初中圓知識(shí)點(diǎn)總結(jié)與練習(xí)

1、初中圓知識(shí)點(diǎn)總結(jié)與練習(xí)圓一圓的認(rèn)識(shí)知識(shí)點(diǎn)晴1圓的定義oar(1）在一個(gè)平面內(nèi)，線段oa繞它的一個(gè)端點(diǎn)o旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)a隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圖形叫做圓。固定的端點(diǎn)o叫做圓心，線段oa叫做半徑，如右圖所示。（2)圓可以看作是平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合，定點(diǎn)為圓心,定長(zhǎng)為圓的半徑。說(shuō)明:圓的位置由圓心確定，圓的大小由半徑確定，半徑相等的兩個(gè)圓為等圓。2圓的有關(guān)概念(1）弦：連結(jié)圓上任意兩點(diǎn)的線段.（如右圖中的cd）。boa（2）直徑:經(jīng)過(guò)圓心的弦（如右圖中的ab)。直徑等于半徑的2倍.dc（3）弧：圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧.(如右圖中的、)其中大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，如，小于半圓的弧叫

2、做劣弧。（4)圓心角：如右圖中cod就是圓心角.3與圓相關(guān)的角（1)與圓相關(guān)的角的定義圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角圓周角：頂點(diǎn)在圓上且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角。弦切角：頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交,另一連軸和圓相切的角叫做弦切角。（2)與圓相關(guān)的角的性質(zhì)圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)的弦的度數(shù)；一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半；同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；半圓(或直徑）所對(duì)的圓周角相等；弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角；兩個(gè)弦切角所夾的弧相等，那么這兩個(gè)弦切角也相等；圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ),并且任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)對(duì)角.4圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系.(1）定理：在同圓或等圓中

3、，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦的弦心距相等。(2）推論：在同圓或等圓中,如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等例題精講【例1】 下面四個(gè)命題中正確的一個(gè)是（ ） a過(guò)弦的中點(diǎn)的直線平分弦所對(duì)的弧 b過(guò)弦的中點(diǎn)的直線必過(guò)圓心 c弦所對(duì)的兩條弧的中點(diǎn)連線垂直平分弦,且過(guò)圓心 d弦的垂線平分弦所對(duì)的弧【答案】c二與圓有關(guān)的位置關(guān)系知識(shí)點(diǎn)晴1點(diǎn)與圓的位置關(guān)系如果圓的半徑為r，某一點(diǎn)到圓心的距離為d，那么：（1）點(diǎn)在圓外(2）點(diǎn)在圓上（3)點(diǎn)在圓內(nèi)2直線和圓的位置關(guān)系設(shè)r為圓的半徑，d為圓心到直線的距離（1)直線和圓相離,直線與圓沒(méi)有交點(diǎn)

4、；(2）直線和圓相切,直線與圓有唯一交點(diǎn)；（3）直線和圓相交，直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)。3兩圓的位置關(guān)系設(shè)r、r為兩圓的半徑,d為圓心距（1）兩圓外離；（2）兩圓外切；（3)兩圓相交；（4）兩圓內(nèi)切；(5)兩圓內(nèi)含。（注意：如果為，則兩圓為同心圓。）4. 切線的性質(zhì)與判定定理 （1）切線的判定定理：過(guò)半徑外端且垂直于半徑的直線是切線; 兩個(gè)條件:過(guò)半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可 即：且過(guò)半徑外端 是的切線(2）性質(zhì)定理：切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑（如上圖） 推論1：過(guò)圓心垂直于切線的直線必過(guò)切點(diǎn). 推論2：過(guò)切點(diǎn)垂直于切線的直線必過(guò)圓心。5. 切線長(zhǎng)定理 從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這

5、點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角。 即：、是的兩條切線 平分例題精講【例2】 已知o的半徑為1，點(diǎn)p到圓心o的距離為d，若關(guān)于x的方程x22xd=0有實(shí)根，則點(diǎn)p（ )a在o的內(nèi)部b在o的外部c在o上d在o上或o的內(nèi)部【答案】d【例3】 已知：如圖，pa，pb分別與o相切于a，b兩點(diǎn)求證：op垂直平分線段ab【答案】略【例4】 已知：如圖，pa切o于a點(diǎn)，poac，bc是o的直徑請(qǐng)問(wèn)：直線pb是否與o相切?說(shuō)明你的理由【答案】直線pb與o相切提示：連結(jié)oa，證paopbo【例5】已知：如圖，o1與o2外切于a點(diǎn)，直線l與o1、o2分別切于b，c點(diǎn)，若o1的半徑r1=2cm，o2的半徑r2=3c

6、m求bc的長(zhǎng)【答案】提示：分別連結(jié)o1b，o1o2，o2c【例6】如圖，點(diǎn)a，b在直線mn上,ab=11cm,a，b的半徑均為1cma以每秒2cm的速度自左向右運(yùn)動(dòng)，與此同時(shí),b的半徑也不斷增大,其半徑r(cm)與時(shí)間t(s)之間的關(guān)系式為r=1t(t0)（1)試寫(xiě)出點(diǎn)a，b之間的距離d(cm）與時(shí)間t(s)之間的函數(shù)表達(dá)式；（2)問(wèn)點(diǎn)a出發(fā)多少秒時(shí)兩圓相切？【答案】(1)當(dāng)0t5。5時(shí)，d112t;當(dāng)t5.5時(shí)，d2t11（2) 第一次外切，t3；第一次內(nèi)切，第二次內(nèi)切,t11；第二次外切，t13三垂徑定理及推論知識(shí)點(diǎn)晴垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對(duì)的弧。推論1：（1）平分弦（不

7、是直徑）的直徑垂直于弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧； （2）弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。 即：在中， 弧弧例題精講【例7】在直徑為52cm的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后，截面如圖所示，如果油的最大深度為16cm,那么油面寬度ab是_cm.【答案】 【例8】如圖，f是以o為圓心，bc為直徑的半圓上任意一點(diǎn)，a是的中點(diǎn)，adbc于d，求證：ad=bf?！敬鸢浮刻崾荆哼B接of，證明 是全等三角形。四圓周角定理知識(shí)點(diǎn)晴1、圓周角定理：同弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心的角的一半。即：和是弧所對(duì)的圓心角和圓周角2、圓周角定理的推論：推論1：同弧或等弧所對(duì)的

8、圓周角相等;同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧是等?。患?在中，、都是所對(duì)的圓周角 推論2：半圓或直徑所對(duì)的圓周角是直角;圓周角是直角所對(duì)的弧是半圓，所對(duì)的弦是直徑.即:在中，是直徑 或 是直徑推論3:若三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形。即：在中， 是直角三角形或例題精講【例9】已知:如圖，ab是o的直徑，弦cdab于e，acd=30，ae=2cm求db 【答案】【例10】已知：如圖，o的直徑ae=10cm,b=eac求ac的長(zhǎng) 【答案】提示：連結(jié)ce不難得出五與圓有關(guān)的計(jì)算知識(shí)點(diǎn)晴1 圓周長(zhǎng)：2 弧長(zhǎng)：；3 圓面積：；4 扇形面積:；例題精講【例11】如圖，扇形紙

9、扇完全打開(kāi)后，外側(cè)兩竹條ab，ac夾角為120，ab的長(zhǎng)為30cm，貼紙部分bd的長(zhǎng)為20cm，則貼紙部分的面積為（ ） abcd【答案】d 【例12】已知：如圖,以線段ab為直徑作半圓o1，以線段ao1為直徑作半圓o2，半徑o1c交半圓o2于d點(diǎn)試比較與的長(zhǎng)【答案】的長(zhǎng)等于的長(zhǎng)提示：連結(jié)o2d六圓冪定理知識(shí)點(diǎn)晴1.相交弦定理:圓內(nèi)兩弦相交，交點(diǎn)分得的兩條線段的乘積相等。即：在中，弦、相交于點(diǎn), 推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比 例中項(xiàng)。即:在中，直徑, 2. 切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)。即:在中

10、，是切線，是割線 3。 割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等（如上圖）。即：在中，、是割線 例題精講【例13】如圖，p是o外一點(diǎn)，pc切o于點(diǎn)c，pab是o的割線，交o于a、b兩點(diǎn)，如果pa：pb1：4,pc12cm，o的半徑為10cm，則圓心o到ab的距離是_【答案】9七正多邊形與圓知識(shí)點(diǎn)晴1.正三角形 在中是正三角形，有關(guān)計(jì)算在中進(jìn)行：；2.正四邊形同理,四邊形的有關(guān)計(jì)算在中進(jìn)行，:3.正六邊形同理，六邊形的有關(guān)計(jì)算在中進(jìn)行,.例題精講【例13】已知正多邊形的邊長(zhǎng)為a與外接圓半徑r之間滿足，則這個(gè)多邊形是（ ） a. 正三邊形b。 正四邊形c。

11、 正五邊形d. 正六邊形【答案】c 提示：正多邊形的邊數(shù)越多，則邊長(zhǎng)越小，而有 因?yàn)椋?則,是正五邊形，應(yīng)選c。八課后練習(xí)題【例1】若p為半徑長(zhǎng)是6cm的o內(nèi)一點(diǎn)，op2cm，則過(guò)p點(diǎn)的最短的弦長(zhǎng)為( )a12cmbcd【答案】d【例2】若o的半徑長(zhǎng)是4cm,圓外一點(diǎn)a與o上各點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離是12cm，則自a點(diǎn)所引o的切線長(zhǎng)為( ）a16cmbcd【答案】b【例3】o中，aob100，若c是上一點(diǎn)，則acb等于( ）a80b100c120d130【答案】a【例4】三角形的外心是（ )a三條中線的交點(diǎn)b三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)c三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)d三條高的交點(diǎn)【答案】c【例5】如圖，a是

12、半徑為2的o外的一點(diǎn),oa4，ab是o的切線,點(diǎn)b是切點(diǎn)，弦bcoa，則的長(zhǎng)為（ ）7題圖abcd【答案】a【例6】如圖，圖中的五個(gè)半圓，鄰近的兩半圓相切，兩只小蟲(chóng)同時(shí)出發(fā),以相同的速度從a點(diǎn)到b點(diǎn)，甲蟲(chóng)沿,，路線爬行，乙蟲(chóng)沿路線爬行，則下列結(jié)論正確的是（ ）8題圖a甲先到b點(diǎn)b乙先到b點(diǎn)c甲、乙同時(shí)到b點(diǎn)d無(wú)法確定【答案】c【例7】如圖，同心圓半徑分別為2和1，aob120,則陰影部分的面積為（ ）9題圖abc2d4【答案】c【例8】如圖,在o中，ab為o的直徑,弦cdab，aoc60，則b_【答案】30【例9】如圖，將半徑為2cm的圓形紙片折疊后，圓弧恰好經(jīng)過(guò)圓心o，則折痕ab的長(zhǎng)為_(kāi)【答案】【例10】已知：如圖,在兩個(gè)同心圓中，大圓的弦ab切小圓于c點(diǎn)，ab12cm求兩個(gè)圓之間的圓環(huán)面積【答案】36pcm2提示：連接oc,oa.【例11】如圖，在桌面上有半徑為2 cm的三個(gè)圓形紙片兩兩外切，現(xiàn)用一個(gè)大圓片把這三個(gè)圓完全覆蓋，求這個(gè)大圓片的半徑最小應(yīng)為多少？【答案】設(shè)三個(gè)圓的圓心為o1、o2、o3，連結(jié)o1o2、o2o3、o3o1，可得邊長(zhǎng)為4 cm的正o1o2o3，則正o1o2o3外接圓的半徑為 cm，所以大圓的半徑為+2=【例12】如圖，在abc中，c=90，