11高中數(shù)學(xué)思想f數(shù)列.ppt

1、斐波那契數(shù)列,2011下數(shù)學(xué)方法論第十講 斐波那契數(shù)列與黃金分割,斐波那契數(shù)列及其應(yīng)用,斐波那契計(jì)算之書兔子問題（1202年） 如果每1對(duì)成兔每月生1對(duì)幼兔，幼兔經(jīng)過2個(gè)月后成為成兔，即開始繁殖， 問年初的1對(duì)幼兔經(jīng)過1年后能繁殖成多少對(duì)兔子？ 假定這一過程兔子不發(fā)生任何死亡。,用樹狀圖逐月畫出兔子總數(shù)。,表示出生一個(gè)月及以上的一對(duì)兔子， 表示一對(duì)幼兔， 畫出每一個(gè)月月底的兔子對(duì)。,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,5,4,5,5,5,5

2、,5,5,8,8,8,8,8,8,13,13,13,34,21,21,9,7,6,10,12,11,13,21,34,55,89,144,233,第n個(gè)月底,每月底的繁殖情況,第n個(gè)月兔子總對(duì)數(shù),由兔子問題抽象得到的遞推關(guān)系,本月底幼兔總對(duì)數(shù)=上上個(gè)月底兔子總對(duì)數(shù) 所以：本月底兔子總對(duì)數(shù) =上月底兔子總對(duì)數(shù)+上上個(gè)月底兔子總對(duì)數(shù)。,用un表示第n個(gè)月底兔子的總對(duì)數(shù) ，則有,斐波那契數(shù)列。(A.Girard,1634) 為方便，補(bǔ)充定義u0=1。,二、“走樓梯”問題,某人要走一架n個(gè)臺(tái)階的樓梯，某人每步向上走1個(gè)臺(tái)階或2個(gè)臺(tái)階。 un表示該人從地面向上走到第n個(gè)臺(tái)階時(shí)所有不同的走法種數(shù)，求un。

3、,按第一步的走法分類,un=un-1+un-2 (n3)； u1=1,u2=2。 斐波那契數(shù)列,解法1：,賈憲三角形表達(dá)式E.Piccioli，1916,三、斐波那契數(shù)列的一些有趣的性質(zhì),該數(shù)列相鄰兩項(xiàng)之比構(gòu)成的“比值”數(shù)列 的極限為,De Moivre提出，J.P.M.Binet 1843年證明，世稱Binet公式,黃金比值，它是美的標(biāo)準(zhǔn)之一. 也是優(yōu)選法中“分?jǐn)?shù)法”的理論基礎(chǔ)。,自編有關(guān)“斐波那契數(shù)列”考題,在數(shù)列an中，a1=a2=1，an+2=an+1+an(nN)。 （1）寫出數(shù)列an的前12項(xiàng)，探索an中是否有無數(shù)項(xiàng)是3的倍數(shù)，并給出你的猜想（不必證明）； （2）把數(shù)列an的遞推式

4、an+2=an+1+an改寫成 an+2-an+1=(an+1-an)的形式，試確定常數(shù)、的值，寫出數(shù)列an+1-an和an+1-an的通項(xiàng)公式，并依此推導(dǎo)數(shù)列an的通項(xiàng)公式。,0.618優(yōu)選法,問題：做2千克大米的干飯，應(yīng)該放多少水？（1000g-2000g) 尋找單峰（谷）函數(shù)（不知其具體表達(dá)式或太復(fù)雜）的最優(yōu)點(diǎn). 通過作試驗(yàn)的方法來尋找最佳點(diǎn)。 優(yōu)選法是以最少的試驗(yàn)次數(shù)迅速找到最佳點(diǎn)的試驗(yàn)方法。 操作過程： 第一個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)x1=a+(b-a)0.618， 第二個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)x2=a+b-x1； 對(duì)比x1,x2處結(jié)果，裁去“壞點(diǎn)”外邊的部分； 以此類推， 在確定第n個(gè)試點(diǎn)xn時(shí)，如果存優(yōu)范圍內(nèi)相應(yīng)

5、的好點(diǎn)是xm，那么有xn=小+大-xm. 稱“加兩頭，減中間”來確定下1個(gè)試點(diǎn)。,試點(diǎn)為什么這樣選擇？,第一、第二次試點(diǎn)選擇的原則： 1、公平原則； 使兩個(gè)試點(diǎn)關(guān)于區(qū)間a,b的中點(diǎn)對(duì)稱 2、繼承原則 每次舍去的區(qū)間占舍去前的區(qū)間的比例數(shù)相同。 如何求第一、第二次試點(diǎn)的位置？ 0.618法（黃金分割法）,17,0.618這個(gè)“黃金比”能產(chǎn)生“優(yōu)選法”，這告訴我們，美的東西與有用的東西之間，常常是有聯(lián)系的。,由此再反觀0.618的分割點(diǎn)為什么在許多場(chǎng)合都反映了“恰到好處的和諧”，其數(shù)學(xué)依據(jù)很可能就是“黃金分割點(diǎn)的再生性”。 數(shù)學(xué)的美，在于數(shù)學(xué)思想深刻之美。,結(jié)語,斐波那契數(shù)列在許多場(chǎng)合中出現(xiàn)，諸如蜜蜂的繁殖，植物的葉序、菠蘿的鱗片、樹枝的生長(zhǎng)、鋼琴的鍵盤等等。 “當(dāng)你找到第一個(gè)蘑菇或作出第一個(gè)發(fā)現(xiàn)后，再四處看看，它們總是成群生長(zhǎng)?！保úɡ麃啠?/p>