. dxyx,)f(dy?00001?x111?dx)y(x,dyf D. C. dx,(fdyxy)?0000 三、計算解答 22? 1、計算圍成的平面區(qū)域x , y?ydxdy 其中D為y?x2xD ?x?y ? dxdye1?y,xD?y?x. 、設區(qū)域，計算2D 2?xy?xydxdy2?y?x是由拋物線. ，其中及直線3、計算D所圍成的閉區(qū)域D ?22?dxdy?xx?yxy?x2y?2y?所圍成的閉，及直線4、計算D，其中是由拋物線D區(qū)域. 22yx?22?4?x?ydxdye是由D所圍成的閉區(qū)域5、計算. ，其中D ?222?dxdy?xyy1?x?1?y?1?x?所圍成的閉6，D，其中，直線、計算是由D區(qū)域. 7、計算下列二重積分： ?22yx? d?yc?x?b,D?y(x,)adxye , (1) 其中 D22?dy(x)?y?2,y?xy?2x所圍成的閉區(qū)域 ，及是由直線. D(2) ,其中D 8、計算下列二重積分 2222?1?x?yd)xln(1?y是由圓周