第六章 單變量微分學(xué).ppt

1、1,第六章 單變量微分學(xué),郇中丹 2006-2007學(xué)年第一學(xué)期,2,基本內(nèi)容,0 微積分的創(chuàng)立 1 導(dǎo)數(shù)和微分的定義 2 求導(dǎo)規(guī)則 3 區(qū)間上的可導(dǎo)函數(shù)(中值定理) 4 不定式 5 Taylor公式 6 用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù) 7 割線法和切線法(Newton方法),3,0 微積分的創(chuàng)立,Isaac Newton (1642-1727) Gotfried Wilhelm Leibniz(1646-1716),4,Isaac Newton (1642-1727),1661.6 (順治18年)入劍橋三一學(xué)院(半公費(fèi)(做仆人掙錢(qián)繳交學(xué)費(fèi)的)學(xué)生), 數(shù)學(xué)指導(dǎo)教師Isaac Barrow (1630-167

2、7),1664.1(康熙3年)獲學(xué)士學(xué)位. 1664-1666英國(guó)流行黑死病(鼠疫), 1665-1666牛頓回家鄉(xiāng)呆了18個(gè)月,其間發(fā)明了流數(shù)(Fluxion)法(變量為流,變化率為流數(shù))、發(fā)現(xiàn)了萬(wàn)有引力定律、用實(shí)驗(yàn)證明了白光為各種顏色光合成. 1665年11月發(fā)明“正流數(shù)法”(微分法)，1666年5月發(fā)明“反流數(shù)法”(積分法)，1666年10月總結(jié)文稿“流數(shù)簡(jiǎn)論”，建立了微積分基本定理。,5,Isaac Newton (II),1669接替Barrow的教授職位; 1687(康熙26年)出版Mathematical Principles of Natural Philosophy. New

3、ton有關(guān)流數(shù)的著作到他身后才發(fā)表(1736).,6,Gotfried Wilhelm Leibniz(1646-1716),1661入Leipzig大學(xué)學(xué)法律,1663獲學(xué)士,1666具備獲法學(xué)博士的資格(出于嫉妒,該校教師拒絕授予),被另一所大學(xué)授予博士和請(qǐng)其為教授(他拒絕了后者). 作為律師, 他被雇主們支得在四處透風(fēng)的馬車(chē)中四處奔波,使得他具有在任何時(shí)間、任何地點(diǎn)和任何條件下工作的能力，他不停地讀著、寫(xiě)著和思考著，他的手稿至今還成捆地放在圖書(shū)館里而沒(méi)有被人們整理過(guò)。有趣地是他的頭顱比一般人的都小。,7,Leibniz (II),1666其稱(chēng)作“中學(xué)生隨筆”的組合藝術(shù)中立志要?jiǎng)?chuàng)造出“一般

4、方法和普適語(yǔ)言，其中所有推理都簡(jiǎn)化為計(jì)算，除了可能的事實(shí)錯(cuò)誤外，只會(huì)有計(jì)算錯(cuò)誤”，為此他創(chuàng)立了符號(hào)邏輯但未能完成, 發(fā)明了能做四則運(yùn)算和開(kāi)方的計(jì)算機(jī)。由于其才能而被種種瑣事困擾。 1672-1673請(qǐng)求Huygens教授了他現(xiàn)代數(shù)學(xué); 在英國(guó)了解到了無(wú)窮級(jí)數(shù)方法。 1675年發(fā)現(xiàn)了微積分基本定理，1677年7月11日將其發(fā)表，其方法主要經(jīng)過(guò)James和John Bernoulli兄弟的發(fā)展而成為一種強(qiáng)有力而又容易運(yùn)用的工具。,8,Leibniz (III),Leibniz建立微積分的基本記號(hào)和術(shù)語(yǔ),包括微積分(Calculus,原意是鵝卵石,用于計(jì)數(shù)), 微分(原意是差的, Different

5、ial),微分,求導(dǎo)和積分的符號(hào). 建立了四則運(yùn)算的求導(dǎo)規(guī)則. 1673年引入函數(shù)的術(shù)語(yǔ)。 提出：不能像衛(wèi)道士那樣：只有知識(shí)而沒(méi)有判斷。,9,1.導(dǎo)數(shù)和微分的定義,微分和導(dǎo)數(shù)概念的意義 函數(shù)增量與微分和導(dǎo)數(shù) 連續(xù)與導(dǎo)數(shù)和導(dǎo)數(shù)的解釋,10,微分和導(dǎo)數(shù)概念的意義 (I),微分的概念源自試圖刻劃在一個(gè)“小”時(shí)間間隔或空間上的變化量。 導(dǎo)數(shù)的概念源自刻劃某種現(xiàn)象在一個(gè)時(shí)刻或位置的變化率，典型的例子有：在一個(gè)時(shí)刻的速度、曲線在一點(diǎn)的斜率、物質(zhì)在一點(diǎn)的密度等等。如何理解導(dǎo)數(shù)始終是個(gè)有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題。 微分與導(dǎo)數(shù)的概念是密切聯(lián)系著的，所涉及的范圍和對(duì)其意義的理解是不斷演化的。由時(shí)間到空間，由一維到高維，由有限

6、維到無(wú)窮維。由近似到線性映射。,11,微分和導(dǎo)數(shù)概念的意義 (II),導(dǎo)數(shù)的物理背景: 隨時(shí)間或空間的變化率(rates of change), 包括各種瞬時(shí)速度、 各種密度、濃度或強(qiáng)度等等。 導(dǎo)數(shù)的幾何背景：切線的斜率、曲線的曲率、曲面切平面的確定和曲面的曲率等等。 引入導(dǎo)數(shù)的簡(jiǎn)單模型：由路程函數(shù)確定速度函數(shù)和由函數(shù)圖像確定圖像切線。 由方向?qū)?shù)到梯度再到一般意義上的導(dǎo)數(shù)。,12,函數(shù)增量與微分和導(dǎo)數(shù),設(shè)在a的一個(gè)鄰域上有定義. 增量定義: 稱(chēng)Dx=x-a為自變量x在a處的增量, D(x)=(x)-(a)為在a處的增量. 微分定義: 若cR使得D(x)cDx (Dx0),就稱(chēng)線性函數(shù)g(Dx

7、)=cDx為D(x)(也叫在a處)的微分,記做d(x)或d. Dx也記做dx.此時(shí)稱(chēng)在a處可微. 導(dǎo)數(shù)定義: 若cR使得D(x)/Dxc (Dx0), 稱(chēng)c為在a處的導(dǎo)數(shù),記做c=(a)或d/dx(a)=D(a). 小結(jié): 若在a處可微, D(x)=d(x)+g(Dx)Dx (a(0)=0), d(x) (a)dx. d(x)也叫做函數(shù)增量D(x)的線性部分.,13,連續(xù)與導(dǎo)數(shù)和導(dǎo)數(shù)的解釋,可微與連續(xù): 若在a處可微,則在a處連續(xù). 左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù): 右導(dǎo)數(shù)(a+),左導(dǎo)數(shù)(a-). 導(dǎo)數(shù)與左右導(dǎo)數(shù): 在a處有導(dǎo)數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)在a處左右導(dǎo)數(shù)存在且相等. 切線定義: 曲線y=(x)在(a,(a)的切

8、線定義為直線: y=(a)+(a)(x-a). 導(dǎo)數(shù)(a)的幾何解釋: 曲線y=(x)在(a,(a)的切線的斜率. 導(dǎo)數(shù)(a)的物理解釋: 若(x)為物體在時(shí)間間隔t0,a內(nèi)運(yùn)動(dòng)的路程, (a)為在時(shí)刻a的瞬時(shí)速度.,14,習(xí)題十八 (I),1. 用定義計(jì)算下列函數(shù)在x=0點(diǎn)的導(dǎo)數(shù): (1) (0)=0, 若x0, (x)=x2 sin 1/x; (2) (0)=0, 若x0, (x)=exp(-1/x2); (3) Dirichlet函數(shù)D(x); (4) xD(x); (5) x2D(x). 2. 證明: 若(0)存在, 則n(1/n)- (0)(0) (n). 反過(guò)來(lái)成立嗎？ 3. 設(shè)(

9、0)=0且(0)存在.計(jì)算數(shù)列: xn=(1/n2)+ (2/n2)+(n/n2)的極限.計(jì)算數(shù)列極限: (1) xn=sin(1/n2) + sin(2/n2)+sin(n/n2); (2) yn=(1+1/n2)(1+2/n2) (1+n/n2).,15,習(xí)題十八 (II),4. 設(shè)函數(shù)在x=0的一個(gè)鄰域上有定義并且滿足: xI, (x)(0). 證明: 如果 (0)存在, 則(0)=0. 5. 證明：函數(shù)在x=0點(diǎn)可微的充分必要條件是(x)=(0)+g(x)x, 其中g(shù)在x=0點(diǎn)連續(xù). 6. 求下列曲線在給定點(diǎn)的切線方程: (1) y=x2-x+3, P(2,5); (2) y=1/x,

10、 P(1,1); (3) y=ex+x+1, P(0,3); (4) y=sin x, P(p/6,1/2). 若 ,16,2 求導(dǎo)規(guī)則,復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t 反函數(shù)求導(dǎo)公式 一階微分形式的不變性 求導(dǎo)運(yùn)算的算術(shù)性質(zhì) 初等函數(shù)求導(dǎo)公式 雙曲函數(shù) 雙曲函數(shù)求導(dǎo)公式 高階導(dǎo)數(shù)和高階微分,17,復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t,定理: 設(shè)在a點(diǎn)可微,g在(a)點(diǎn)可微,則h=g在a點(diǎn)可微, 并且h(a)= g(a)(a). 證明: 記a=(a), b= g(a). 則 (1) D(x)=a Dx + a1(Dx) Dx (a1(0)=0), (2) Dg(y)=b Dy + b1(Dy) Dy (b1(0)=

11、0). 因此, Dh(x)= bD(x)+b1(D(x)D(x)=baDx + ba1(Dx)Dx + b1(a Dx+a1(Dx)Dx)(aDx+a1(Dx) Dx)= baDx + g(Dx)Dx, 其中g(shù)(Dx)=ba1(Dx)+ b1(a Dx+a1(Dx)Dx)(a+a1(Dx)滿足g(0)=0. 所以, h(a)= ba = g(a)(a). #,18,反函數(shù)求導(dǎo)公式,定理: 設(shè)C(I), g是在(I)上的反函數(shù),這里I是區(qū)間. 若在a點(diǎn)可微且(a)0, 則g在b=(a)可微,并且g(b)=1/(a)=1/(g(b). 證明: 由在(I)上有反函數(shù),在I上嚴(yán)格單調(diào),因此, gC(I

12、). 只要證明g(b)存在就夠了.而這由(g(y)-g(b)/(y-b)= (g(y)-g(b)/(g(y)-(g(b)和復(fù)合函數(shù)的極限性質(zhì)就得到結(jié)論.#,19,一階微分形式的不變性,這是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t的另外一種說(shuō)法: 設(shè)的微分是d(x). 若x=g(t)有微分dx=dg(t), 則d(g(t)=(g(t)dg(t)=(x)dx=d(x). 這看似空洞的公式,許多時(shí)候有意想不到作用,同類(lèi)的公式在高階導(dǎo)數(shù)時(shí)不再成立.,20,求導(dǎo)運(yùn)算的算術(shù)性質(zhì),設(shè)何g在a點(diǎn)可微, cR. 則+g, c, g在a點(diǎn)可微, 若g(a)0, /g在a點(diǎn)也可微. 并且 (+g)(a)= (a)+g(a); (c)

13、(a)= c (a); (g)(a)= (a)g(a)+(a)g(a); (/g)(a)= (a)g(a)-(a)g(a)/g(a)2. 證明: 極限性質(zhì)和導(dǎo)數(shù)定義的應(yīng)用.#,21,初等函數(shù)求導(dǎo)公式,基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式: (c)=0; (x)=1; 由歸納法： (xn)=nxn-1; (exp x)=exp x;由鏈?zhǔn)椒▌t,(ax)= ax ln a;反函數(shù)求導(dǎo)規(guī)則:(ln x)=1/x;(loga x)=(ln a)/x;(xa)=axa-1;以及(uv)=uv (vln u +vu/u). (sin x)=cos x; 由求導(dǎo)運(yùn)算的算術(shù)性質(zhì)得到: (cos x)= -sin x; (ta

14、n x)=sec2 x; (cot x)=-csc2 x; (sec x)=tan x sec x; (csc x)=-cot x csc x. 由反函數(shù)求導(dǎo)規(guī)則: (arcsin x)=1/sqrt1- x2; (arccos x)=-1/sqrt1- x2; (arctan x)=1/(1+x2);(arccot x)=-1/(1+x2);(arcsec x) =1/(|x|sqrtx2-1); (arccsc x)=-1/(|x|sqrtx2-1).,22,雙曲函數(shù),雙曲函數(shù)定義: sh x=sinh x, ch x=cosh x, th x= tanh x, cth x=coth x,

15、 sech x, csch x. 反雙曲函數(shù): arsh x=ln(x+sqrt(1+x2); arch x = ln(x+sqrt(x2-1); arth x=1/2 ln(1+x)/1-x); arcth x=1/2 ln(1-x)/1+x); arsec x=ln(1+sqrt(1-x2)/x), 0x1; arcsch x= ln(1+sqrt(1+x2)/|x|).,23,雙曲函數(shù)求導(dǎo)公式,雙曲函數(shù)求導(dǎo)公式: (sh x)=ch x; (ch x)= sh x; (th x)=sech2 x; (cth x)=-csch2 x; (sec x)=-th x sech x; (csch

16、 x)=-cth x csch x. 反雙曲函數(shù)求導(dǎo)公式: (arsh x)=1/sqrt1+x2; (arch x)=1/sqrtx2-1; (arth x)=1/(1-x2); (arcth x)=1/(1-x2); (arsech x) =-1/(xsqrt1-x2) (0x1); (arcsch x)= -1/(|x|sqrtx2+1).,24,習(xí)題十九 (I),1. 計(jì)算下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (1) y=3x+7sqrt(x)+7/x3; (2) y=1/(1+x+x2); (3) y=(2-sqrt(x)+3x-5x2)/x2; (4) y=(1-x2)/(1+x2); (5) y=x

17、(1/3)+x(-1/3); (6) y=(1-x)(2-x)(3-x); (7) y=(1+x+x2)/(1-x+x2); (8) y=x/(x-1)(x-2); (9) y=1/(1+sqrt(x)-1/(1-sqrt(x); (10) y=(ax+b)/(cx+d); (11) y=(1+sqrt(x)/(1-sqrt(x); (12) y=x2sin x; (13) y=(2-x)/(1-x)(1+x2); (14) y=x3ln x+xn/n; (15) y=(ln x)(cos x);(16) y=ex sin x; (17) y=ex sec x;,25,習(xí)題十九 (II),(1

18、8) y=(cos x+sin x)/(cos x-sin x); (19) y=(cot x)/x4; (20) y=(x+1/x)ln x; (21) y=(cos x)(ln 1/x)/x5; (22) y=(sin x)/x; (23) y= x sin x ln x; (24) y=x3tan x. 2. 利用等比數(shù)列求和公式，計(jì)算下列和式： (1) Sn=1+2x+3x2+nx(n-1); (2) Sn=1+22x+32x2+n2x(n-1). 3. 證明下列和式： (1) C_n1+2C_n2+nC_nn=n2(n-1); (2) C_n1+22C_n2+n2C_nn=n(n+1

19、)2(n-2).,26,習(xí)題十九 (III),4. 計(jì)算下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (1) y=(x3-4)4; (2) y=x(a2-x2)sqrt(a2-x2); (2) y=x/sqrt(n2-x2); (4) y=(1+x2)/(1-x2)(1/3); (5) y=sqrt(x+sqrt(x+sqrt(x); (6) y=ln(ln x); (7) y=(1+x(1/3)1/3; (8) y=ln|(a+x)/(a-x)|; (9) y=ln(x+sqrt(a2+x2); (10) y=ln(tan(x/2); (11) y=ln sqrt(1+cos x)/(1-cos x); (12) y=

20、ln3 x5; (13) y=ln(sqrt(1+x)-sqrt(1-x)/(sqrt(1+x)+sqrt(1-x); (14) y=cos3 x-cos(3x); (15) y=sinn x cos(nx); (16) y=tan x-tan3 x+tan5 x; (17) y=cos(cos(sqrt(x); (18) y=sin2 x/sin(x2); (19) y=x(sin x); (20) y=xx;,27,習(xí)題十九 (IV),(21) y=x(tan x); (22) y=x(ln x); (23) y=exp(sqrt(x); (24) y=exp(-1/x2); (25) y

21、=a(sin x); (26) y=x(xx); (27) y=(1+x)(1/x); (28) y=sh(ln x); (29) y=sh(x)sin x; (30) y=arcsin(sqrt(1-x2); (31) y=arcsin(cos x); (32) y=e(ax)(cos bx+sin bx); (33) y=arctan(ch x); (34) y=arctan(tan2x); (35) y=(a/b)x(b/x)a(x/a)b; (36) y=arctan(sqrt(a-b)/(a+b)tan(x/2), (ab0); (37) y=a2arcsin(x/a)+xsqrt(

22、a2-x2); (38) y=a2ln|x+sqrt(a2+x2)|+xsqrt(a2+x2); (39) y=e(x2)(x2+2x+2); (40) y=ln(arccos(1/sqrt(x).,28,高階導(dǎo)數(shù),定義: 設(shè)在(a,b)上處處可微, 就定義了(a,b)上的一個(gè)函數(shù), 這個(gè)函數(shù)叫做的導(dǎo)函數(shù); 若也有導(dǎo)數(shù),其導(dǎo)函數(shù)叫做的二階導(dǎo)函數(shù), 記做; (x)叫做在點(diǎn)x的二階導(dǎo)數(shù); 依此類(lèi)推. 的n階導(dǎo)數(shù)記做(n), Dn或dn/dxn.約定: (0)=. Leibniz公式: 設(shè)u,v有n階導(dǎo)數(shù), 則有公式: 證明: 對(duì)n做歸納法: n=0時(shí)成立. 然后由n=k成立推出n=k+1, 與二項(xiàng)

23、式定理的證明類(lèi)似。#,29,高階微分,定義: 設(shè)在(a,b)上處處可微,d2(x)=(d(x)dx叫做的二階微分.一般 d(n+1)(x)=d(dn(x)=(d(n)(x)dx=(n)(x)dxn 注: 高階微分沒(méi)有形勢(shì)不變性, 有關(guān)討論參看教材90-92頁(yè).記號(hào) F. D. Bruno公式: 設(shè)和g都有n階導(dǎo)數(shù). 則h=g的n階導(dǎo)數(shù)滿足下面的公式:,30,習(xí)題二十 (I),1. 證明Leibniz公式. 2. 證明Bruno公式。 3. 計(jì)算下列函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù): (1) y=1/(1-x2); (2)y=(1+x)/(1-x)(1/3); (3)y=sin2 x; (4) y=xn/(1-x

24、); (5) y=sin3 x; (6) y=ex sin x; (7) y=xn/(x2-1); (8) y=ex(cos x+sin x); (9) y=xn/(x+1)2(x+2)2); (10) y=1/sqrt(1+x2). 4. 證明y=arcsin x和y=arccosx滿足(1-x2)y- xy=0. 5. 證明 y=(x+sqrt(1+x2)m滿足(1+x2)y+xy = m2 y.,31,習(xí)題二十 (II),6. 證明. 切比雪夫多項(xiàng)式Tn(x)=1/2(n-1)cos(n arccos x)滿足(1-x2)y-xy+n2 y=0. 7. 設(shè)y=(x)有反函數(shù)并且滿足y+(

25、y)3=0. 證明的反函數(shù)g滿足g=1, 并由此給出的一個(gè)例子. 8. 求下列函數(shù)的指定階數(shù)的微分,其中u,v都有用到的各階導(dǎo)數(shù): (1) y=u2, 求d10y; (2) y=arctan(u/v), 求d2y; (3) y=eu,求d4y; (4) y=ln u,求d3y. 9. 設(shè)在x=0點(diǎn)連續(xù)且(2x)-(x)/xl (x0). 證明在x=0點(diǎn)可微, 且(0)=l. 10. 證明: (f(x)-b)/(x-a)A(xa)當(dāng)且僅當(dāng)(e(f(x)-eb)/(x-a)Aeb(xa).,32,3區(qū)間上的可導(dǎo)函數(shù)(中值定理),有關(guān)函數(shù)一點(diǎn)行為的定義 導(dǎo)數(shù)對(duì)函數(shù)一點(diǎn)行為的刻劃 中值定理的意義及其邏

26、輯 中值定理證明及其簡(jiǎn)單推論 例子 Lagrange中值定理的一些推論 三個(gè)不等式 參變量函數(shù)求導(dǎo)定理,33,導(dǎo)數(shù)對(duì)函數(shù)一點(diǎn)行為的刻劃,定義: 設(shè)a是定義的內(nèi)點(diǎn). U是a的鄰域 在a點(diǎn)增: xU, xa, 則(x)-(a)(x-a)0; 在a點(diǎn)減: xU, xa, 則(x)-(a)(x-a)(a); a點(diǎn)是的局部最大值點(diǎn): xU, (x)(a); a點(diǎn)是的局部最小值點(diǎn): xU, (x)(a).,34,導(dǎo)數(shù)對(duì)函數(shù)一點(diǎn)行為的刻劃,(a)充分條件: 若(a)0, 則在a點(diǎn)增; (Darboux引理) 若(a)0, 則a局部嚴(yán)格最小值點(diǎn); 必要條件: 設(shè)(a)存在. 若在a點(diǎn)不減, 則 (a)0; 若

27、在a點(diǎn)不增, 則 (a)0; 若a是的極值點(diǎn), 則(a)=0. (Fermat引理),35,中值定理的意義及其邏輯,中值定理要討論的問(wèn)題: 用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)值差的表達(dá)式, 利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)研究值差以得到有關(guān)函數(shù)的信息。 中值(Lagrange)定理: 若Ca,b, 且在(a,b)上點(diǎn)點(diǎn)可微, 則c(a,b),使得(b)-(a)=(c)(b-a). # 其證明是基于Fermat引理. 邏輯順序: Rolle定理(b)=(a), c(a,b),使得(c)=0)Cauchy中值定理(,gCa,b都在(a,b)上點(diǎn)點(diǎn)可微,且x (a,b),g(x)0,則c(a,b),使得(b)-(a)/(g(b)-g(a

28、)=(c)/g(c) Lagrange中值定理. 附帶地得到導(dǎo)函數(shù)的介值性質(zhì)和間斷點(diǎn)的特點(diǎn).,36,中值定理的證明及其簡(jiǎn)單推論,Rolle定理的證明: 在(a,b)上必有極值.# Cauchy定理的證明: h(x)=(g(b)-g(a)(x)-(b)- (a)g(x), 則hCa,b 在(a,b)上點(diǎn)點(diǎn)可微,且h(a)=h(b)=g(b)(a)-(b)g(a).# Lagrange定理的證明: 在Cauchy定理中取g(x)=x就可以了.# Darboux定理: 設(shè)在(a,b)上可微. 則(a,b)是區(qū)間. 因此在(a,b)上的間斷點(diǎn)只能是第二類(lèi)間斷點(diǎn). 證明: (1) 證明零點(diǎn)定理; (2)

29、 由Lagrange定理第一類(lèi)間斷點(diǎn)必為連續(xù)點(diǎn). #,37,例子,例1. 設(shè)(0)=0,而當(dāng)x0時(shí), (x)=x2 cos(1/x). 因此(0)=0,而當(dāng)x0時(shí), (x)=2xcos(1/x)+sin(1/x). 在x=0點(diǎn)的左右極限都不存在. 例2. (x)=2sqrt(|x|). 若x0, (x)=sgn(x)/sqrt(|x|). (0+)=+, (0-)=- (實(shí)際上,也是在x=0點(diǎn)左右“導(dǎo)數(shù)”). 例3. (x)=3x(1/3). 若x0, (x)=x(-2/3). (0+)= (0-)= + (實(shí)際上,也是在x=0點(diǎn)的“導(dǎo)數(shù)”). 在例2-3的情形, 稱(chēng)在x=0點(diǎn)有 (左,右)導(dǎo)

30、數(shù).,38,Lagrange中值定理的一些推論,1. 若x(a,b), (x)=0,則是(a,b)上的常值函數(shù). 2. 設(shè)在(a,b)上可微. 則在(a,b)上不減的充分必要條件是x(a,b), (x)0. 3.若x(a,b),(x)0,則在(a,b)上是嚴(yán)格增的. 4.設(shè)在(a,b)上可微. 則在(a,b)上嚴(yán)格增的充分必要條件是x(a,b), (x)0, 并且在(a,b)的子區(qū)間上不為常數(shù). 推論4的證明: 必要性: 由推論3得到(x)0, 嚴(yán)格增給出后一部分.充分性: (x)0給出不減,在(a,b)的子區(qū)間上不為常數(shù)給出嚴(yán)格.#,39,三個(gè)不等式,Young不等式:設(shè)a,b0, a+b=

31、1.則x0,xax+b. Young不等式的變形: aabb aa+bb. (x=a/b） Hlder不等式: 設(shè)ui, vi0, i=1,n. 則 Minkovski不等式: 設(shè)p1, ai, bi0, i=1,n. 則,40,參變量函數(shù)求導(dǎo)定理,定理:設(shè)j(t),y(t)在a,b上可微且ta,b, j(t) 0. 則由x=j(t)和y=y(t)可得j(a),j(b)上的函數(shù)y=(x). 即=yj-1. 特別(j(t)=y(t)/j(t). 這個(gè)定理為研究參數(shù)曲線和參變量函數(shù)求導(dǎo)提供了工具. 證明: 鏈?zhǔn)椒▌t的推論.# 推論: 參變量函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)的公式. (j(t)=(y(t)j(t)-j(

32、t)y(t)/(j(t)3.,41,習(xí)題二十一 (I),1. 設(shè)(x)=xm(1-x)n,其中m, n為正整數(shù). 證明: c(0,1)使得m/n=c/(1-c). 2. 證明: 4ax3+3bx2+2cx=a+b+c在(0,1)內(nèi)至少有一個(gè)根. 3. 證明: ex= ax2+bx+c的根不超過(guò)三個(gè). 4. 設(shè)Ca,b在(a,b)上有n階導(dǎo)數(shù), 并且在a,b上有(按重?cái)?shù)計(jì))n+1個(gè)零點(diǎn). 證明: (n)在a,b上至少有一個(gè)零點(diǎn). 5. 證明: 一個(gè)有(按重?cái)?shù)計(jì))n+1個(gè)零點(diǎn)的次數(shù)不超過(guò)n的多項(xiàng)式必為零多項(xiàng)式.,42,習(xí)題二十一 (II),6.設(shè)在(a,b)上可微 (其中a可以是-,b可以是+).

33、證明:如果(a+)=(b-),則c(a,b)使得(c) =0. 7. 設(shè)在(a,b)上可微. 證明的兩個(gè)零點(diǎn)之間必有+的零點(diǎn). 8.證明:Legendre(勒讓德)多項(xiàng)式Pn(x)=1/(2n n!)(x2-1)n(n)在-1,1內(nèi)有n個(gè)零點(diǎn). 9. 證明: Chebyshev-Laguerre(切比雪夫-拉蓋爾)多項(xiàng)式Ln(x)=ex(xne(-x)(n)有n個(gè)不同的零點(diǎn).,43,習(xí)題二十一 (III),10. 證明: Chebyshev-Hermite (切比雪夫-厄爾米特)多項(xiàng)式Ln(x)=(-1)n/n!e(x2/2)(e(-x2/2)(n)有n個(gè)不同的零點(diǎn). 11. 證明: (1)

34、|sin x-sin y|x-y|; (2) |cos x-cos y|x-y|; (3) |arctan x-arctan y|x-y|; (4) |arccot x- arccot y|x-y|. 12. 設(shè)C(a,b)且在(a,c)(c,b)上可導(dǎo). 證明: 如果, 則(c)=A. 13. 設(shè)在(a,b)上可導(dǎo), 并且在(a,b)單調(diào). 證明C(a,b). 14. 設(shè)在(a, b)上可導(dǎo)并且有界. 證明在(a, b )上一致連續(xù).,44,習(xí)題二十一 (IV),15. 設(shè)在(a, +)上可導(dǎo)且(x) (x+). 證明在(a, +)上不一致連續(xù). 16.證明(x)=xlnx在(0,+)上不一

35、致連續(xù).而g(x)=sqrt(x) ln x在(0, +)上一致連續(xù). 17. 設(shè)(x)-(0)= x(x(x), 其中00), (0)=0，對(duì)于a0, x(x)在(0,a)上不連續(xù). 18. 定義(x)=arctan(1+x)/(1-x) (x1), (1)=0. 證明在x=1點(diǎn)有極限, 但是在x=1點(diǎn)的兩個(gè)單側(cè)導(dǎo)數(shù)都不存在. 請(qǐng)給出你的解釋. 19.設(shè)Ca-h, a+h在(a-h, a+h)上可導(dǎo)(h0).證明:(1) $q(0,1)(a+h)-(a-h)=(a+q h)+(a-q h) h; (2)$q (0,1), (a+h)+(a-h)-2(a)=(a+ qh)-(a- qh) h2

36、.,45,習(xí)題二十一 (V),20. 設(shè)Ca, b在(a, b)上可導(dǎo). 證明: 如果不是一次多項(xiàng)式, 則$c(a,b), 使得|(c)|(b)-(a)|/(b-a). 21. 設(shè)在a, b上有二階導(dǎo)數(shù)且(b)=(a)=0. 證明: $c(a,b)使得|(c)|4|(b)-(a)|/(b-a)2. 22. 設(shè)Ca, b在(a, b)上可導(dǎo). 證明: (1)$c(a,b)使得2c(b)-(a)=(b2-a2) (c); (2)若a 0, $c(a,b)使得(b)-(a)=c(c) ln(b/a). 23. 設(shè)Ca, b在(a, b)上可導(dǎo)(ab0). 證明: c(a,b),46,習(xí)題二十一 (V

37、I),24.證明恒等式:(1)|x|1,2arctan x+arcsin2x/(1 +x2)=psgn(x);(2)|x|1/2,3arccosx-arcos(3x-4x3) =p. 25. 設(shè)在(a, +)上可導(dǎo)并且f(x)0 (x+). 證明: f(x) /x0 (x+). . 26. 設(shè)x=acos3t, y=a sin3t. (1) 計(jì)算 y(x); (2) 證明: 切線為坐標(biāo)軸所截線段有定常. 27. 對(duì)于曳物線: x=aln (tan t/2)+cos t, y=a sin t. (1) 計(jì)算 y(x); (2) 證明: 切點(diǎn)到切線與x軸的交點(diǎn)的距離為定值.,47,習(xí)題二十一 (V

38、II),28. 證明：雙紐線r2=a2cos 2q的向徑與切線間的夾角等于向徑極角的兩倍加p/2. 29. 證明下列不等式：(1) 當(dāng)x0時(shí), ex1+x; (2) 當(dāng)x0時(shí), x-x2/20時(shí), x-x3/60時(shí), (1+1/x)xe(1+1/x) x+1.,48,4不定式,不定式的含義 洛比塔法則(LHspital Rules),49,不定式的含義,不定式: 設(shè)當(dāng)xa時(shí), (x)l, g(x)l. 對(duì)于和: 若l與l中一個(gè)是+,一個(gè)是-, 則(x)+g(x)的極限是不能由極限運(yùn)算的算術(shù)性質(zhì)確定的; 對(duì)于乘積:若l與l中一個(gè)是,一個(gè)是0, 則(x)g(x)的極限是不能由極限運(yùn)算的算術(shù)性質(zhì)確定

39、的; 對(duì)于商:若l與l都是,或都是0,則(x)/g(x)的極限是不能由極限運(yùn)算的算術(shù)性質(zhì)確定的; 廣而言之, 凡其極限不能由構(gòu)成的兩(多)個(gè)函數(shù)的極限值直接由規(guī)則確定的式子叫做不定式.一般按極限值及其構(gòu)成方式分類(lèi). 常見(jiàn)的不定式: +-型, 0型, /型, 0/0型, 00型, 1型, 0型等. 上述這些常見(jiàn)不定式都可轉(zhuǎn)化成/型, 0/0型的討論.,50,洛比塔法則(LHspital Rules),這里只對(duì)xa- 討論, 其他類(lèi)型留做給學(xué)生自己完成. 洛比塔法則I. 設(shè),g在(a,a)上可微,(a-)=g(a-)=0, 而g在a附近不為0. 若(/g)(a-)存在, 則(/g)(a-)= (/

40、g)(a-). 證明: 定義(a)=g(a)=0. 余下只要應(yīng)用Cauchy中值定理就夠了. # 洛比塔法則II. 設(shè),g在(a,a)上可微,g(a-)= . 若(/g)(a-)存在, 則(/g)(a-)= (/g)(a-).,51,洛比塔法則II的證明,洛比塔法則II的證明: 這里只考慮(/g)(a-)=l有限的情形, 否則考慮g/. 任取e0, d0,使得當(dāng)0a-xd時(shí), |(x)/g(x)-l|e. 由恒等式, 其中a-dx0xa. 因此 這就得到了所要證明的結(jié)論. #,52,例題,1. xx1 (x0+ ); 2. (x-sin x)/x3 1/6, (x0); 3. (tan x-x)