數(shù)學(xué)人教版八年級上冊三角形輔助線的作法之中線倍長法.pptx

1、,八年級全等三角形輔助線的作法,紅安縣 馬井中學(xué) 楊勇,系列微課,八年級全等三角形輔助線的作法,第一講 截長補(bǔ)短法,紅安縣 馬井中學(xué) 楊勇,一、截長補(bǔ)短 一般地，當(dāng)所證結(jié)論為線段的和、差關(guān)系，且這兩條線段不在同一直線上時，通常可以考慮用截長補(bǔ)短的辦法：或在長線段上截取一部分使之與短線段相等；或?qū)⒍叹€段延長使其與長線段相等,分析：要證AB=AC+CD ，此三條線段都不在同一直線上 可以有截長和補(bǔ)短兩條思路。,E,E,證法1：延長AC到點(diǎn)E使得CE=CD,則E=CDE ACB=2E,又 ACB=2B B=E ,又AD平分BAC, 1=2 在ABD和AED中 B=E （已證） 1=2 （已知） AD

2、=AD（公共邊） ABDAED （AAS） AB=AE （全等三角形對應(yīng)邊相等） 又AE=AC+CE,CE=CD AB=AE=AC+CD, 即AB=AC+CD,F,F,證法2：在AB上截取AF=AC 由SAS易證AFDACD 則CD=FD, C=AFD, 又ACB=2B則AFD=2B 又AFD=B+ BDF BDF= B FD=FB AC=AF,FD=FB,FD=CD, AB=AF+FB=AC+CD, 即AB=AC+CD,練習(xí)1如圖1，在ABC中，ABC=60，AD、CE分別平分BAC、ACB 求證：AC=AE+CD,分析：要證AC=AE+CD，AE、CD不在同一直線上故在AC上截取AF=AE

3、， 則只要證明CF=CD,練習(xí)1如圖1，在ABC中，ABC=60，AD、CE分別平分BAC、ACB求證：AC=AE+CD,證明：在AC上截取AF=AE，連接OF AD、CE分別平分BAC、ACB，ABC=60 BAC+ACB+B=180 （三角形內(nèi)角和定理） 則 1+2=60（角平分線性質(zhì)）， 4=6=1+2=60（三角形外角性質(zhì)） 顯然，AEOAFO（SAS）， 5=4=60(全等三角形性質(zhì))， 7=180（4+5）=60（平角性質(zhì)） 在DOC與FOC中， 6=7=60（已證）， 2=3(已證)， OC=OC（公共邊） DOCFOC（ASA）， CF=CD（全等三角形性質(zhì)） AC=AF+CF

4、=AE+CD（等量代換）,注意：截長補(bǔ)短不僅適用于線段之間，也適用于角之間。一般地，當(dāng)所證結(jié)論為角的和、差關(guān)系，且這兩個角不在同一個頂點(diǎn)處時，通?？梢钥紤]用截長補(bǔ)短的辦法：或在大角上截取一部分使之與一個小角相等；或?qū)⑿〗菙U(kuò)大使其與大角相等,？,？,謝謝觀賞,第一講 截長補(bǔ)短法,紅安縣 馬井中學(xué) 楊勇,八年級全等三角形輔助線的作法,第二講 中線倍長法,紅安縣 馬井中學(xué) 楊勇,二、中線倍長 三角形問題中涉及中線（中點(diǎn)）時，將三角形中線延長一倍，構(gòu)造全等三角形是常用的解題思路,例3已知ABC中，AD是其BC邊上的中線。 (1)求證：|AB-AC|2ADAB+AC (2)已知三角形的兩邊長分別為7和5

5、，求第三邊上 的中線的取值范圍.,分析：從此不等式可以看出非常像三角形的三邊關(guān)系，因此我們需要構(gòu)造一個以 AB、AC及2AD為邊的三角形，所以我們就要加倍延長中線AD到點(diǎn)E使得 AE=2AD,連接BE，若證得BE=AC,則問題得證。第（2）問則根據(jù)第一問的 關(guān)系可以直接寫出AD的范圍。,（1）證明：如圖所示，延長AD至E，使DE = AD AD是BC邊上的中線， BD=CD 又ADC=EDB（對頂角相等） ADCEDB（SAS） BE=AC (全等三角形性質(zhì)) 在ABE中|AB-AC|AEAB+AC（三角形三邊關(guān)系性質(zhì)定理） 即|AB-AC|2ADAB+AC (2)解：由（1）知 7-52AD

6、7+5 1AD6,例3已知ABC中，AD是其BC邊上的中線。 (1)求證：|AB-AC|2ADAB+AC (2)已知三角形的兩邊長分別為7和5，求第三邊上 的中線的取值范圍.,練習(xí)3.已知:如圖ABC中，CD=AB, BAD=BDA,AE是其BD邊上的中線。 求證：AC=2AE,例4已知：如圖點(diǎn)E 是BC 的中點(diǎn)，BAE=CDE. 求證：AB=CD,DE后，,證明：如圖所示，延長DE至F，使DE = EF 則易證DECFEB(SAS) DC=BF, D=F (全等三角形性質(zhì)) 又D=BAE BAE =F AB=BF 又 DC=BF AB=CD,例4已知：如圖點(diǎn)E 是BC 的中點(diǎn)，BAE=CDE. 求證：AB=CD,小結(jié)：在證明三角形全等時，有時需添加輔助線，證明全等時常見的兩種輔助線 1.截長補(bǔ)短：當(dāng)所證結(jié)論為線段的和、差關(guān)系，且這兩條線段不在同一直線上時，通?？梢钥紤]用截長補(bǔ)短的辦法；當(dāng)所證結(jié)論為角的和、差關(guān)系，且這兩個角不在同一個頂點(diǎn)處時，通?？梢钥紤]用截長補(bǔ)短的辦法：或在大角上截取一部分