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1、,八年級全等三角形輔助線的作法,紅安縣 馬井中學(xué) 楊勇,系列微課,八年級全等三角形輔助線的作法,第一講 截長補(bǔ)短法,紅安縣 馬井中學(xué) 楊勇,一、截長補(bǔ)短 一般地,當(dāng)所證結(jié)論為線段的和、差關(guān)系,且這兩條線段不在同一直線上時,通常可以考慮用截長補(bǔ)短的辦法:或在長線段上截取一部分使之與短線段相等;或?qū)⒍叹€段延長使其與長線段相等,分析:要證AB=AC+CD ,此三條線段都不在同一直線上 可以有截長和補(bǔ)短兩條思路。,E,E,證法1:延長AC到點(diǎn)E使得CE=CD,則E=CDE ACB=2E,又 ACB=2B B=E ,又AD平分BAC, 1=2 在ABD和AED中 B=E (已證) 1=2 (已知) AD
2、=AD(公共邊) ABDAED (AAS) AB=AE (全等三角形對應(yīng)邊相等) 又AE=AC+CE,CE=CD AB=AE=AC+CD, 即AB=AC+CD,F,F,證法2:在AB上截取AF=AC 由SAS易證AFDACD 則CD=FD, C=AFD, 又ACB=2B則AFD=2B 又AFD=B+ BDF BDF= B FD=FB AC=AF,FD=FB,FD=CD, AB=AF+FB=AC+CD, 即AB=AC+CD,練習(xí)1如圖1,在ABC中,ABC=60,AD、CE分別平分BAC、ACB 求證:AC=AE+CD,分析:要證AC=AE+CD,AE、CD不在同一直線上故在AC上截取AF=AE
3、, 則只要證明CF=CD,練習(xí)1如圖1,在ABC中,ABC=60,AD、CE分別平分BAC、ACB求證:AC=AE+CD,證明:在AC上截取AF=AE,連接OF AD、CE分別平分BAC、ACB,ABC=60 BAC+ACB+B=180 (三角形內(nèi)角和定理) 則 1+2=60(角平分線性質(zhì)), 4=6=1+2=60(三角形外角性質(zhì)) 顯然,AEOAFO(SAS), 5=4=60(全等三角形性質(zhì)), 7=180(4+5)=60(平角性質(zhì)) 在DOC與FOC中, 6=7=60(已證), 2=3(已證), OC=OC(公共邊) DOCFOC(ASA), CF=CD(全等三角形性質(zhì)) AC=AF+CF
4、=AE+CD(等量代換),注意:截長補(bǔ)短不僅適用于線段之間,也適用于角之間。一般地,當(dāng)所證結(jié)論為角的和、差關(guān)系,且這兩個角不在同一個頂點(diǎn)處時,通??梢钥紤]用截長補(bǔ)短的辦法:或在大角上截取一部分使之與一個小角相等;或?qū)⑿〗菙U(kuò)大使其與大角相等,?,?,謝謝觀賞,第一講 截長補(bǔ)短法,紅安縣 馬井中學(xué) 楊勇,八年級全等三角形輔助線的作法,第二講 中線倍長法,紅安縣 馬井中學(xué) 楊勇,二、中線倍長 三角形問題中涉及中線(中點(diǎn))時,將三角形中線延長一倍,構(gòu)造全等三角形是常用的解題思路,例3已知ABC中,AD是其BC邊上的中線。 (1)求證:|AB-AC|2ADAB+AC (2)已知三角形的兩邊長分別為7和5
5、,求第三邊上 的中線的取值范圍.,分析:從此不等式可以看出非常像三角形的三邊關(guān)系,因此我們需要構(gòu)造一個以 AB、AC及2AD為邊的三角形,所以我們就要加倍延長中線AD到點(diǎn)E使得 AE=2AD,連接BE,若證得BE=AC,則問題得證。第(2)問則根據(jù)第一問的 關(guān)系可以直接寫出AD的范圍。,(1)證明:如圖所示,延長AD至E,使DE = AD AD是BC邊上的中線, BD=CD 又ADC=EDB(對頂角相等) ADCEDB(SAS) BE=AC (全等三角形性質(zhì)) 在ABE中|AB-AC|AEAB+AC(三角形三邊關(guān)系性質(zhì)定理) 即|AB-AC|2ADAB+AC (2)解:由(1)知 7-52AD
6、7+5 1AD6,例3已知ABC中,AD是其BC邊上的中線。 (1)求證:|AB-AC|2ADAB+AC (2)已知三角形的兩邊長分別為7和5,求第三邊上 的中線的取值范圍.,練習(xí)3.已知:如圖ABC中,CD=AB, BAD=BDA,AE是其BD邊上的中線。 求證:AC=2AE,例4已知:如圖點(diǎn)E 是BC 的中點(diǎn),BAE=CDE. 求證:AB=CD,DE后,,證明:如圖所示,延長DE至F,使DE = EF 則易證DECFEB(SAS) DC=BF, D=F (全等三角形性質(zhì)) 又D=BAE BAE =F AB=BF 又 DC=BF AB=CD,例4已知:如圖點(diǎn)E 是BC 的中點(diǎn),BAE=CDE. 求證:AB=CD,小結(jié):在證明三角形全等時,有時需添加輔助線,證明全等時常見的兩種輔助線 1.截長補(bǔ)短:當(dāng)所證結(jié)論為線段的和、差關(guān)系,且這兩條線段不在同一直線上時,通??梢钥紤]用截長補(bǔ)短的辦法;當(dāng)所證結(jié)論為角的和、差關(guān)系,且這兩個角不在同一個頂點(diǎn)處時,通??梢钥紤]用截長補(bǔ)短的辦法:或在大角上截取一部分
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