高數(shù)b常用公式手冊

1、高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)公式 常用高數(shù)公式 1、乘法與因式分解公式 ?2、三角不等式 ? 3、一元二次方程 的解 ?4、某些數(shù)列的前n項(xiàng)和 ?5、二項(xiàng)式展開公式 ?6、基本求導(dǎo)公式 ?7、基本積分公式 ?8、一些初等函數(shù) 兩個(gè)重要極限 ?9、三角函數(shù)公式 正余弦定理 ?10、萊布尼茲公式 ?11、中值定理 ?12、空間解析幾何和向量代數(shù) ?13、多元函數(shù)微分法及應(yīng)用 ?14、多元函數(shù)的極值 ?15、級數(shù) ?16、微分方程的相關(guān)概念 ?1、乘法與因式分解公式 1.1 1.2 1n?222?n?3n?nn?nn1n （1.4 為奇數(shù)）)?bLab?)(?(a?b?aba?a?bab 、三角不等式2 2.1 2

2、.2 頁11 共 頁1 第高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)公式 2.3 2.4 2.6 3、一元二次方程 的解 3.2(韋達(dá)定理)根與系數(shù)的關(guān)系： 項(xiàng)和4、某些數(shù)列的前n 4.2 4.3 頁11 共 頁2 第 高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)公式 4.7 5、二項(xiàng)式展開公式 6、基本求導(dǎo)公式：12?x(cotcsc)?x2xsin?為常數(shù)）C?0(C)(?xsecx(secxtan)?1?為實(shí)數(shù)）x)(?(x?xcscx?(cscx)cot?1xxxx?e?a(e)?aaln)(?)(arcsinx2x1?11?(ln?xx(log)1axlnax?)?(arccosx2x1?x?cos(sinx)1?x?)(cosxsin?)(a

3、rctanx2x?112?secx(tanx)12?xcos?x)?arc(cot2x1?、基本積分公式7 ：?Cxsecxdx?lnsec?tanx?C0dx?C?lncscx?cotx?xdxcsc?1?x?)?1C?xdx?(dx?1?Cx?arctan2x?11?C?lndx?xdxx?C?arcsinx22x1?xx?C?dxe?edx2?Ctanx?sec?xdx?2xcosxax?C?dx?adxaln2?C?cscxdx?cotx2xsin?C?xcosxdx?sin?Cxtansecx?xdxsec?Ccos?x?sinxdx?Ccsccotxdx?x?cscx 頁11 共

4、頁3 第 高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)公式 兩個(gè)重要極限：8、一些初等函數(shù)： xsinx?xe?e 1?lim?雙曲正弦:shx x 20?x1 x?xe?ex.59045e?2.lim(1?)7182818284?雙曲余弦:chx x?x2 x?xe?shxe?:thx?雙曲正切 xx?chxee? 2）x1?arshx?ln(x 2)?archx?ln(x?x1 x?11ln?arthx x21? 9、三角函數(shù)公式： 誘導(dǎo)公式： 函數(shù) cot tan sin cos A 角 -cot-tancos -sin - cossin tancot 90- -cot -tan-sin 90+cos -cot - 1

5、80- sincos-tan cossin 180+ tan-cot cot- - tot-cos sin270 270+ -tancos sin -cot -tan -cot-sin cos360- tancos 360+ cot sin 和差角公式： 和差化積公式： ?sin?sin?cossin(cos?)cos?sin2?sinsin 22?sinsincos(?)?coscos?sin2sincos?sin?tantan? 22?)tan(? ?tantan?1?cos?cos?2coscos?1cotcot? 22?cot(?) ?cot?cot?sincoscos?sin?2 2

6、2 頁11 共 頁4 第 高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)公式 倍角公式：?cos?2sin2sin3?sin?4?3sin3sin2222?sinsincoscos2?2cos?1?1?23?cos?4coscos33?2?1?cot?cot2 3?tan?3tan?cot2?tan3 ?2tan2?tan?13?tan2 2?tan?1 半角公式：?cos11?cos?sincos 2222 ?sin?coscossin1?1?cos1?cos1?cot?tan? ?21cos?21?coscos1?cossinsin1?cab222Ccos?a2?bab?cR?2?正弦定理： 余弦定理： CBsinsinA

7、sin ?xarc?cot?arccosxarctanxarcsinx? 反三角函數(shù)性質(zhì)： 22 ）公式Leibniz10、高階導(dǎo)數(shù)公式萊布尼茲（ ：n?)(kk(n?k)(n)vC(uv)u?n0k? )1n?k?1)n(n1)?(n(n?)(n?2)(k)n(n?k?(n)n1)?uv?v?uvu?uv?vnu? !2!k 、中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用：11?)ab(?)(fb拉格朗日中值定理：f()?f(a)?)f(af(b)?f(?柯西中值定理： ?)aF()F()F(b?當(dāng)F(x)?x時(shí)，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。 頁11 共 頁5 第 高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)公式 、空間解析幾何和向量代數(shù)：1

8、2222 )?z?(z?(y?y)空間2點(diǎn)的距離：d?MM?(xx)11221221 ?是AB與,ucosPrjAB?AB?軸的夾角。向量在軸上的投影：u?Prj(a?a)?Prja?Prja2u211? ? ?ab?ab?ab,是一個(gè)數(shù)量,a?b?a?bcoszyzxyxab?ab?abzyyxzx?兩向量之間的夾角：cos222222b?b?ba?a?a?zzyxxy kji? ? .c?a?b?aa例：線速度：v?sinw?r.a,c?a?bzxybbbzyx aaaxyz? ? 向量的混合積：abc?(b?a?b?ccosa,?為銳角時(shí)，b)b?c?bxzy cccxzy代表平行六面體

9、的體積。平面的方程：?),zx,yB,C,M(,?C(z?z)?0，其中n?A)1、點(diǎn)法式：A(x?x?B(y?y00000000?Cz?D2、一般方程：Ax?By?zyx1?、截距世方程：?3 cbaD?By?CzAx?000?d平面外任意一點(diǎn)到該平面的距離：222CA?Bx?x?mt?0x?xy?yz?z?000?t,其中s?m,n,p;空間直線的方程：參數(shù)方程：y?y?nt? 0mnp?z?z?pt?0二次曲面：222zxy1、橢球面：?1 222abc22yx2、拋物面：?z（,p,q同號） 2p2q3、雙曲面：222zxy 1?單葉雙曲面：? 222cba222zyx1（馬鞍面）?雙

10、葉雙曲面：? 222cba 頁11 共 頁6 第 高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)公式 、多元函數(shù)微分法及應(yīng)用13u?u?u?z?z?dz全微分：dz?dx?dydx?dydu? z?x?y?x?y?yy)?x?f(x,?全微分的近似計(jì)算：?z?dz?f(x,y)yx：多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法v?z?dz?z?u?v(t)?z?fu(t), t?v?dt?u?tv?z?z?z?u?,y)?u?f(x,y),v(xz x?v?x?u?x?時(shí)，,y)v?v(x當(dāng)u?u(x,y)，v?v?u?udx?dy?dydv?du?dx yx?x?y?隱函數(shù)的求導(dǎo)公式：2FFFy?dydyd?xxx)?(?)y)?0，?，?隱函數(shù)F

11、(x, 2dxF?xF?yFdxdxyyyFF?z?zyx隱函數(shù)F(x,y,z)?0，?，? FyF?xzz?F?F FF0,v)?F(x,y,u?)GF,(?v?uvu?J?隱函數(shù)方程組：?GG? GG0)?G(x,y,u,v),v?(u?vuvu?)(F,GF,G)?v1?u1?(? ),x)?xJ?(u?xJ(x,v)G?v1?(F,u?1?(F,G)? )J?(u,y)?yJ?(y,v?y 微分法在幾何上的應(yīng)用：?(tx?)?x?xy?yz?z?000?z)處的切線方程：(x,y空間曲線y?,(t)在點(diǎn)M? 000?(t)(t)(t?000?(t?)z?(t)(z?z)(y?y)M在點(diǎn)

12、處的法平面方程：?(t)(x?x)?0(t000000?FFFF FF0)?,y,zF(x?yzxyxz,?,則切向量若空間曲線方程為：,T?GGGGGG0)?G(x,y,z?yzxyxz，則：x,y,z)xF(,y,z)?0上一點(diǎn)M(曲面 000?)zzy,),F(x,y,(,n1、過此點(diǎn)的法向量：?F(xy,z),Fx,00z000000y0x2、過此點(diǎn)的切平面方程：F(x,y,z)(x?x)?F(x,y,z)(y?y)?F(x,y,z)(z?z)?0000zy00000x0000zzy?yx?x000?3、過此點(diǎn)的法線方程：? ),)Fz,y,x(y)Fz,y,x(,Fx(z00000z

13、0y00x0 頁11 共 頁7 第 高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)公式 、多元函數(shù)的極值及其求法：14C?,y),f(xA,f(x,y)?B,(設(shè)f(x,y)?fx,y)?0，令：f(xy)?00yy0x000000xxyxy0?為極大值),y?0,(xA?002時(shí)，0B?AC?為極小值),y?0,(xA?00 ?2時(shí)，無極?0值A(chǔ)C?B則：?2不確定時(shí)B,?0AC? 、級數(shù)15 常數(shù)項(xiàng)級數(shù)：nq?11n?2?q等比數(shù)列：1?q?q? q1?n1)(n?n?2?3?等差數(shù)列：1 2111是發(fā)散的?調(diào)和級數(shù)：1? n32 級數(shù)審斂法：1、正項(xiàng)級數(shù)的審斂法根植審斂法（柯西判別法）：?1時(shí)，級數(shù)收斂?1u，則設(shè)：時(shí)，

14、級數(shù)發(fā)散?limn?nn?1時(shí)，不確定?2、比值審斂法： ?時(shí)，級數(shù)收斂1?U?1n?時(shí)，級數(shù)發(fā)散1?設(shè)：，則?lim? U?n?n?時(shí)，不確定?1?、定義法：3散。s存在，則收斂；否則發(fā)u;limus?u?nnn21?n?交錯(cuò)級數(shù)u?u?u?u?(或?u?u?u?,u?0)的審斂法萊布尼茲定理：n4113223u?u? ?n?n1 如果交錯(cuò)級數(shù)滿足s?u,其余項(xiàng)r的絕對值r?u。，那么級數(shù)收斂且其和?0u?lim1nn1?n?n?n 頁11 共 頁8 第 高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)公式 絕對收斂與條件收斂：為任意實(shí)數(shù)；u?，其中u?u?u?(1)n12n ?u)u?u?u?(2n213收斂級數(shù)；肯定收斂，

15、且稱為絕對1)如果(2)收斂，則(為條件收斂級數(shù)。1)(2)發(fā)散，而(1)收斂，則稱如果( n)11(?收斂；調(diào)和級數(shù)：發(fā)散，而 nn1?收斂；級數(shù)： 2n時(shí)發(fā)散?1?級數(shù)：p pn時(shí)收斂?1p 冪級數(shù)：1 x?1時(shí)，收斂于 23nx1?x?x?x1?x?x?1時(shí)，發(fā)散 2n?x，如果它不是僅在原點(diǎn)x收斂，也不是在全?a對于級數(shù)(3)a?ax?an102 x?R時(shí)收斂數(shù)軸上都收斂，則必存在R，使x?R時(shí)發(fā)散，其中R稱為收斂半徑。 時(shí)不定Rx?1?0時(shí)，R? ?a?1?n?時(shí)，)的系數(shù)，則R?0，其中a，a求收斂半徑的方法：設(shè)lim是(31nn?a?n?n?0?時(shí)，R?函數(shù)展開成冪級數(shù)： (n)

16、?(xx)ff)(2n00?)?x?x?x?x)?()(函數(shù)展開成泰勒級數(shù)：f(x)?f(xx?x)?( 00002!n!(n?1)?)f(n?1,f(x)可以展開成泰勒級數(shù)的充要條件是：limR)余項(xiàng)：R?(x?x?0 nn0(n?1)!?n?(n)?(0f(0)f)n2?(0)x?x?(0)?f?x?)x?0時(shí)即為麥克勞林公式：f(x?f 02!n!一些函數(shù)展開成冪級數(shù)： m(m?1)m(m?1)?(m?n?1)n2m?1?mx)(1?x1?(?x?1)?x?x !n2 532n?1xxx1n?)?x?(?)?sinxx?(1 )!?1n(53!2 頁11 共 頁9 第 高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)公式

17、歐拉公式：ix?ix?ee?xcos? ?2ix或xisin?cosx?e ：?ix?ixe?e?sinx? 2? 、微分方程的相關(guān)概念：16?0dy?x,y)x,y)dx?Q(一階微分方程：y)?f(x,y或P(的形式，解法：)dx?f(x：一階微分方程可以化為g(y)dy可分離變量的微分方程?稱為隱式通解。?C(x)得：G(y)?g(y)dy?Ff(x)dxydy ?程可以寫成，即寫成的函數(shù)，解法：齊次方程：一階微分方(x,y)(?fx,y)? xdxydxduydydudu?，u，?分離變量，積分后將，u?xu?代替(u)設(shè)u?，則? ?xu(u)dxxdxdxx?即得齊次方程通解。 一

18、階線性微分方程：dy1、一階線性微分方程：?P(x)y?Q(x) dx?dxx)?P(Ce?,為齊次方程，y時(shí)Q(x)?0當(dāng) ?dxx)dx?P(Px?e)dx?C時(shí)，為非齊次方程，y?(xQ()e0(當(dāng)Qx)?dyn，(n?y0,1)?(2、貝努力方程：?Px)yQ(x dx 頁11 共 頁10 第 高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)公式 二階微分方程：f(x)?0時(shí)為齊次2ydyd?P(x)?Q(x)y?f(x)， 2dxdxf(x)?0時(shí)為非齊次二階常系數(shù)齊次線性微分方程及其解法： ?qy?0，其中p(*)y,q?py為常數(shù)；求解步驟：22?,y的系數(shù)；,ry，r的系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)恰好是(*)式中1、寫出特征方程：(?)ry?pr?q?0，其中2