力的平移定理

1、.第四章 平面一般力系第一節(jié) 力的平移定理上面兩章已經(jīng)研究了平面匯交力系與平面力偶系的合成與平衡。為了將平面一般力系簡化為這兩種力系，首先必須解決力的作用線如何平行移動的問題。設(shè)剛體的a點作用著一個力f（圖43（a），在此剛體上任取一點o。現(xiàn)在來討論怎樣才能把力f平移到o點，而不改變其原來的作用效應(yīng)？為此，可在o點加上兩個大小相等、方向相反，與f平行的力f和f，且f=f=f（圖43（b） 根據(jù)加減平衡力系公理，f、f和f與圖43（a）的f對剛體的作用效應(yīng)相同。顯然f和f組成一個力偶，其力偶矩為這三個力可轉(zhuǎn)換為作用在o點的一個力和一個力偶（圖43（c）。由此可得力的平移定理：作用在剛體上的力f，

2、可以平移到同一剛體上的任一點o，但必須附加一個力偶，其力偶矩等于力f對新作用點o之矩。順便指出，根據(jù)上述力的平移的逆過程，共面的一個力和一個力偶總可以合成為一個力，該力的大小和方向與原力相同，作用線間的垂直距離為：力的平移定理是一般力系向一點簡化的理論依據(jù)，也是分析力對物體作用效應(yīng)的一個重要方法。例如，圖44a所示的廠房柱子受到吊車梁傳來的荷載f的作用，為分析f的作用效應(yīng)，可將力f平移到柱的軸線上的o點上，根據(jù)力的平移定理得一個力f，同時還必須附加一個力偶（圖4（b）。力f經(jīng)平移后，它對柱子的變形效果就可以很明顯的看出，力f使柱子軸向受壓，力偶使柱彎曲。第二節(jié) 平面一般力系向作用面內(nèi)任一點簡化

3、一、簡化方法和結(jié)果設(shè)在物體上作用有平面一般力系f1，f2，fn，如圖45（a）所示。為將這力系簡化，首先在該力系的作用面內(nèi)任選一點o作為簡化中心，根據(jù)力的平移定理，將各力全部平移到o點（圖45（b），得到一個平面匯交力系f1，f2，fn和一個附加的平面力偶系。精品.其中平面匯交力系中各力的大小和方向分別與原力系中對應(yīng)的各力相同，即f1=f1，f2=f2，fn=fn各附加的力偶矩分別等于原力系中各力對簡化中心o點之矩，即由平面匯交力系合成的理論可知，f1，f2，fn可合成為一個作用于o點的力r，并稱為原力系的主矢（圖45（c），即r= f1+f2+fn= f1+f2+fn=fi （4）求主矢r的

4、大小和方向，可應(yīng)用解析法。過o點取直角坐標(biāo)系oxy，如圖45所示。主矢r在x軸和y軸上的投影為rx= x1+x2+xn=x1+x2+xn=xry= y1+y2+yn=y1+y2+yn=y式中：xi、yi和xi、yi分別是力fi和fi在坐標(biāo)軸x和y軸上的投影。由于fi和fi大小相等、方向相同，所以它們在同一軸上的投影相等。主矢r的大小和方向為 （42） （43）為r與x軸所夾的銳角，r的指向由x和y的正負(fù)號確定。由力偶系合成的理論知，m1，m2，mn可合成為一個力偶（如圖45（c），并稱為原力系對簡化中心o的主矩，即 （44）綜上所述，得到如下結(jié)論：平面一般力系向作用面內(nèi)任一點簡化的結(jié)果，是一個

5、力和一個力偶。這個力作用在簡化中心，它的矢量稱為原力系的主矢，并等于原力系中各力的矢量和；這個力偶的力偶矩稱為原力系對簡化中心的主矩，并等于原力系各力對簡化中心的力矩的代數(shù)和。應(yīng)當(dāng)注意，作用于簡化中心的力r一般并不是原力系的合力，力偶矩為mo也不是原力系的合力偶，只有r與mo兩者相結(jié)合才與原力系等效。由于主矢等于原力系各力的矢量和，因此主矢r的大小和方向與簡化中心的位置無關(guān)。而主矩等于原力系各力對簡化中心的力矩的代數(shù)和，取不同的點作為簡化中心，各力的力臂都要發(fā)生變化，則各力對簡化中心的力矩也會改變，因而，主矩一般隨著簡化中心的位置不同而改變。精品.二、平面一般力系簡化結(jié)果的討論平面力系向一點簡

6、化，一般可得到一力和一個力偶，但這并不是最后簡化結(jié)果。根據(jù)主矢與主矩是否存在，可能出現(xiàn)下列幾種情況：（1）若r=0，mo0，說明原力系與一個力偶等效，而這個力偶的力偶矩就是主矩。由于力偶對平面內(nèi)任意一點之矩都相同，因此當(dāng)力系簡化為一力偶時，主矩和簡化中心的位置無關(guān)，無論向哪一點簡化，所得的主矩相同。（2）若r0，mo=0，則作用于簡化中心的力r就是原力系的合力，作用線通過簡化中心。（3）若r0，mo0，這時根據(jù)力的平移定理的逆過程，可以進(jìn)一步合成為合力r，如圖46所示。將力偶矩為mo的力偶用兩個反向平行力r、r表示，并使r和r等值、共線，使它們構(gòu)成一平衡力圖46（b），為保持mo不變，只要取力

7、臂d為將r和r這一平衡力系去掉，這樣就只剩下r力與原力系等效（圖46（c）。合力r在o點的哪一側(cè)，由r對o點的矩的轉(zhuǎn)向應(yīng)與主矩mo的轉(zhuǎn)向相一致來確定。（4）r=0，mo=0，此時力系處于平衡狀態(tài)。三、平面一般力系的合力矩定理由上面分析可知，當(dāng)r0，mo0時，還可進(jìn)一步簡化為一合力r，見圖46，合力對o點的矩是而所以由于簡化中心o是任意選取的，故上式有普遍的意義。于是可得到平面力系的合力矩定理。平面一般力系的合力對作用面內(nèi)任一點之矩等于力系中各力對同一點之矩的代數(shù)和。例41 如圖47（a）所示，梁ab的a端是固定端支座，試用力系向某點簡化的方法說明固定端支座的反力情況。解：梁的a端嵌入墻內(nèi)成為固

8、定端，固定端約束的特點是使梁的端部既不能移動也不能轉(zhuǎn)動。在主動力作用下，梁插入部分與墻接觸的各點都受到大小和方向都不同的約束反力作用（圖47（b），這些約束反力就構(gòu)成一個平面一般力系，將該力系向梁上a點簡化就得到一個力精品.ra和一個力偶矩為ma的力偶（圖47（c），為了便于計算，一般可將約束反力ra ，用它的水平分力xa和垂直分力ya來代替。因此，在平面力系情況下，固定端支座的約束反力包括三個；即阻止梁端向任何方向移動的水平反力xa和豎向反力ya，以及阻止物體轉(zhuǎn)動的反力偶ma。它們的指向都是假定的（圖47（d）。例42 已知素混凝土水壩自重，水壓力在最低點的荷載集度，各力的方向及作用線位置如

9、圖48（a）所示。試將這三個力向底面點簡化，并求簡化的最后結(jié)果。解：以底面為簡化中心，取坐標(biāo)系如圖48（a）所示，由式（42）和式（43）可求得主矢r的大小和方向。由于所以因為x為正值，y為正值，故r指向第一象限與x軸夾角為，再由式（44）可求得主矩為精品.計算結(jié)果為負(fù)值表示ma是順時針轉(zhuǎn)向。因為主矢r0，主矩ma0，如圖48（b）所示，所以還可進(jìn)一步合成為一個合力r。r的大小、方向與r相同，它的作用線與a點的距離為因ma為負(fù)，故ma（r）也應(yīng)為負(fù)，即合力r應(yīng)在a點右側(cè)，如圖48（c）所示。第三節(jié) 平面一般力系平衡條件及其應(yīng)用一、平面一般力系的平衡條件平面一般力系向任一點簡化時，當(dāng)主矢、主矩同

10、時等于零，則該力系為平衡力系。因此，平面一般力系處在平衡狀態(tài)的必要與充分條件是力系的主矢與力系對于任一點的主矩都等于零，即：r=0 mo=0根據(jù)式（42）及式（44），可得到平面一般力系的平衡條件為 （45）式（45）說明，力系中所有各力在兩個坐標(biāo)軸上的投影的代數(shù)和均等于零，所有各力對任一點之矩的代數(shù)和等于零。式（45）中包含兩個投影方程和一個力矩方程，是平面一般力系平衡方程的基本形式。這三個方程是彼此獨立的（即其中的一個不能由另外兩個得出），因此可求解三個未知量。精品.例43 梁ab一端為固定端支座，另一端無約束，這樣的梁稱為懸臂梁。它承受均布荷載q和一集中力p的作用，如圖49（a）所示。已

11、知p=10kn，q=2kn/m，l=4m，梁的自重不計，求支座a的反力。 解：取梁ab為研究對象，其受力圖如圖49（b）所示。支座反力的指向是假定的，梁上所受的荷載和支座反力組成平面一般力系。在計算中可將線荷載q用作用其中心的集中力來代替。選取坐標(biāo)系，列平衡方程。力系既然平衡，則力系中各力在任一軸上的投影代數(shù)和必然等于零，力系中各力對任一點之矩的代數(shù)和也必然為零。因此，我們可以列出其它的平衡方程，用來校核計算有無錯誤。校核 可見，ya和ma計算無誤。例44 圖410（a）所示一伸臂梁。受到荷載，三角形分布荷載作用。如果不計梁重，求支座a和b的反力。精品.解：取cd梁為研究對象，受力圖如圖410

12、（b）所示，列平衡方程。得數(shù)為正值，說明實際的反力方向與假設(shè)的方向一致，得數(shù)為負(fù)值，說明實際的反力方向與假設(shè)的方向相反。例45 一水平托架承受重的重物，如圖411（a）所示，a、b、c各處均為鉸鏈連接。各桿的自重不計，試求托架a、b兩處的約束反力。解: 取托架水平桿ad作為研究對象，其受力圖如圖411（b）所示。由于桿bc為二力桿，它對托架水平桿的約束反力沿桿bc軸線作用，a處為固定鉸支座，其約束反力可用相互垂直的一對反力和來代替。取坐標(biāo)系如圖，列出三個平衡方程。校核 說明計算無誤例46 鋼筋混凝土剛架，所受荷載及支承情況如圖412（a）所示。已知精品.，試求支座處的反力。解：取剛架為研究對象

13、，畫其受力圖如圖412（b）所示，圖中各支座反力指向都是假設(shè)的。本題有一個力偶荷載，由于力偶在任一軸上投影為零，故寫投影方程時不必考慮力偶，由于力偶對平面內(nèi)任一點的矩都等于力偶矩，故寫力矩方程時，可直接將力偶矩列入。設(shè)坐標(biāo)系如圖412（b）所示，列三個平衡方程 校核說明計算無誤。從上述幾個例題可以看出，平面一般力系平衡問題的解題步驟為：1 選取研究對象，作出研究對象的受力圖。2 對所選取的研究對象，列出平衡方程。3 由平衡方程解出未知量。4 將計算結(jié)果代入不獨立的平衡方程，以校核解題過程有無錯誤。二、平面一般力系平衡方程的其他形式前面我們通過平面一般力系的平衡條件導(dǎo)出了平面一般力系平衡方程的基

14、本形式，除了這種形式外，還可將平衡方程表示為二力矩形式及三力矩形式。1二力矩形式的平衡方程精品.在力系作用面內(nèi)任取兩點a、b及x軸，如圖413所示，可以證明平面一般力系的平衡方程可改寫成兩個力矩方程和一個投影方程的形式，即： (46)式中x軸不與a、b兩點的連線垂直。證明：首先將平面一般力系向a點簡化，一般可得到過a點的一個力和一個力偶。若成立，則力系只能簡化為通過a點的合力r或成平衡狀態(tài)。如果又成立，說明r必通過b。可見合力r的作用線必為ab連線。又因成立，則，即合力r在x軸上的投影為零，因ab連線不垂直x軸，合力r亦不垂直于x軸，由可推得?？梢姖M足方程（46）的平面一般力系，若將其向a點簡

15、化，其主矩和主矢都等于零，從而力系必為平衡力系。2三力矩形式的平衡方程在力系作用面內(nèi)任意取三個不在一直線上的點a、b、c，如圖414所示，則力系的平衡方程可寫為三個力矩方程形式，即 （47）式中，a、b、c三點不在同一直線上。同上面討論一樣，若和成立，則力系合成結(jié)果只能是通過a、b兩點的一個力（圖414）或者平衡。如果也成立，則合力必然通過c點，而一個力不可能同時通過不在一直線上的三點，除非合力為零，才能成立。因此，力系必然是平衡力系。綜上所述，平面一般力系共有三種不同形式的平衡方程，即式（45）、式（46）、式（47），在解題時可以根據(jù)具體情況選取某一種形式。無論采用哪種形式，都只能寫出三個

16、獨立的平衡方程，求解三個未知數(shù)。任何第四個方程都不是獨立的，但可以利用這個方程來校核計算的結(jié)果。例47 某屋架如圖415（a）所示，設(shè)左屋架及蓋瓦共重，右屋架受到風(fēng)力及荷載作用，其合力精品.，與bc夾角為，試求a、b支座的反力。解：取整個屋架為研究對象，畫其受力圖，并選取坐標(biāo)軸x軸和y軸，如圖415（b）所示，列出三個平衡方程 校核說明計算無誤。例48 梁ac用三根支座鏈桿連接，受一力作用，如圖416（a）所示。不計梁及鏈桿的自重，試求每根支座鏈桿的反力。精品.解： 取ac梁為研究對象，畫其受力圖，如圖416（b）所示。列平衡方程時，為避免解聯(lián)立方程組，最好所列的方程中只有一個未知力，因此，取

17、和的交點o為矩心列平衡方程取與的交點o2為矩心列平衡方程取校核 說明計算無誤。3平面力系的特殊情況平面一般力系是平面力系的一般情況。除前面講的平面匯交力系，平面力偶系外，還有平面平行力系都可以看為平面一般力系的特殊情況，它們的平衡方程都可以從平面一般力系的平衡方程得到，現(xiàn)討論如下。（1）平面匯交力系對于平面匯交力系，可取力系的匯交點作為坐標(biāo)的原點，圖417(a)所示，因各力的作用線均通過坐標(biāo)原點o，各力對o點的矩必為零，即恒有精品.。因此，只剩下兩個投影方程：即為平面匯交力系的平衡方程。（2）平面力偶系平面力偶系如圖417(b)所示，因構(gòu)成力偶的兩個力在任何軸上的投影必為零，則恒有和，只剩下第

18、三個力矩方程，但因為力偶對某點的矩等于力偶矩，則力矩方程可改寫為即平面力偶系的平衡方程。（3）平面平行力系平面平行力系是指其各力作用線在同一平面上并相互平行的力系，如圖417（）所示，選oy軸與力系中的各力平行，則各力在x軸上的投影恒為零，則平衡方程只剩下兩個獨立的方程 （48）若采用二力矩式（46），可得 （49）式中a、b兩點的連線不與各力作用線平行。平面平行力系只有兩個獨立的平衡方程，只能求解兩個未知量。例49 圖418所示為塔式起重機(jī)。已知軌距，機(jī)身重，其作用線到右軌的距離，起重機(jī)平衡重，其作用線到左軌的距離，荷載p的作用線到右軌的距離，（1）試證明空載時（時）起重機(jī)時否會向左傾倒？（

19、2）求出起重機(jī)不向右傾倒的最大荷載p。精品.解：以起重機(jī)為研究對象，作用于起重機(jī)上的力有主動力g、p、q及約束力和，它們組成一個平行力系（圖418）。（1）使起重機(jī)不向左倒的條件是，當(dāng)空載時，取，列平衡方程所以起重機(jī)不會向左傾倒（2）使起重機(jī)不向右傾倒的條件是，列平衡方程欲使，則需當(dāng)荷載時，起重機(jī)是穩(wěn)定的。三、物體系統(tǒng)的平衡前面研究了平面力系單個物體的平衡問題。但是在工程結(jié)構(gòu)中往往是由若干個物體通過一定的約束來組成一個系統(tǒng)。這種系統(tǒng)稱為物體系統(tǒng)。例如，圖示419（a）所示的組合梁，就是由梁ac和梁cd通過鉸c連接，并支承在a、b、d支座而組成的一個物體系統(tǒng)。精品.在一個物體系統(tǒng)中，一個物體的受

20、力與其他物體是緊密相關(guān)的；整體受力又與局部緊密相關(guān)的。物體系統(tǒng)的平衡是指組成系統(tǒng)的每一個物體及系統(tǒng)的整體都處于平衡狀態(tài)。在研究物體系統(tǒng)的平衡問題時，不僅要知道外界物體對這個系統(tǒng)的作用力，同時還應(yīng)分析系統(tǒng)內(nèi)部物體之間的相互作用力。通常將系統(tǒng)以外的物體對這個系統(tǒng)的作用力稱為外力，系統(tǒng)內(nèi)各物體之間的相互作用力稱為內(nèi)力。例如圖419（b）的組合梁的受力圖，荷載及a、b、d支座的反力就是外力，而在鉸c處左右兩段梁之間的互相作用的力就是內(nèi)力。應(yīng)當(dāng)注意，外力和內(nèi)力是相對的概念，是對一定的考察對象而言的，例如圖419組合梁在鉸c處兩段梁的相互作用力，對組合梁的整體來說，就是內(nèi)力，而對左段梁或右段梁來說，就成為

21、外力了。當(dāng)物體系統(tǒng)平衡時，組成該系統(tǒng)的每個物體都處于平衡狀態(tài)，因而，對于每一個物體一般可寫出三個獨立的平衡方程。如果該物體系統(tǒng)有個物體，而每個物體又都在平面一般力系作用下，則就有個獨立的平衡方程，可以求出個未知量。但是，如果系統(tǒng)中的物體受平面匯交力系或平面平行力系的作用，則獨立的平衡方程將相應(yīng)減少，而所能求的未知量數(shù)目也相應(yīng)減少。當(dāng)整個系統(tǒng)中未知量的數(shù)目不超過獨立的平衡方程數(shù)目，則未知量可由平衡方程全部求出，這樣的問題稱為靜定問題。當(dāng)未知量的數(shù)目超過了獨立平衡方程數(shù)目，則未知量由平衡方程就不能全部求出，這樣的問題，則稱為超靜定問題，在靜力學(xué)中，我們不考慮超靜定問題。在解答物體系統(tǒng)的平衡問題時，

22、可以選取整個物體系統(tǒng)作為研究對象，也可以選取物體系統(tǒng)中某部分物體（一個物體或幾個物體組合）作為研究對象，以建立平衡方程。由于物體系統(tǒng)的未知量較多，應(yīng)盡量避免從總體的聯(lián)立方程組中解出，通?？蛇x取整個系統(tǒng)為研究對象，看能否從中解出一或兩個未知量，然后再分析每個物體的受力情況，判斷選取哪個物體為研究對象，使之建立的平衡方程中包含的未知量少，以簡化計算。下面舉例說明求解物體系統(tǒng)平衡問題的方法。例410 組合梁受荷載如圖420(a)所示。已知，梁自重不計，求支座a、c的反力。解：組合梁由兩段梁ab和bc組成，作用于每一個物體的力系都是平面一般力系，共有6個獨立的平衡方程；而約束力的未知數(shù)也是6（a處有三個，b處有兩個，c處有1個）。首先取整個梁為研究對象，受力圖如圖420（b）所示。精品.其余三個未知數(shù)、和，無論怎樣選取投影軸和矩心，都無法求出其中任何一個，因此，必須將ab梁和bc梁分開考慮，現(xiàn)取bc梁為研究對象，受力圖如圖420（c