線性代數(shù)總結(jié)

1、線性代數(shù)總結(jié)在學(xué)習(xí)線性代數(shù)之前就有幾個(gè)老師說(shuō)過(guò)線性代數(shù)并不比高數(shù)簡(jiǎn)單，我就這樣半信半疑的開(kāi)啟了學(xué)習(xí)這門(mén)課的旅程。在這本書(shū)的第一章中，我們主要學(xué)了以下幾點(diǎn)：一、 利用對(duì)角線法則計(jì)算二階和三階行列式。二、 n階行列式的定義及性質(zhì)。三、 代數(shù)余子式的定義及性質(zhì)。四、 計(jì)算簡(jiǎn)單的n階行列式的方法和克拉默法則。 在這第一章中還有一些細(xì)節(jié)值得我們注意：1、 行列式展開(kāi)的每項(xiàng)均由不同行不同列的元素組成。2、 進(jìn)行列式的初等變換時(shí)ri+rj與rj+ri的區(qū)別。3、 特殊行列式如范德蒙德行列式的公式。4、 上三角行列式與下三角行列式的特殊應(yīng)用。第二章我們主要學(xué)習(xí)了矩陣及其運(yùn)算方法，主要內(nèi)容如下：一、同型矩陣（兩

2、個(gè)行列式的行數(shù)和列數(shù)均相等）、零矩陣（元素均為0）、對(duì)角矩陣（不在對(duì)角線上的元素都為0）、單位矩陣（對(duì)角線上的元素都為1的對(duì)角矩陣）、對(duì)稱矩陣(AT=A,其元素以對(duì)角線為對(duì)稱軸相對(duì)應(yīng))等特殊矩陣的定義。二、如何計(jì)算矩陣的加法、數(shù)乘、轉(zhuǎn)置以及矩陣間的乘法。三、可逆矩陣和伴隨矩陣的概念和性質(zhì)及其之間的聯(lián)系。四、分塊矩陣的概念及其運(yùn)算規(guī)律，行向量組與列向量組。同樣第二章中也有一些細(xì)節(jié)，如：1、 利用A=PBP-1則f(A)=Pf(B)P-1計(jì)算矩陣的多項(xiàng)式。2、 |A*| = |A|(n-1)，|b*A|=bn|A| 其中n是方陣A的階數(shù)。3、 矩陣的乘法不滿足交換律，但滿足結(jié)合律和分配律。4、 矩

3、陣|A|=0的充分必要條件是ATA=0。5、 |A|=0時(shí)，A成為奇異矩陣，否則為非奇異矩陣。在第三章里老師向我們介紹了矩陣的初等變換與線性方程組，以下是主要內(nèi)容：一、 利用初等行變換將矩陣轉(zhuǎn)化為行階梯形和行最簡(jiǎn)形。二、 矩陣的秩的概念及其性質(zhì)，矩陣等價(jià)的定義及其充要條件。三、 線性方程組解的無(wú)解、有唯一解和有無(wú)限個(gè)解的充要條件以及當(dāng)矩陣為方陣時(shí)的特殊情況。四、 矩陣方程AX=B有解的充要條件和求解線性方程組的方法。在這一章中有幾點(diǎn)值得我們特別注意：1、 行階梯形矩陣的秩等于非零行的行數(shù)。2、 經(jīng)有限次初等行變換矩陣的秩不變。3、 當(dāng)進(jìn)行初等行變換時(shí)如果進(jìn)行初等列變換，化成的行最簡(jiǎn)行會(huì)發(fā)生變化

4、。4、 AB=0，且A為列滿秩矩陣，則B=0。5、 在矩陣Am*n的左邊乘以m階初等矩陣即進(jìn)行了一次初等行變換，右乘n階矩陣則進(jìn)行一次初等列變換。很快我們進(jìn)入到了這門(mén)課的主干部分，我們學(xué)習(xí)了向量組的線性相關(guān)性，以下是主要內(nèi)容；1、 向量組的概念以及與矩陣的對(duì)應(yīng)，向量組的線性組合概念。2、 向量組間能線性表示的概念及其充要條件以及向量組等價(jià)的概念。3、 向量組線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)的充要條件以及向量組的線性相關(guān)性的一些性質(zhì)。4、 向量組的最大無(wú)關(guān)組和秩的概念以及如何利用初等變換來(lái)求。5、 基礎(chǔ)解系、通解的概念以及求線性方程組的基礎(chǔ)解系、通解的方法。6、 向量空間以及其基和維、解空間的概念，如何求向量

5、在一個(gè)基中的坐標(biāo)。同樣在這一章中也有值得我們注意的地方。1、 當(dāng)方程組中有“多余的”方程時(shí)，方程組則是線性相關(guān)的，否則是線性無(wú)關(guān)的。2、 含零向量的向量組是線性相關(guān)的。3、 向量組的最大無(wú)關(guān)組一般不是唯一的。4、 向量組A和自己的最大無(wú)關(guān)向量組等價(jià)。5、 過(guò)渡矩陣的求法。之后我們學(xué)習(xí)了第五章，也是我們所學(xué)習(xí)的最后一章。其主要內(nèi)容如下：1、 向量?jī)?nèi)積、長(zhǎng)度、正交、規(guī)范正交基、正交矩陣的概念以及 施密特正交化的方法。2、 矩陣的特征值和特征向量的概念、性質(zhì)及其求法。3、 相似矩陣的概念和性質(zhì)，矩陣可對(duì)角化的充要條件。4、 對(duì)稱矩陣的概念及有關(guān)其特征值的性質(zhì)，將對(duì)稱矩陣轉(zhuǎn)化為 對(duì)角陣的方法。5、 用

6、矩陣表示二次型的方法及將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型的方法。6、 二次型及矩陣正定、負(fù)定的概念及其充要條件。在第五章中也有一些細(xì)節(jié)值得我們注意：1、 內(nèi)積的一些運(yùn)算規(guī)律和施瓦茨不等式。2、 向量長(zhǎng)度的性質(zhì)包括三角不等式。3、 實(shí)行正交變換時(shí)保持向量長(zhǎng)度不變。4、 若z為矩陣A的特征值，則zk是Ak的特征值，f(z)是f(A)的特征值。5、 A、B矩陣合同的條件以及性質(zhì)。6、 判斷某二次型是否正定即判斷其矩陣是否正定即需要判斷矩陣的各階主子式的值。注意：1、 遇到行列式時(shí)，注意是要求出它的值時(shí)要進(jìn)行行列式的展開(kāi)，不能什么都想著進(jìn)行初等行變換。2、 齊次線性方程組有非零解，則其系數(shù)行列式的值為0. 若系數(shù)行列

7、式的值不為0，則其只有零解。 三、若AB=BA，則A和B是可交換的。 矩陣A的逆矩陣是唯一的。 若矩陣A的行列式不為0或存在有限個(gè)初等矩陣P1，P2.Pl,使A=P1P2.Pl或矩陣A和單位矩陣E等價(jià)，則該矩陣可逆且該矩陣的 逆矩陣也是可逆的,該矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣也是可逆的。 求矩陣的逆矩陣時(shí)要先求該矩陣的行列式的值，判斷是否可逆。 矩陣A和B等價(jià)的條件是矩陣A可以經(jīng)過(guò)初等變換變成矩陣B。 矩陣的等價(jià)關(guān)系具有反身性、對(duì)稱性、傳遞性。 進(jìn)行初等行變換時(shí)通常都將矩陣轉(zhuǎn)化為行最簡(jiǎn)形，其特點(diǎn)是非零行的第一個(gè)非零元素為1且非零元素所在列的其他元素均為0. 可逆矩陣的秩等于矩陣的階數(shù)。 行階梯形矩陣中，其秩即

8、為非零行的行數(shù)。 經(jīng)有限次初等行變換矩陣的秩不變，即等價(jià)矩陣的秩相等。 向量組B(A)能由向量組A(B)線性表示的充要條件：R（A(B)=R(A,B) 當(dāng)某一方程組含有多余的方程時(shí)，該方程組線性相關(guān)，否則線性無(wú)關(guān)。 向量組A線性相關(guān)的充要條件，R（A）向量組中向量的個(gè)數(shù)。 M個(gè)a向量組成的向量組A線性相關(guān)，則M+1個(gè)a向量組成的向量組B也線性相關(guān)。 含零向量的向量組線性相關(guān)。 矩陣A的最高階非零子式所在的r列即為A的列向量組的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組。 向量組的最大無(wú)關(guān)向量組一般不是唯一的。 向量組和自己的最大無(wú)關(guān)向量組是等價(jià)的。 等價(jià)向量組的秩相等。 解向量對(duì)加法和數(shù)乘運(yùn)算是封閉的。 當(dāng)R（A）=n時(shí)

9、，齊次線性方程組只有零解，沒(méi)有基礎(chǔ)解系。 方陣A為正交陣的充要條件：A的列向量均為單位向量且兩兩正交。 正交變換過(guò)程中保持向量的長(zhǎng)度不變。 若方陣特征值各不相等，則其所對(duì)應(yīng)的特征向量組成的向量組線性無(wú)關(guān)且其特征向量?jī)蓛烧弧?基礎(chǔ)解系和通解都是不唯一的。 相似矩陣的特征多項(xiàng)式相同，且特征值也相同。- 矩陣能對(duì)角化的充要條件：矩陣有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。 Max(R(A),R(B)=R(A,B)=R(A) + R(B) R(A)=R(A,b)=R(A) +1 R(A+B)=R(A)+R(B) R(AB)=min(R(A),R(B) 若Am*n* Bn*l = 0,則R(A)+R(B)=n 若A

10、B=0，若A為可逆矩陣，則B=0 四、矩陣的運(yùn)算法則： A+B=B+A (A+B)+C=A+(B+C) (ab）A=a(b A) (a+b）A=a A+b A a(A+B)=a A+a B 一般情況下 AB BA (AB)kAk Bk 可能有 A0,B0,但BA=0 （AB）C= A(B C) a(AB)=(a A)B=A(a B) A(B+C)=AB+AC (B+C)A=BA+CA (a En)An=a An=An(a En) AkAl = A k+l (Ak)l = Akl (AT) T=A (A+B)T = AT +BT (a A)T = a AT (AB)T = BTAT |AT|=|

11、A| |aA|=an|A| |AB|=|A|B| AA*=A*A=|A|E A-1 = 1/|A| A* （A-1）-1 = A (aA)-1 = 1/a A -1 (AB)-1 = B-1A-1 (AT)-1=(A-1)T R(AT) = R(A) 五、易混概念集合 解向量：方程組Ax=b的解稱為方程組的解向量。 初等矩陣：由單位矩陣經(jīng)過(guò)一次初等變換得到的矩陣。 最高階非零子式：在矩陣A中有一個(gè)不為0的r階子式D，且所有r+1階子式全為0，則D為A的最高階非零子式。 滿秩矩陣：即可逆矩陣。 奇異矩陣：即不可逆矩陣，即降秩矩陣。 等價(jià)矩陣：矩陣A可以經(jīng)過(guò)初等變換變成矩陣B或存在可逆矩陣P、Q使

12、得PAQ=B。 向量組：若干個(gè)同維數(shù)的列向量或行向量所組成的集合。 線性表示：83頁(yè) 向量組等價(jià)：矩陣能相互線性表示。 線性相關(guān)：87頁(yè) 最大線性無(wú)關(guān)組：向量組A中選出的r個(gè)向量線性無(wú)關(guān)，任意r+1個(gè)向量線性相關(guān)或任意向量組A中任意向量都可以用這r個(gè)向量線性表示。 基礎(chǔ)解系：齊次線性方程組的解集的最大無(wú)關(guān)組即線性方程組的基礎(chǔ)解系。 向量空間：若V為n維向量的集合，且集合非空，且集合對(duì)向量的加法和數(shù)乘封閉，則稱集合V為向量空間。 基：向量組的最大無(wú)關(guān)組即為V的基。 維數(shù)：即向量組的最大無(wú)關(guān)組的秩。 解空間：齊次線性方程組的解集是一個(gè)向量空間，即為該方程組的解空間。 正交：兩向量組內(nèi)積為0.即ATB=0 正交矩陣：ATA=E即A-1=AT 相似矩陣：存在可逆矩陣P，使得P-1AP=B，則A和B相似。 合同：存在可逆矩陣C，使得B=CTAC，則矩陣A和B合同。若A為對(duì)稱