中學(xué)數(shù)學(xué)中的第三個(gè)數(shù)學(xué)絕世奇跡

1、中學(xué)數(shù)學(xué)中的第三個(gè)數(shù)學(xué)絕世奇跡數(shù)學(xué)中的“帕巴拉神廟”（到底有多少個(gè)解法？）用分角定理 作出一題千解 （一題千解， 古今唯一）2019 年全國高中聯(lián)賽加式題。已知：四邊形ABCD，對(duì)角線AC平分 BAD，F(xiàn) 為 AC上一點(diǎn)， BF 交 DC于 E，DF交 BC于 G。求證： CAG=CAE（一） 。添線有多解。用分角定理，不添線，就能作出很多異想天開的解法。如何發(fā)現(xiàn)出來？圖明示：有很多三角形及分角線、對(duì)頂角、互補(bǔ)角，可用分角定理，變出很多邊角關(guān)系，進(jìn)行代換。特別是解題實(shí)踐體會(huì)，可能有千多個(gè)不同解法。都是不添線，只列一式。分角定理：三角形中的一角被一直線內(nèi)分（或外分） ，又分對(duì)邊為兩線段時(shí)，則：兩

2、線段之比等于與兩對(duì)應(yīng)分角正弦之正比乘以與兩對(duì)應(yīng)分角的兩條不重合邊之正比。還可轉(zhuǎn)化出很多不同的表述。如圖 . 。 ABC， AD內(nèi)分 BAC，則有：（BD/CD） =（ sin BAD/sin CAD）（ AB/AC）。ABD， AC外分 BAD，則有：（BC/BD）=（ sin BAC/sin BAD）（ AC/AD）。（解一）設(shè) AG交 BF 于 H，AE交 DF于 M，又設(shè) CAG=CAE= （二）， CAG= CAE=， BAG=， DAE=。第 1頁AFB=CFE=1， BFG=DFE=2， AFD=CFG=3，BGH=4，ABH=5， GBH=6， CDF=7， ADF=8，AGF=

3、9， AHF=10， AED=11， AEF=12，AMF=13， CGF=14， CEF=15， ACG=16，ACE=17。由 1（ AB/AB）（ AD/AD）=（ AB/BG）（ DE/AD）（BG/CG）（ CE/DE）（ CG/CE）（ AD/AB） =(sin 4/sin ) (sin /sin 11) (sin 2/sin 3) （ BF/CF） (sin 1/sin 2)（ CF/DF）（ CG/CE）（ AD/AB）(sin /sin ) (sin 4/AB) (AD/sin 11) (sin 1/sin 3)（ BF/CF）（ CF/DF）（ CG/CE）=(sin B/

4、AG)(AE/sin D)(sin 1/sin 3) (sin 16/sin 6) (sin 7/sin 17) （ CG/CE） =(sin B/AC)(AC/sin D)（ CG/AG）（ AE/CE） (s in 1/sin 3) (sin 16/sin 17) (CF/sin 6) (sin 7/CF)=(sin /BC) (CD/sin ) (sin /sin 16) (sin 17/sin ) (sin 1/sin 3)(sin 16/sin 17)(BC/sin 1)(sin 3/CD)第 2頁=(sin /sin ) sin sin =sin sin 。由 sin sin =s

5、in sin ，由（二） sin （） sin =sin sin （）sin sin cos sin cossin = sin sin cossin cossin sin cos=sin cos tan =tan ，由 、 /2 =。所以 CAG=CAE。證畢。由此可見，只要證明了（ sin /sin ） =（sin /sin ） ，或 sin sin =sin sin ，就行。（解二）接（解一） ：由 1=（ AF/AG）（ AG/AC）（ AE/AF）（ AC/AE）=(sin 9/sin 3。) (sin 16/sin 4。) (sin 1。/sin 12) (sin 11。/sin 1

6、7)=(sin 9/sin 4) (sin 11/sin 12) (sin 16/sin 3) (sin 1/sin 17)=(sin 9/sin 4) (sin 11/sin 12) （FG/CG）（ CE/EF ） =（BG/CG） (sin 9/sin 4)（ FG/BG） (sin 11/sin 12) 第 3頁（ DE/EF）（ CE/DE） =（BG/CG）（ FH/BH）（ DM/MF）（ CE/DE）=(sin 2/sin 3)（ BF/CF）（ FH/BH）（ DM/MF）(sin 1/sin 2) （ CF/DF）=(sin 1/sin 3) （ BF/BH）（ DM/DF

7、）（ FH/MF）=(sin 1/sin 3) (sin /sin ) （ AF/AH） (sin /sin ) （ AM/AF）（ FH/MF） =(sin 1/sin 3) (sin /sin ) （ AM/MF）（ FH/AH） =(sin 1/sin 3) (sin /sin ) (sin 3/sin ) (si n/sin 1)=(sin sin )/(sin sin )=1 。由解。證畢。（解三）由（ DF/DM）（ BG/BC）（ AH/GH）（ ME/AE）（ AC/AF）=(sin /sin ) （ AF/AM） (sin 2/sin 1。) （ GF/CF） (sin 2/

8、sin 1。 ) （GF/CF）(sin 1/sin 2)（ AF/GF） (sin 2/sin 1。) （MF/AF）（ AC/AF）=(sin /sin1)(DE/sin ) (sin 2/DE)（ MF/AM）（ AC/CF）=(sin /sin1)(AD/sin 11) (sin 15。 /DF) (sin /sin 3) (sin 15。第 4頁/DF) (sin /sin 3) (sin 11/sin 15)（ AE/EF=）(sin 1/sin )=(sin /sin 3) （ AD/DF）=(sin /sin 3) (sin 3/sin )=1 。由 1=（ DF/DM）（ B

9、G/BC）（ AH/GH）（ ME/AE）（ AC/AF）=(sin /sin ) （AF/AM）(sin /sin ) （ AG/AC） (sin 1/sin 2) （ AF/GF） (sin 2/sin 1。 ) （MF/AF）（ AC/AF）=(sin /sin )（ AG/GF）（ MF/AM） =(sin /sin ) (sin 3/sin ) (sin /sin 3)=(sin /sin ) (sin /sin )=1 。由解。證畢。（解四）由1(sin 3。/sin 2) （CF/EF） (sin 1/sin 3。) （ FH/FG） (sin 2/sin 1。 )（ GF/CF）（ EF/FH） =（ CD/DE）（ AH/AG）（ BG/BC）（ EF/FH）=(sin /sin ) （ AC/AE）（ AH/AG） (