青島科技大學(xué)信息工程電磁場(chǎng)復(fù)習(xí)題【答案】

1、電磁場(chǎng)理論復(fù)習(xí)題（1）一、 填空與簡(jiǎn)答1、 既有大小、又有方向的量叫矢量。只有大小、而沒(méi)有方向的量叫標(biāo)量。2、 在直角坐標(biāo)系中，一個(gè)矢性函數(shù)和三個(gè)有序的數(shù)性函數(shù)（坐標(biāo)）構(gòu)成一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。3、 若為矢量函數(shù)，為標(biāo)量函數(shù)，如果，4、表示哈密頓算子（W.R. Hamilton），即。數(shù)量場(chǎng)梯度和矢量場(chǎng)的散度和旋度可表示為，。4、 奧氏公式及斯托克斯公式可為， 。5、 亥姆霍茲（H.Von Helmholtz）定理指出：用散度和旋度能唯一地確定一個(gè)矢量場(chǎng)。6、 高斯定理描述通過(guò)一個(gè)閉合面的電場(chǎng)強(qiáng)度的通量與閉合面內(nèi)電荷的關(guān)系，即：7、 電偶極子（electric dipole）是指相距很近的兩個(gè)等值異

2、號(hào)的電荷，它是一個(gè)矢量，方向是由正電荷指向負(fù)電荷。8、 根據(jù)物質(zhì)的電特性，可將其分為導(dǎo)電物質(zhì)和絕緣物質(zhì)，后者簡(jiǎn)稱為介質(zhì)。極化介質(zhì)產(chǎn)生的電位可以看作是等效體分布電荷和面分布電荷在真空中共同產(chǎn)生的。等效體電荷密度和面電荷密度分別為， 。9、 在靜電場(chǎng)中，電位移矢量的法向分量在通過(guò)界面時(shí)一般不連續(xù)，即，電場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量在邊界兩側(cè)是連續(xù)的，即。10、 凡是靜電場(chǎng)不為零的空間中都存儲(chǔ)著靜電能，靜電能是以電場(chǎng)的形式存在于空間，而不是以電荷或電位的形式存在于空間的。場(chǎng)中任一點(diǎn)的能量密度為。11、 歐姆定理的微分形式表明，任意一點(diǎn)的電流密度與該點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度成正比，即。導(dǎo)體內(nèi)任一點(diǎn)的熱功率密度與該點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度

3、的平方成正比，即。12、 在恒定電場(chǎng)中，電流密度J在通過(guò)界面時(shí)其法向分量連續(xù)，電場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量連續(xù)，即，。13、 磁感應(yīng)強(qiáng)度通過(guò)任意曲面的通量恒為零，這一性質(zhì)叫磁通連續(xù)性原理，它表明，磁感應(yīng)強(qiáng)度是一個(gè)無(wú)源的場(chǎng)。14、 在恒定磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度的法向分量在分界面兩側(cè)連續(xù)，而其磁場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量一般在分界面兩側(cè)不連續(xù)，即：，。15、 靜電場(chǎng)的唯一性定理表明：在每一類邊界條件下，泊松方程或拉普拉斯方程必定唯一。16、 采用鏡像法解決靜電場(chǎng)問(wèn)題時(shí)應(yīng)注意以下三點(diǎn)：（1）鏡像電荷是虛擬電荷；（2）鏡像電荷置于所求區(qū)域之外的附近區(qū)域；（3）導(dǎo)體是等位面。17、 電磁感應(yīng)現(xiàn)象說(shuō)明，穿過(guò)一條回路的磁通發(fā)生變化

4、時(shí)，在這個(gè)回路中將有感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的出現(xiàn)，并在回路中產(chǎn)生電流。18、 麥克斯韋方程組的物理意義為：（1）時(shí)變磁場(chǎng)將產(chǎn)生電場(chǎng)（2）電流和時(shí)變電場(chǎng)都會(huì)產(chǎn)生磁場(chǎng)，即變化的電場(chǎng)和傳導(dǎo)電流是磁場(chǎng)的源（3）電場(chǎng)是有通量的源，穿過(guò)任一封閉面的電通量等于此面所包圍的自由電荷電量（4）磁場(chǎng)無(wú)“通量源”，即磁場(chǎng)不可能由磁荷產(chǎn)生，穿過(guò)任一封閉面的磁通量恒等于零。19、 高頻電磁場(chǎng)只能存在于良導(dǎo)體表面的一個(gè)薄層內(nèi)，這種現(xiàn)象稱為集膚效應(yīng)。20、 電磁波的相速度隨頻率的變化而變化的現(xiàn)象稱為色散。當(dāng)群速度小于相速度的這類色散稱為正常色散，反之為非正常色散。21、 電場(chǎng)強(qiáng)度的方向隨時(shí)間變化的方式稱為電磁波的極化。電磁波的極化可分

5、為三種，線極化、圓極化和橢圓極化。22、 圓極化波具有兩個(gè)與應(yīng)用有關(guān)的重要性質(zhì)：（1）當(dāng)圓極化如射到對(duì)稱目標(biāo)上時(shí)，反射波變?yōu)榉葱虻牟?，即左旋波變?yōu)橛倚?，右旋波變?yōu)樽笮ǎ?）天線若輻射左旋極化波，則只能接收左旋極化波，反之，天線若輻射右旋極化波，則只能接收右旋極化波。這種現(xiàn)象稱為圓極化天線的旋向正交性。23、 根據(jù)導(dǎo)行波中有無(wú)縱向分量，導(dǎo)行波可分為：（1）橫電磁波即TEM波（2）橫電波即TE波或磁波H波（3）橫磁波即TM或電波E波。24、 天線一般具有下列功能：（1）能量轉(zhuǎn)化（2）定向輻射或接收（3）具有適當(dāng)?shù)臉O化（4）天線應(yīng)與波導(dǎo)裝置匹配。25、 電基本振子是一段載有高頻電流的短導(dǎo)線，其

6、長(zhǎng)度遠(yuǎn)小于工作波長(zhǎng)，導(dǎo)線上各點(diǎn)的高頻電流大小相等，相位相同。26、 描述天線性能的電參數(shù)主要有：方向圖，主瓣寬度，旁瓣電平，方向系數(shù)，極化特性，天線效率，頻帶寬度，輸入阻抗。二、 證明與計(jì)算1、設(shè)u是空間x,y,z的函數(shù)，證明： （1），（2），（3）證明：（1） （2）=（3）=2、（1）應(yīng)用高斯定理證明： （2）應(yīng)用斯托克斯定理證明：證明：（1）設(shè)d為任意的常矢量，有，由矢量公式，所以有：，根據(jù)高斯定理有所以故得證。（2）設(shè)d為任意的常矢量，有由矢量公式 =所以根據(jù)斯托克斯定理有 所以，于是有證畢。3、證明格林（Green）第一公式及格林第二公式，其中證明：應(yīng)用奧氏公式，取有格林第一公式得

7、證。同理有，將該式與格林第一公式相減可得格林第二公式。4、證明：（1）；（2）；（3）。其中，A為一常矢量。證：設(shè)，其中為常數(shù)，有5、計(jì)算半徑為a，電荷線密度為的均勻帶電圓環(huán)在軸線上的電場(chǎng)強(qiáng)度。yxzRrar解：取圓環(huán)位于xoy平面，圓環(huán)中心與坐標(biāo)原點(diǎn)重合, 6、設(shè)有一個(gè)半徑為a的球，其中充滿體電荷密度為C/m3的電荷，球內(nèi)外的介電常數(shù)均為，求：（1）球內(nèi)、外的電場(chǎng)強(qiáng)度；（2）驗(yàn)證靜電場(chǎng)的兩個(gè)基本方程；（3）球內(nèi)、外的電位分布。解：（1）因?yàn)殡姾煞植紴榫鶆虻那蝮w，所以具有球?qū)ΨQ性，即在與帶電球同心，半徑為r的高斯面上，E是常數(shù)。當(dāng)ra時(shí)，有，即V/m。（2）采用球坐標(biāo)散度、旋度公式。因?yàn)榍騼?nèi)、

8、外電場(chǎng)強(qiáng)度只是r的坐標(biāo)，所以，當(dāng)ra時(shí)有（3）選無(wú)限遠(yuǎn)處為參考電，當(dāng)ra時(shí)有V7、導(dǎo)體球及與其同心的導(dǎo)體球殼構(gòu)成一個(gè)雙導(dǎo)體系統(tǒng)。若導(dǎo)體球的半徑為a，球殼的內(nèi)半徑為b，殼的厚度可以忽略不計(jì)，求電位系數(shù)、電容系數(shù)和部分電容。解：設(shè)導(dǎo)體球帶電量為q1，球殼帶總電荷為零，無(wú)限遠(yuǎn)處的電位為零，由對(duì)稱性可得b1a02，因此有 ，設(shè)導(dǎo)體球的總電荷為零，球殼帶電荷為q2，可得，因此電容系數(shù)矩陣等于電位系數(shù)矩陣的逆矩陣，所以有，部分電容為，8、一同軸線的內(nèi)、外導(dǎo)體半徑分別為a和b，內(nèi)外導(dǎo)體之間填充兩種絕緣材料，在arr0處填充材料的介電常數(shù)為1，在r0ra時(shí)，其包圍的電流為I，當(dāng)時(shí)有，即，當(dāng)時(shí)有，11、同軸線的

9、內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為b，外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為c，設(shè)內(nèi)、外導(dǎo)體分別流過(guò)的反向電流為I，兩導(dǎo)體間的介質(zhì)的磁導(dǎo)率為，求各區(qū)域的H、B、M。abc解：對(duì)于良導(dǎo)體一般取其磁導(dǎo)率為0，因?yàn)橥S導(dǎo)體無(wú)限長(zhǎng)，則其磁場(chǎng)沿軸線無(wú)變化，該磁場(chǎng)僅有方向的分量其大小為r的函數(shù)。應(yīng)用安培環(huán)路定理當(dāng)ra時(shí)，在該區(qū)域磁導(dǎo)率為0故 ，并由于該區(qū)域?yàn)槔硐雽?dǎo)體，故M=0當(dāng)arb時(shí)，與積分回路交鏈的電流為I，該區(qū)域的磁導(dǎo)率為故，當(dāng)brc時(shí)，外導(dǎo)體電流均勻分布，則與積分回路交鏈的電流為I,并由于該區(qū)域?yàn)槔硐雽?dǎo)體，故M=012、同軸線的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為b，外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為c，設(shè)內(nèi)、外導(dǎo)體兩導(dǎo)體間的介質(zhì)的磁導(dǎo)率為，

10、計(jì)算同軸線單位長(zhǎng)度的總自感。解：總自感由三部分構(gòu)成，即外導(dǎo)體的互感Li1（由內(nèi)導(dǎo)體的磁場(chǎng)所交鏈產(chǎn)生的），內(nèi)導(dǎo)體的內(nèi)自感L0和內(nèi)導(dǎo)體自感三部分構(gòu)成Li2。（1）先計(jì)算Li1，（2）計(jì)算內(nèi)導(dǎo)體自感，（3）計(jì)算外導(dǎo)體內(nèi)自感應(yīng)用安培環(huán)路定理有：，H/m。13、一點(diǎn)電荷，其帶電量為q，將其放置在如圖所示的介質(zhì)空間內(nèi)，用鏡像法求圖中所示點(diǎn)的電位(2點(diǎn)的位置與1對(duì)稱)，并畫(huà)出他們的鏡電荷。12h題 13q1h22bq1qq”2AB解：設(shè)點(diǎn)電荷的坐標(biāo)為(0,h)，1點(diǎn)的坐標(biāo)為（b,h2）2點(diǎn)的坐標(biāo)為（b,-h2），于是相對(duì)于1，q在2中的鏡像為q其坐標(biāo)為（b,-h2），相對(duì)于2，q在1中的鏡像為q其坐標(biāo)為（b

11、,h2）。電位，在兩種介質(zhì)的界面上，兩電位滿足邊界條件，即：，在邊界條件上，任一點(diǎn)相等，使其等于r。應(yīng)用邊界條件得到，化簡(jiǎn)并連立兩方程，得到，14、如圖所示，有一點(diǎn)電荷q位于兩個(gè)相互垂直的接地導(dǎo)體平面所圍成的直角空間中，它到兩平面的距離分別為a和b，求空間的電位。xyP1(a,b)P2(a,-b)P3(-a,b)P4(-a,-b)P(x,y,z)解：該電荷產(chǎn)生三個(gè)鏡像電荷，其大小和坐標(biāo)分別為-q(a,-b),-q(-a,b)及q(-a,-b)所以P(x,y,z)點(diǎn)的電位為15、設(shè)區(qū)域1（z0）的媒質(zhì)參數(shù)為；區(qū)域1中的電場(chǎng)強(qiáng)度為V/m區(qū)域2中的電場(chǎng)強(qiáng)度為：V/m求（1）常數(shù)A；（2）說(shuō)明磁場(chǎng)強(qiáng)度

12、的邊界條件，并計(jì)算H1和H2；（3）證明在z=0處H1和H2滿足邊界條件；解：（1）在無(wú)損耗媒質(zhì)的分界面z=0處，有，由于E1和E2正好為切向電場(chǎng)，在切向方向電場(chǎng)連續(xù)，故A=80V/m。（2）根據(jù)麥克斯韋方程：，得到，因此，因此A/m同理：A/m（3）對(duì)于第二問(wèn)，取z=0，有H1=H2，這說(shuō)明在分界面上磁場(chǎng)強(qiáng)度連續(xù)，滿足邊界條件。16、已知無(wú)源的自由空間中，時(shí)變電磁場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度復(fù)矢量為V/m，式中k及E0為常數(shù)，求：（1）磁場(chǎng)強(qiáng)度的復(fù)矢量；（2）坡印廷矢量的瞬時(shí)值；（2）平均坡印廷矢量。解：（1）由得：（2）電場(chǎng)、磁場(chǎng)強(qiáng)度的瞬時(shí)值為：，故，坡印廷矢量的瞬時(shí)值為：（3）平均坡印廷矢量為： 17、

13、已知無(wú)界理想媒質(zhì)（=0，=0，=0）中，正弦均勻平面電磁波的頻率f=108Hz，電場(chǎng)強(qiáng)度為：V/m求：（1）均勻平面電磁波的相速度vp，波長(zhǎng)，相移常數(shù)k和波阻抗；（2）電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度的瞬時(shí)表達(dá)式；（3）與電磁波傳播方向垂直的單位面積上通過(guò)的平均功率。解：（1）m/s， m rad/m，（2）A/m電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度的瞬時(shí)值為V/mA/m（3）復(fù)坡印廷矢量為=W/m2坡印廷矢量的時(shí)間平均值為 W/m2與電磁波傳播方向垂直的單位面積上通過(guò)的平均功率為 W/m218、已知海水的r=1，=1S.m-1，試計(jì)算頻率為50Hz，106Hz，109Hz的三種電磁波在海水中的透射深度。解：可近似地認(rèn)為海水

14、為良導(dǎo)體，故而，其趨膚深度為當(dāng)頻率為50Hz時(shí)，有m；當(dāng)頻率為106Hz時(shí)，有m；當(dāng)頻率為109Hz時(shí)，有m；19、有兩個(gè)頻率和振幅都相等的單頻率的平面波沿z軸傳播，一個(gè)波沿x軸方向偏振，另一個(gè)沿y軸方向偏振，但相位比前者超前/2，求合成波的偏振，一個(gè)圓偏振可以分解為怎樣的兩個(gè)線極化？解：根據(jù)題義，已知的兩個(gè)單頻平面波可表示為：，=合成波為：，為右旋圓極化波。事實(shí)上合成波可分為：，從而有上式說(shuō)明，一個(gè)圓極化波是由兩個(gè)極化方向垂直，一個(gè)的相位超前于另一個(gè)相位/2的平面波合成。反之，一個(gè)圓極化波可分解為上述的兩個(gè)平面波。電磁場(chǎng)復(fù)習(xí)題（2）2、已知取何值時(shí)，A為無(wú)源場(chǎng)。解：若一個(gè)矢量函數(shù)的散度為零，

15、則該矢量所代表的場(chǎng)為無(wú)源場(chǎng)。要滿足上式應(yīng)有，所以3、一半徑為a的圓環(huán)，環(huán)上均勻分布電荷，密度為。求軸線上任一點(diǎn)的電場(chǎng)。OaxyzdldEdEP解：如圖所示。圓環(huán)上線元，其電量為： 在軸線上P產(chǎn)生的場(chǎng)為dE，由于電荷分布的軸對(duì)稱性，與dl相對(duì)應(yīng)的線元dl，在P點(diǎn)的場(chǎng)為dE，dE與dE疊加后只有z方向的分量。4、兩個(gè)無(wú)限長(zhǎng)的r=a和r=b(ba)的同軸圓柱表面分別帶有面電荷密度1和2。（1）計(jì)算各處的E；（2）于使rb處的E=0，則1和2應(yīng)具有什么關(guān)系？解：（1）利用高斯定理求解ra：E1=0arb：（2）令E3=0，則5、已知，同軸電纜內(nèi)、外導(dǎo)體半徑為a和b，其間填充兩層介質(zhì)，介質(zhì)分界面半徑為r

16、0，內(nèi)外導(dǎo)體間加電壓為V，求（1）各層介質(zhì)的電場(chǎng)強(qiáng)度E；（2）算出各層介質(zhì)中的最大場(chǎng)強(qiáng)（3）欲使二層介質(zhì)中最大場(chǎng)強(qiáng)相等，兩層介質(zhì)應(yīng)滿足什么關(guān)系？解：（1）設(shè)同軸電纜單位長(zhǎng)帶電荷根據(jù)高斯定理可得：內(nèi)、外導(dǎo)體間的電壓為，從而的E1和E2（2）各層介質(zhì)最大場(chǎng)強(qiáng)出現(xiàn)在r=a,r=r0處則，（3）由，有6、不均勻電介質(zhì)在沒(méi)有自由電荷時(shí)，可能帶有束縛電荷體密度。試導(dǎo)出束縛電荷體密度的表達(dá)式。解：束縛電荷體密度為。由于電介質(zhì)中無(wú)自由電荷，所以：，得：，又利用適量恒等式：，令，得到：，所以束縛電荷體密度為：7、兩層介質(zhì)的同軸電纜，介質(zhì)分界面為同軸圓柱，內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，分界面半徑為b，外導(dǎo)體內(nèi)半徑c，兩層介質(zhì)的

17、介電常數(shù)為，漏電導(dǎo)分別為，當(dāng)外加電壓U0時(shí)計(jì)算：（1）介質(zhì)中的電場(chǎng)強(qiáng)度；（2）分界面上的自由電荷面密度；（3）單位長(zhǎng)度的電容及漏電導(dǎo)。解：（1）因電流連續(xù)，兩層介質(zhì)中的單位長(zhǎng)度的總電流必然相等，設(shè)為I，所以有：外加電壓： ，則（2）由可得，內(nèi)導(dǎo)體表面電荷面密度為：外導(dǎo)體表面電荷面密度為：分界面上的電荷面密度為：（3）設(shè)單位長(zhǎng)同軸總電流為I，電壓為U0，則電阻為：，8、兩無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線，放置于x=1,y=0和x=-1,y=0處，與z軸平行，通過(guò)電流I，方向相反。求此兩線電流在xy平面上任意點(diǎn)的B。-IIxyOr2r1PB2B1解：應(yīng)用安培環(huán)路定律分別求出無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線的場(chǎng)，然后再疊加。設(shè)沿+z方向的電流的場(chǎng)為B1,沿-z方向的電流的場(chǎng)為B2，其分量為所以，9、一寬度為b的無(wú)限長(zhǎng)薄帶線，通過(guò)電流I，求中心線上空與帶線距離為a的點(diǎn)P的BxOab/2b/2PdBdx解：由于P點(diǎn)在對(duì)帶線是在對(duì)稱面上，因此P點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度只