高中數(shù)學(xué)公式匯總

1、高中數(shù)學(xué)公式匯總高中數(shù)學(xué)公式結(jié)論大全1.， .4集合的子集個數(shù)共有 個;真子集有個;非空子集有個；非空的真子集有個.5.二次函數(shù)的解析式的三種形式()一般式;()頂點(diǎn)式;當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)時,設(shè)為此式(3)零點(diǎn)式；當(dāng)已知拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為時，設(shè)為此式4切線式：。當(dāng)已知拋物線與直線相切且切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為時，設(shè)為此式6.解連不等式常有以下轉(zhuǎn)化形式7.方程在內(nèi)有且只有一個實根,等價于或。.閉區(qū)間上的二次函數(shù)的最值 二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值只能在處及區(qū)間的兩端點(diǎn)處取得，具體如下:(1)當(dāng)a0時，若,則;，.(2)當(dāng)a0)1，則的周期t=a;2，或，則的周期t=2a;(）,則的周期t=3;(4)且

2、,則的周期t=;7.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 (1),且.（)，且.2.根式的性質(zhì)1.2當(dāng)為奇數(shù)時，;當(dāng)為偶數(shù)時，29有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)(） (2） (）注:若a,p是一個無理數(shù),則ap表示一個確定的實數(shù)上述有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，對于無理數(shù)指數(shù)冪都適用.3.指數(shù)式與對數(shù)式的互化式：.31.對數(shù)的換底公式: (,且,，且, ).對數(shù)恒等式:(,且,）推論 (,且, ).32.對數(shù)的四則運(yùn)算法則：若a0，a,0，n,則（1）;（) ；(3); (4）。3設(shè)函數(shù)，記若的定義域為,則且;若的值域為,則，且。34. 對數(shù)換底不等式及其推廣:設(shè)，,且,則1. 2.5. 平均增長率的問題負(fù)增長時如果原來產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為n

3、，平均增長率為,則對于時間的總產(chǎn)值,有36.數(shù)列的通項公式與前n項的和的關(guān)系：(數(shù)列的前n項的和為).37.等差數(shù)列的通項公式:;其前項和公式為：38.等比數(shù)列的通項公式:；其前n項的和公式為 或39.等比差數(shù)列:的通項公式為；其前n項和公式為：40.分期付款（按揭貸款) ：每次還款元(貸款元,次還清,每期利率為)41.常見三角不等式1若,則(2) 若，則.(3) .42.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式 ：，=,.43.正弦、余弦的誘導(dǎo)公式奇變偶不變，符號看象限，44.和角與差角公式;；.(平方正弦公式);.=(輔助角所在象限由點(diǎn)的象限決定, ）.45.二倍角公式及降冪公式 .46.三角函數(shù)的周期公

4、式 函數(shù)，r及函數(shù),xr（a,為常數(shù)，且a0)的周期；函數(shù)，(a,為常數(shù)，且a0)的周期.三角函數(shù)的圖像:五點(diǎn)法作圖列表：0/23/27.正弦定理：r為外接圓的半徑.8.余弦定理;.3.面積定理1分別表示、b、邊上的高.2.9.三角形內(nèi)角和定理 在abc中,有.50.簡單的三角方程的通解. .特別地,有. .最簡單的三角不等式及其解集. . . .2實數(shù)與向量的積的運(yùn)算律:設(shè)、為實數(shù),那么(1) 結(jié)合律:()=() ;(2)第一分配律：() =+；(3）第二分配律:（+）=.3向量的數(shù)量積的運(yùn)算律:（1) = 交換律;(2)= =;(3） +54.平面向量基本定理如果、是同一平面內(nèi)的兩個不共線

5、向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量,有且只有一對實數(shù)、2，使得=+2不共線的向量、叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底三點(diǎn)a、b、c共線的充要條件: （m為任意點(diǎn))55向量平行的坐標(biāo)表示設(shè)=,=，且,則 (）56. 與的數(shù)量積(或內(nèi)積):=|。57. 的幾何意義:數(shù)量積等于的長度|與在的方向上的投影|的乘積.向量在向量上的投影：|=.5.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)設(shè)=,=，則+=.()設(shè),=，則-=. （3)設(shè)a，b,則.(4)設(shè),則=(5)設(shè)=，,則5.兩向量的夾角公式(=,=).平面兩點(diǎn)間的距離公式(a，b).61.向量的平行與垂直 ：設(shè)=，=，且,則|= .() =0.2.線段的定比分公式

6、 ：設(shè)，是線段的分點(diǎn),是實數(shù),且,則.6.三角形的重心坐標(biāo)公式b三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、,則abc的重心的坐標(biāo)是6.點(diǎn)的平移公式 .注:圖形f上的任意一點(diǎn)p（,)在平移后圖形上的對應(yīng)點(diǎn)為，且的坐標(biāo)為65.“按向量平移”的幾個結(jié)論1點(diǎn)按向量=平移后得到點(diǎn)（2) 函數(shù)的圖象按向量=平移后得到圖象，則的函數(shù)解析式為.（3) 圖象按向量=平移后得到圖象,若的解析式,則的函數(shù)解析式為.(4）曲線：按向量=平移后得到圖象，則的方程為.(5) 向量按向量平移后得到的向量仍然為=.66. 三角形五“心”向量形式的充要條件設(shè)為所在平面上一點(diǎn),角所對邊長分別為，則1為的外心2為的重心.3為的垂心.4為的內(nèi)心.5為的

7、的旁心7.常用不等式：1(當(dāng)且僅當(dāng)ab時取“”號).2(當(dāng)且僅當(dāng)ab時取“=”號)45.6(當(dāng)且僅當(dāng)ab時取“=”號)。6最值定理:已知都是正數(shù)，則有若積是定值，則當(dāng)時和有最小值；2若和是定值,則當(dāng)時積有最大值.3已知,若則有。已知，若則有69.一元二次不等式，如果與同號,則其解集在兩根之外；如果與異號,則其解集在兩根之間.簡言之:同號兩根之外，異號兩根之間.;.7.含有絕對值的不等式 ：當(dāng)a0時，有.或.1無理不等式 .2372.指數(shù)不等式與對數(shù)不等式 (1)當(dāng)時,； (2)當(dāng)時,；73斜率公式、74直線的五種方程點(diǎn)斜式 (直線過點(diǎn),且斜率為)2斜截式 (b為直線在軸上的截距).兩點(diǎn)式 (）

8、(、 () 兩點(diǎn)式的推廣：無任何限制條件！(4）截距式 (分別為直線的橫、縱截距,)5一般式(其中、b不同時為0).直線的法向量:,方向向量：75兩條直線的平行和垂直(1)若,; .(2)若，且a1、a2、b1、b2都不為零,;；,此時直線6.四種常用直線系方程及直線系與給定的線段相交：()定點(diǎn)直線系方程：經(jīng)過定點(diǎn)的直線系方程為（除直線),其中是待定的系數(shù); 經(jīng)過定點(diǎn)的直線系方程為,其中是待定的系數(shù)(2）共點(diǎn)直線系方程：經(jīng)過兩直線，的交點(diǎn)的直線系方程為(除),其中是待定的系數(shù).(3)平行直線系方程:直線中當(dāng)斜率k一定而b變動時，表示平行直線系方程與直線平行的直線系方程是(),是參變量（4)垂直

9、直線系方程：與直線(a,b)垂直的直線系方程是，是參變量(5)直線系與線段相交。77點(diǎn)到直線的距離 ：(點(diǎn),直線:). 或所表示的平面區(qū)域設(shè)直線，則或所表示的平面區(qū)域是:若,當(dāng)與同號時，表示直線的上方的區(qū)域;當(dāng)與異號時，表示直線的下方的區(qū)域.簡言之,同號在上,異號在下.若，當(dāng)與同號時,表示直線的右方的區(qū)域;當(dāng)與異號時,表示直線的左方的區(qū)域.簡言之,同號在右,異號在左。9或所表示的平面區(qū)域或所表示的平面區(qū)域是兩直線和所成的對頂角區(qū)域上下或左右兩部分。圓的四種方程1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.2圓的一般方程 (0)圓的參數(shù)方程 .4圓的直徑式方程（圓的直徑的端點(diǎn)是、).81 圓系方程（1)過點(diǎn)，的圓系方程是,其

10、中是直線的方程,是待定的系數(shù)（2)過直線:與圓:的交點(diǎn)的圓系方程是,是待定的系數(shù)()過圓:與圓:的交點(diǎn)的圓系方程是,是待定的系數(shù).特別地，當(dāng)時，就是表示:當(dāng)兩圓相交時，為公共弦所在的直線方程；向兩圓所引切線長相等的點(diǎn)的軌跡直線方程82.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系:點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有三種若,則點(diǎn)在圓外;點(diǎn)在圓上;點(diǎn)在圓內(nèi).直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系有三種()：；;4.兩圓位置關(guān)系的判定方法：設(shè)兩圓圓心分別為，o2,半徑分別為r1，r2，；;5.圓的切線方程及切線長公式(1)已知圓.若已知切點(diǎn)在圓上,則切線只有一條,其方程是.當(dāng)圓外時, 表示過兩個切點(diǎn)的切點(diǎn)弦方程求切點(diǎn)弦方程,還可以通過連心線為直

11、徑的圓與原圓的公共弦確定。過圓外一點(diǎn)的切線方程可設(shè)為，再利用相切條件求k，這時必有兩條切線，注意不要漏掉平行于y軸的切線.斜率為的切線方程可設(shè)為,再利用相切條件求b,必有兩條切線.(2）已知圓.過圓上的點(diǎn)的切線方程為;斜率為的圓的切線方程為.(3)過圓外一點(diǎn)的切線長為6.橢圓的離心率,過焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦長為：.8.橢圓 ,;。88橢圓的的內(nèi)外部點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部.2點(diǎn)在橢圓的外部.89. 橢圓的切線方程 (1）橢圓上一點(diǎn)處的切線方程是.2過橢圓外一點(diǎn)所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是 3橢圓與直線相切的條件是.0.雙曲線的離心率,過焦點(diǎn)且垂直于實軸的弦長為:.，。1.雙曲線的內(nèi)外部(）點(diǎn)在雙曲線的內(nèi)部

12、.（2）點(diǎn)在雙曲線的外部92.雙曲線的方程與漸近線方程的關(guān)系(1若雙曲線方程為漸近線方程: ()若漸近線方程為雙曲線可設(shè)為.(3)若雙曲線與有公共漸近線，可設(shè)為,焦點(diǎn)在x軸上,焦點(diǎn)在y軸上.（4) 焦點(diǎn)到漸近線的距離總是。3雙曲線的切線方程(1)雙曲線上一點(diǎn)處的切線方程是. 2過雙曲線外一點(diǎn)所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是. 雙曲線與直線相切的條件是94. 拋物線的焦半徑公式拋物線, (其中為x軸的正向繞焦點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到fc的角)過焦點(diǎn)弦長. （其中為傾斜角)95.拋物線上的動點(diǎn)可設(shè)為p或 p,其中 .95.二次函數(shù)的圖象是拋物線:1頂點(diǎn)坐標(biāo)為；2焦點(diǎn)的坐標(biāo)為;3準(zhǔn)線方程是.97.以拋物線上的

13、點(diǎn)為圓心，焦半徑為半徑的圓必與準(zhǔn)線相切；以拋物線焦點(diǎn)弦為直徑的圓,必與準(zhǔn)線相切;以拋物線的半徑為直徑徑的圓必與過頂點(diǎn)垂直于軸的直線相切。9. 拋物線的切線方程(1)拋物線上一點(diǎn)處的切線方程是.過拋物線外一點(diǎn)所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是. 3拋物線與直線相切的條件是.99兩個常見的曲線系方程(1)過曲線,的交點(diǎn)的曲線系方程是(為參數(shù)).(2)共焦點(diǎn)的有心圓錐曲線系方程,其中.當(dāng)時,表示橢圓;當(dāng)時,表示雙曲線.100.直線與圓錐曲線相交的弦長公式或弦端點(diǎn)a，由方程 消去y得到，為直線的傾斜角,為直線的斜率，. 10圓錐曲線的兩類對稱問題1曲線關(guān)于點(diǎn)成中心對稱的曲線是.2曲線關(guān)于直線成軸對稱的曲線是特

14、別地,曲線關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱的曲線是. 曲線關(guān)于直線軸對稱的曲線是.曲線關(guān)于直線軸對稱的曲線是. 曲線關(guān)于直線軸對稱的曲線是. 曲線關(guān)于直線軸對稱的曲線是.102.動點(diǎn)m到定點(diǎn)f的距離與到定直線的距離之比為常數(shù),若,m的軌跡為橢圓；若，m的軌跡為拋物線;若,m的軌跡為雙曲線。3證明直線與直線的平行的思考途徑1轉(zhuǎn)化為判定共面二直線無交點(diǎn);2轉(zhuǎn)化為二直線同與第三條直線平行；3轉(zhuǎn)化為線面平行;4轉(zhuǎn)化為線面垂直;轉(zhuǎn)化為面面平行.104證明直線與平面的平行的思考途徑1轉(zhuǎn)化為直線與平面無公共點(diǎn)；2轉(zhuǎn)化為線線平行；轉(zhuǎn)化為面面平行.105.證明平面與平面平行的思考途徑1轉(zhuǎn)化為判定二平面無公共點(diǎn)；2轉(zhuǎn)化為線面平

15、行;3轉(zhuǎn)化為線面垂直06.證明直線與直線的垂直的思考途徑1轉(zhuǎn)化為相交垂直；2轉(zhuǎn)化為線面垂直;3轉(zhuǎn)化為線與另一線的射影垂直;4轉(zhuǎn)化為線與形成射影的斜線垂直.107.證明直線與平面垂直的思考途徑1轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)任一直線垂直；2轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)相交二直線垂直；3轉(zhuǎn)化為該直線與平面的一條垂線平行；轉(zhuǎn)化為該直線垂直于另一個平行平面。108證明平面與平面的垂直的思考途徑轉(zhuǎn)化為判斷二面角是直二面角;轉(zhuǎn)化為線面垂直；（) 轉(zhuǎn)化為兩平面的法向量平行。1.空間向量的加法與數(shù)乘向量運(yùn)算的運(yùn)算律（1)加法交換律：=.(2)加法結(jié)合律：()=(+）.（)數(shù)乘分配律:(+）=+1.平面向量加法的平行四邊形法則向

16、空間的推廣始點(diǎn)相同且不在同一個平面內(nèi)的三個向量之和,等于以這三個向量為棱的平行六面體的以公共始點(diǎn)為始點(diǎn)的對角線所表示的向量.11.共線向量定理對空間任意兩個向量、 ( )，存在實數(shù)使=.三點(diǎn)共線、共線且不共線且不共線.11.共面向量定理 向量與兩個不共線的向量、共面的存在實數(shù)對,使推論 空間一點(diǎn)p位于平面ma內(nèi)的存在有序?qū)崝?shù)對,使，或?qū)臻g任一定點(diǎn)o,有序?qū)崝?shù)對,使113.對空間任一點(diǎn)和不共線的三點(diǎn)a、b、c，滿足，則當(dāng)時，對于空間任一點(diǎn)，總有p、a、b、c四點(diǎn)共面;當(dāng)時，若平面abc,則p、a、b、c四點(diǎn)共面;若平面ac,則、a、b、四點(diǎn)不共面.四點(diǎn)共面與、共面平面abc.114.空間向量基

17、本定理 如果三個向量、不共面，那么對空間任一向量，存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y,使=x+y.推論 設(shè)、a、b、c是不共面的四點(diǎn),則對空間任一點(diǎn)p,都存在唯一的三個有序?qū)崝?shù)x,，z，使.15.射影公式已知向量和軸,是上與同方向的單位向量.作a點(diǎn)在上的射影，作點(diǎn)在上的射影，則116.向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算設(shè)，則(） ;(2） =；（3) (r);（) ;117.設(shè)a,，則= 118空間的線線平行或垂直設(shè),則；.119夾角公式 設(shè)=，則推論 ,此即三維柯西不等式.120. 正棱錐的側(cè)面與底面所成的角為，則。特別地,對于正四面體每兩個面所成的角為，有。11異面直線所成角=其中為異面直線所成角，分別表示異

18、面直線的方向向量2.直線與平面所成角(為平面的法向量).123二面角的平面角根據(jù)具體圖形確定是銳角或是鈍角或,為平面，的法向量.124折疊角定理設(shè)ac是內(nèi)的任一條直線,是的一條斜線ab在內(nèi)的射影，且bdad，垂足為d，設(shè)ab與（d)所成的角為， ad與ac所成的角為，ab與ac所成的角為.則25.空間兩點(diǎn)間的距離公式 若a，b，則.126.點(diǎn)到直線距離(點(diǎn)在直線上，為直線的方向向量, ).17.異面直線間的距離 (是兩異面直線，其公垂向量為,分別是上任一點(diǎn),為間的距離).128點(diǎn)到平面的距離為平面的法向量,，是的一條斜線段.12.異面直線上兩點(diǎn)距離公式 .(兩條異面直線、b所成的角為，其公垂線

19、段的長度為h在直線a、上分別取兩點(diǎn)e、f，,）. 10.三個向量和的平方公式131.作截面的依據(jù)三個平面兩兩相交,有三條交線,則這三條交線交于一點(diǎn)或互相平行.32.棱錐的平行截面的性質(zhì)如果棱錐被平行于底面的平面所截，那么所得的截面與底面相似，截面面積與底面面積的比等于頂點(diǎn)到截面距離與棱錐高的平方比對應(yīng)角相等,對應(yīng)邊對應(yīng)成比例的多邊形是相似多邊形，相似多邊形面積的比等于對應(yīng)邊的比的平方；相應(yīng)小棱錐的體積與原棱錐的體積的比等于頂點(diǎn)到截面距離與棱錐高的立方比;相應(yīng)小棱錐的的側(cè)面積與原棱錐的的側(cè)面積的比等于頂點(diǎn)到截面距離與棱錐高的平方比.33.球的半徑是,則其體積,其表面積34.球的組合體 (1)球與

20、長方體的組合體:長方體的外接球的直徑是長方體的體對角線長. ()球與正方體的組合體：正方體的內(nèi)切球的直徑是正方體的棱長,正方體的棱切球的直徑是正方體的面對角線長, 正方體的外接球的直徑是正方體的體對角線長. (3)球與正四面體的組合體: 棱長為的正四面體的內(nèi)切球的半徑為(正四面體高的)，外接球的半徑為(正四面體高的)135柱體、錐體的體積是柱體的底面積、是柱體的高.是錐體的底面積、是錐體的高.136.分類計數(shù)原理加法原理:.17.分步計數(shù)原理乘法原理：138.排列數(shù)公式：=.（,*，且）規(guī)定.3排列恒等式:(1;3；4; 5.() .10.組合數(shù)公式：=(n，且).141.組合數(shù)的兩個性質(zhì):(

21、）；(2） +=規(guī)定12.組合恒等式1;2;3; =;5.(）(7)（8)（9）(10).3排列數(shù)與組合數(shù)的關(guān)系：144.單條件排列以下各條的大前提是從個元素中取個元素的排列1“在位”與“不在位”某特元必在某位有種;某特元不在某位有補(bǔ)集思想著眼位置著眼元素種.2緊貼與插空即相鄰與不相鄰定位緊貼:個元在固定位的排列有種浮動緊貼:個元素的全排列把k個元排在一起的排法有種.注:此類問題常用捆綁法；插空:兩組元素分別有k、h個，把它們合在一起來作全排列,k個的一組互不能挨近的所有排列數(shù)有種.3兩組元素各相同的插空個大球個小球排成一列,小球必分開,問有多少種排法?當(dāng)時,無解;當(dāng)時,有種排法.4兩組相同元

22、素的排列:兩組元素有個和n個，各組元素分別相同的排列數(shù)為.45分配問題1(平均分組有歸屬問題)將相異的個物件等分給個人,各得件,其分配方法數(shù)共有.（平均分組無歸屬問題）將相異的個物體等分為無記號或無順序的堆,其分配方法數(shù)共有.3(非平均分組有歸屬問題)將相異的個物體分給個人,物件必須被分完，分別得到，,件，且，,這個數(shù)彼此不相等，則其分配方法數(shù)共有.4(非完全平均分組有歸屬問題)將相異的個物體分給個人,物件必須被分完，分別得到,，件,且，,這個數(shù)中分別有a、b、個相等,則其分配方法數(shù)有（非平均分組無歸屬問題)將相異的個物體分為任意的,，件無記號的堆,且,這個數(shù)彼此不相等，則其分配方法數(shù)有.6(

23、非完全平均分組無歸屬問題)將相異的個物體分為任意的，,，件無記號的堆,且,，,這個數(shù)中分別有a、b、c、個相等,則其分配方法數(shù)有.7(限定分組有歸屬問題)將相異的個物體分給甲、乙、丙,等個人,物體必須被分完，如果指定甲得件，乙得件,丙得件,時,則無論，,等個數(shù)是否全相異或不全相異其分配方法數(shù)恒有.146“錯位問題”2封信與2個信封全部錯位排列數(shù):1；3封信與3個信封全部錯位排列數(shù)：;4封信與4個信封全部錯位排列數(shù)：9；5封信與個信封全部錯位排列數(shù)：4；一般記著上面的就夠了推廣貝努利裝錯箋問題:信封信與個信封全部錯位的組合數(shù)為.推廣: 個元素與個位置,其中至少有個元素錯位的不同組合總數(shù)為.47不

24、定方程的解的個數(shù)(1)方程的正整數(shù)解有個.(2） 方程的非負(fù)整數(shù)解有 個.(3） 方程滿足條件(,)的非負(fù)整數(shù)解有個.48.二項式定理；二項展開式的通項公式的展開式的系數(shù)關(guān)系：；;。149.等可能性事件的概率：.15.互斥事件a,分別發(fā)生的概率的和：p(a+b）=(a)+p().151.個互斥事件分別發(fā)生的概率的和：p(a1+a2+an)=p（)p(a2)+(a).152獨(dú)立事件a,b同時發(fā)生的概率：（ab) p（a)p（b）.5個獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率:p(a1a2 an)=p（a1) p(a) p(a） 154.n次獨(dú)立重復(fù)試驗中某事件恰好發(fā)生k次的概率:15.離散型隨機(jī)變量的分布列的兩個

25、性質(zhì)1;215.數(shù)學(xué)期望：15.數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)1若,則.() 若服從幾何分布,且,則.158.方差：19.標(biāo)準(zhǔn)差：=.160.方差的性質(zhì)();(2若,則.(3) 若服從幾何分布,且，則16方差與期望的關(guān)系：.12正態(tài)分布密度函數(shù):,式中的實數(shù)，是參數(shù)，分別表示個體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差.1標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù):.164.對于，取值小于x的概率：.16回歸直線方程 ,其中.66.相關(guān)系數(shù) : |,且|越接近于1,相關(guān)程度越大;r越接近于0,相關(guān)程度越小67.特殊數(shù)列的極限 2.3無窮等比數(shù)列(）的和.168. 函數(shù)的極限定理:.19.函數(shù)的夾逼性定理 如果函數(shù)f(x),g(x)，h(x)在點(diǎn)x0的附近滿足：1;2常數(shù),則.本定理對于單側(cè)極限和的情況仍然成立.1.幾個常用極限1，;2，7.兩個重要的極限