2001年秋季初二競(jìng)賽班 軸對(duì)稱1練習(xí)題

1、 軸對(duì)稱1練習(xí)題 2011-9-10題1 （第一屆“祖沖之杯”初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）如圖，凸四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD交于O，且ACBD，已知OAOC，OBOD.求證：BCADABCD.證明 在線段OA上取C關(guān)于BD對(duì)稱點(diǎn)C，在線段OB上取D關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)D，連CD，AD，BC，則CDCD，BCBC，ADAD.在ABE中，BEAEAB在DCE中，DECECD得：BCADABCD，BCADABCD.題2 (1999年北京市初中競(jìng)賽試題)如圖所示, 正方形紙片ABCD中, E為BC中點(diǎn), 折疊正方形, 使點(diǎn)A與點(diǎn)E重合, 壓平后得拆痕MN. 設(shè)梯形ADMN的面積為S1, 梯形BCMN的面積為S2

2、, 求的值. 解 連結(jié)AE, 則折痕MN垂直平分AE. 若連結(jié)EN, 則ENAN. 設(shè)正方形邊長(zhǎng)為1, NBx, 則EN1x, BE. 由勾股定理, 得(1x)2x2. 解得x. 又AE. 過(guò)N作NFDC于F, 在RtABE和RtNFM中, ABNF, 12(都是MNA的余角), RtABERtNFM. NMAE.MF.MC, DM. 題3 等腰三角形ABC中，AB= AC,A=100，BE是ABC的平分線，求證：AE+ BE=BC證法1 由已知條件不難算出：1=2=20，5=60，7=40 延長(zhǎng)BE到G，使BG=BC，連結(jié)CG，不難得到G=80，8=40,6=60。 在BC上截取BF=BA，

3、連結(jié)EF，易證ABEFBE,從而3=5=60，EF=AE在EFC與EGC中，4=180-（5+3）=60=6，CE=CE，7=8，故EFCEGC，EF=EG，從而EG=AE AE+BE=EG+BE=BG=BC.證法2 由已知條件可以算出：1=2=20，5=60,C=40，在BC上截取BG=BE，連結(jié)EG，計(jì)算后可知7 =BEG=80，4=7-C=40，于是4=C，EG=GC 又在BC上截取BF=BA，連結(jié)EF.顯然ABEFBE，從而5=3，于是3=60，又AE=EF. 因6=3+1=60 +20= 80 =7，故EF=EG，從而AE= GC AE+BE=GC+BG=BC.證法3 在BC上截取B

4、G=BE，連結(jié)EG易求得4=40，7=80，從而5=100=A 過(guò)E作EFBC交AB干F，顯然AEF也是等腰三角形，從而AF=AE，于是有FB=EC.又3=1=2，故有 EF=FB.又6=ABC= 40=4，所以AEFGEC，故有AE=GC AE+BE=GC+BG= BC.證法4 延長(zhǎng)BE到G，使EG=EA.不難算出1=2=20，4=60。，從而G=5=300， 再過(guò)A作AMBC，M為垂足，由等腰三角形性質(zhì)知M是BC的中點(diǎn) 連結(jié)GA，過(guò)B作BNGA，垂足為N，GBN=90-G=60，3= GBN-2=60-20=40 =ABC.又AB是公共邊，故有RtABNRtABM，從而BN=BM.但BN=

5、BG, BM=BC，BG=BC,即BE+EG=BC，也就是BE+AE=BC.題4（2001年廣西“創(chuàng)新杯”初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）在直角坐標(biāo)系xOy中，x軸上的動(dòng)點(diǎn)M（x，0）到定點(diǎn)P（5，5），Q（2，1）的距離分別為MP和MQ，當(dāng)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)的值是多少時(shí)，MPMQ的值最??？解 作點(diǎn)Q關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)（2，1）。設(shè)直線PR為ykxb，則有 解得所以直線PR的解析式為y2x5。令y0，解出x即為所求。下面證明點(diǎn)M0（，0）使MPMQ取最小值。設(shè)PR與x軸的交點(diǎn)為M0（，0），在x軸上任取一點(diǎn)M，因?yàn)辄c(diǎn)Q關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為R，易知x軸垂直平分QR，于是M0QM0R，MQMR，由三角形三邊關(guān)系，知MPMRPR，而PRPM0M0RM0PM0Q，所以MPMQM0PM0Q。即M0（，0）使MPMQ取最小值。題5如圖，平行線a,b是一條灌溉渠道的兩岸，A，B是位于渠道兩旁的兩個(gè)村莊，今要在渠上架一座與岸垂直的橋梁，且使得兩個(gè)村莊到橋頭的距離相等，問(wèn)此橋應(yīng)該架在何處？15過(guò)A點(diǎn)作a