2025屆高三數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第二章 第二講 函數(shù)的單調(diào)性與最值

第二講函數(shù)的單調(diào)性與最值第二章函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用項目增函數(shù)減函數(shù)定義一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D，區(qū)間I?D，如果?x1，x2∈I1.函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)函數(shù)的定義項目增函數(shù)減函數(shù)定義當(dāng)x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增.特別地，當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞增時，我們就稱它是增函數(shù)當(dāng)x1<x2時，都有f(x1)>f(x2)，那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞減.特別地，當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞減時，我們就稱它是減函數(shù)(續(xù)表)項目增函數(shù)減函數(shù)圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的(續(xù)表)(2)單調(diào)區(qū)間的定義

如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，那么就說函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間I上具有單調(diào)性.單調(diào)遞增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間統(tǒng)稱為單調(diào)區(qū)間.【常用結(jié)論】函數(shù)單調(diào)性的結(jié)論(3)在區(qū)間D上，兩個單調(diào)遞增函數(shù)的和仍是單調(diào)遞增函數(shù)，兩個單調(diào)遞減函數(shù)的和仍是單調(diào)遞減函數(shù).(4)函數(shù)f(g(x))的單調(diào)性與函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)的單調(diào)性的關(guān)系是“同增異減”.前提設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域為D，如果存在實數(shù)M滿足條件(1)對于任意x∈D，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈D，使得f(x0)＝M(1)對于任意x∈D，都有f(x)≥M；(2)存在x0∈D，使得f(x0)＝M結(jié)論M為最大值M為最小值2.函數(shù)的最值【溫馨提示】(1)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在最大值和最小值.(2)開區(qū)間上的“單峰”函數(shù)一定存在最大值(或最小值).考點一確定函數(shù)的單調(diào)性(區(qū)間)1.(多選題)函數(shù)f(x)＝|x2－3x＋2|在下列區(qū)間遞增的有()圖D1答案：BD

解析：當(dāng)

x＜0時，f(x)＝－2x＋1單調(diào)遞減；當(dāng)x≥0時，f(x)＝－x2＋2x＋1＝－(x－1)2＋2，在[0，1]上單調(diào)遞增，在[1，＋∞)單調(diào)遞減.

答案：[0，1]【題后反思】確定函數(shù)單調(diào)性的4種方法(1)定義法.利用定義判斷.

(2)導(dǎo)數(shù)法.適用于初等函數(shù)、復(fù)合函數(shù)等可以求導(dǎo)的函數(shù). (3)圖象法.由圖象確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間需注意兩點：一是單調(diào)區(qū)間必須是函數(shù)定義域的子集；二是圖象不連續(xù)的單調(diào)區(qū)間要分開寫，用“和”或“，”連接，不能用“∪”連接.(4)性質(zhì)法.利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，尤其是利用復(fù)合函數(shù)“同增異減”的原則時，需先確定簡單函數(shù)的單調(diào)性.

考點二求函數(shù)的最值[例1](1)已知函數(shù)f(x)＝ax＋logax(a>0，且a≠1)在[1，2]上的最大值與最小值之和為loga2＋6，則a的值為()A.12B.14C.2D.4

解析：易得函數(shù)f(x)＝ax＋logax在[1，2]上單調(diào)，所以f(1)＋f(2)＝loga2＋6，則a＋loga1＋a2＋loga2＝a＋a2＋loga2＝loga2＋6，即(a－2)(a＋3)＝0，又a>0，所以a＝2.

答案：C【題后反思】求函數(shù)最值的5種常用方法(1)單調(diào)性法：先確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求最值.(2)圖象法：先作出函數(shù)的圖象，再觀察其最高點、最低點，求出最值.(3)基本不等式法：先對解析式變形，使之具備“一正、二定、三相等”的條件后用基本不等式求出最值.(4)導(dǎo)數(shù)法：先求導(dǎo)，然后求出在給定區(qū)間上的極值，最后比較端點值，求出最值.(5)換元法：對比較復(fù)雜的函數(shù)可通過換元轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)，再用相應(yīng)的方法求最值.【變式訓(xùn)練】

考點三函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用考向1利用單調(diào)性比較大小

通性通法：比較函數(shù)值的大小時，若自變量的值不在同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)，要利用其函數(shù)性質(zhì)，轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)進(jìn)行比較，對于選擇題、填空題能數(shù)形結(jié)合的盡量用圖象法求解.A.c>a>bC.a>c>b

B.c>b>aD.b>a>c解析：根據(jù)已知可得函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，且答案：D考向2解函數(shù)不等式

通性通法：先利用函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)將不等式轉(zhuǎn)化為f(g(x))＞f(h(x))的形式，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性去掉“f”，得到一般的不等式g(x)＞h(x)[或g(x)＜h(x)].此時要特別注意函數(shù)的定義域.[例3](2023年深圳市校級開學(xué))已知函數(shù)f(x)在定義域(－1，3)上是減函數(shù)，且f(2a－1)＜f(2－a)，則實數(shù)a的取值范圍是()A.(1，2)C.(0，2)

B.(－∞，1)D.(1，＋∞)解析：因為函數(shù)f(x)在定義域(－1，3)上是減函數(shù)，且f(2a－1)＜f(2－a)，解得1＜a＜2，所以實數(shù)a的取值范圍是(1，2).故選A.答案：A考向3求參數(shù)的值或取值范圍通性通法：利用單調(diào)性求參數(shù)的范圍(或值)的方法(1)視參數(shù)為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較求參數(shù).(2)需注意若函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是單調(diào)的，則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子集上也是單調(diào)的.[例4](1)若函數(shù)f(x)＝ax2＋2x－3在區(qū)間(－∞，4)上是單調(diào)遞增的，則實數(shù)a的取值范圍是()答案：D解析：因為f(x)為在R上單調(diào)遞減，答案：A【考法全練】A.f(a)＞f(b)＞f(c)C.f(c)＞f(a)＞f(b)

B.f(b)＞f(a)＞f(c)D.f(c)＞f(b)＞f(a)解析：由題意可知f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，且f(x)＝f(|x|)，|b|＞|a|＞|c|＞0，∴f(|c|)＞f(|a|)＞f(|b|)，即f(c)＞f(a)＞f(b).故選C.答案：C2.(考向2)(2022年玉溪市月考)已知函數(shù)f(x)在[－1，1]上單調(diào)遞減，且f(2a－3)＜f(a－2)，則實數(shù)a的取值范圍是()A.(1，2]B.(1，3]C.(1，4]D.(1，＋∞)解析：因為f(x)在[－1，1]上單調(diào)遞減，且f(2a－3)＜f(a－2)，答案：A3.(考向3)若函數(shù)f(x)＝2|x－a|＋3在區(qū)間[1，＋∞)上不單調(diào)，則a的取值范圍是()A.[1，＋∞)B.(1，＋∞)C.(－∞，1)D.(－∞，1]且函數(shù)f(x)＝2|x－a|＋3在區(qū)間[1，＋∞)上不單調(diào)，所以a＞1.所以a的取值范圍是(1，＋∞).故選B.答案：B⊙抽象函數(shù)中的單調(diào)性應(yīng)用問題[例5]已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1，②當(dāng)x＞0時，f(x)＞－1.(1)求f(0)的值，并證明f(x)在R上是增函數(shù)；(2)若f(1)＝1，解關(guān)于x的不等式f(x2＋2x)＋f(1－x)＞4.解：(1)令x＝y(tǒng)＝0，則f(0)＝f(0)＋f(0)＋1，得f(0)＝－1.證明：在R上任取x1＞x2，則x1－x2＞0，f(x1－x2)＞－1.又f(x1)＝f[(x1－x2)＋x2]＝f(x1－x2)＋f(x2)＋1＞f(x2)，所以函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù).(2)由f(1)＝1，得f(2)＝3，f(3)＝5.由f(x2＋2x)＋f(1－x)＞4得f(x2＋x＋1)＞f(3)，又函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，故x2＋x＋1＞3，解得x＜－2或x＞1，故原不等式的解集為{x|x＜－2或x＞1}.【題后反思】求解抽象函數(shù)問題的切入點與關(guān)鍵點

切入點：(1)對于抽象函數(shù)的單調(diào)性的證明，只能考慮用定義證明；(2)將不等式中的抽象函數(shù)符號“f”運用單調(diào)性去掉.

關(guān)鍵點：(1)根據(jù)單調(diào)性定義，賦值構(gòu)造出f(x2)－f(x1)，并與0比較大小；(2)根據(jù)已知條件，將所求的不等式轉(zhuǎn)化為f(M)＜f(N)的形式，從而利用單調(diào)性求解.【高分訓(xùn)練】答案：C2.(2023年北京市校級期末)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的減函(1)求f(0)的值；(2)若f(x)＋f(2＋2x)＜－2，求x的取值范圍.解：(1)∵f(