第3章 第1節(jié) 二維隨機(jī)向量的分布.ppt

1、1,第三章,隨機(jī)向量,2,到現(xiàn)在為止，我們只討論了一維隨機(jī)變量及其分布. 但有些 隨機(jī)現(xiàn)象用一個(gè)隨機(jī)變量來(lái) 描述還不夠，而需要用幾個(gè)隨機(jī)變量來(lái)描述.,在打靶時(shí), 命中點(diǎn)的位置是由一對(duì)隨機(jī)變量(兩個(gè)坐標(biāo))來(lái)確定的.,飛機(jī)的重心在空中的位置是由三個(gè)隨機(jī)變量(三個(gè)坐標(biāo)）來(lái)確定的, 等等.,3,二維隨機(jī)向量的分布,第一節(jié),4,定義 一般地，我們稱n個(gè)隨機(jī)變量的整體X=(X1, X2, ，Xn)為n 維隨機(jī)向量 .,由于從二維推廣到多維一般無(wú)實(shí)質(zhì)性的困難，為簡(jiǎn)單起見，我們重點(diǎn)討論二維隨機(jī)向量 .,請(qǐng)注意與一維情形的對(duì)照 .,5,一、二維隨機(jī)向量的聯(lián)合分布函數(shù),二維隨機(jī)向量（X,Y）,X 和Y 的聯(lián)合分布

2、函數(shù),X 的分布函數(shù),一維隨機(jī)變量 X,6,7,二維隨機(jī)變量分布函數(shù)的基本性質(zhì),8,邊緣分布,即,同理,邊緣分布函數(shù)與聯(lián)合分布函數(shù)的關(guān)系,二維隨機(jī)向量 (X, Y ) 作為一個(gè)整體, 用聯(lián)合分布來(lái)刻畫. 而 X 和Y 都是一維隨機(jī)變量, 各有自己的分布, 稱為邊緣分布.,9,設(shè)二維隨機(jī)向量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為,例1,則邊緣分布函數(shù)為,稱該分布為二維指數(shù)分布,其中參數(shù),10,說明：聯(lián)合分布可以唯一確定邊緣分布，但是邊緣分布一般不能唯一確定聯(lián)合分布. 也即，二維隨機(jī)向量的性質(zhì)一般不能由它的分量的個(gè)別性質(zhì)來(lái)確定，還要考慮分量之間的聯(lián)系，這也說明了研究多維隨機(jī)向量的作用 .,邊緣分布與參數(shù)無(wú)關(guān)

3、.,11,二、聯(lián)合分布,則稱二維表,為(X,Y)的聯(lián)合分布律.,1.離散型,12,13,例2 袋中有兩只白球 3只黑球，放回摸球兩次，定義 X 為第一次摸得的白球數(shù)，Y 為第二次摸得的白球數(shù)，求(X,Y)的聯(lián)合分布律.,解,14,解,例2 袋中有兩只白球 3只黑球，放回摸球兩次，定義 X 為第一次摸得的白球數(shù)，Y 為第二次摸得的白球數(shù)，求(X,Y)的聯(lián)合分布律.,15,若改為不放回摸球，則(X,Y)的聯(lián)合分布律為,比較：有放回摸球：,16,例3,解,由于,所以,17,故(X,Y)的聯(lián)合概率分布為,18,2.連續(xù)型,19,面上的一個(gè)區(qū)域.,20,設(shè)G是平面上的有界區(qū)域, 其面積為A. 若二維隨機(jī)

4、向量( X,Y )具有概率密度,則稱( X,Y )在G上服從均勻分布.,若( X,Y)服從區(qū)域G上的均勻分布, 則對(duì)于G中任一子區(qū)域 D, 有,二維均勻分布,21,于是( X,Y )落在G中任一子區(qū)域 D 的概率與 D 的面積成正比, 而與 D的形狀和位置無(wú)關(guān). 在這個(gè)意義上我們說,服從某區(qū)域上均勻分布的二維隨機(jī)向量在該區(qū)域內(nèi)是“等可能”的.,22,例4 設(shè)二維隨機(jī)向量(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為,解,(1) 由規(guī)范性,23,24,25,例5 設(shè)二維隨機(jī)向量(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為,解,(1) 由規(guī)范性,26,27,28,三、邊緣分布,1.離散型,設(shè)( X,Y )是離散型二維隨機(jī)變量，聯(lián)合分布

5、律為,則邊緣分布為,記作,29,袋中有兩只白球3只黑球，有放回 摸 球 兩次，定義X為第一次摸得的白球數(shù)，Y為第二次摸得的白球數(shù)，則(X,Y)的聯(lián)合分布律為,例6,Y的邊緣分布,X的邊緣分布,所以X 和Y 的邊緣分布律分別為,30,邊緣分布為,與放回的情況比較，,但邊緣分布卻完全相同.,兩者的聯(lián)合分布完全不同，,若改為不放回摸球，則(X,Y)的聯(lián)合分布律為,31,由聯(lián)合分布可以確定邊緣分布；,但由邊緣分布一般不能確定聯(lián)合分布.,再次說明聯(lián)合分布和邊緣分布的關(guān)系:,32,2.連續(xù)型,設(shè)( X,Y )是連續(xù)型二維隨機(jī)變量，聯(lián)合密度函數(shù)為,由于,所以 (X,Y) 關(guān)于 X 的邊緣密度函數(shù)為,同理,

6、關(guān)于Y 的邊緣密度函數(shù)為,33,求 (1) c 的值；(2) 兩個(gè)邊緣密度；,解 (1),設(shè) (X, Y ) 的概率密度是,例7,34,(2),所以,35,(2),所以,36,37,例8,解,隨機(jī)向量(X,Y)的密度概率為,其他,38,其他,二維均勻分布的邊緣分布不一定是一維均勻分布.,例8,解,隨機(jī)向量(X,Y)的密度概率為,39,即(X,Y)服從單位圓,上的均勻分布.,例9 設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為,求 X 及Y 的邊緣密度.,解,邊緣密度為,類似地,40,四、隨機(jī)變量的獨(dú)立性,隨機(jī)變量的獨(dú)立性是概率論中的一個(gè)重要概念.,兩事件A, B獨(dú)立的定義是： 若P(AB)=P(A)P(

7、B) 則稱事件A, B獨(dú)立 .,設(shè) X, Y是兩個(gè)隨機(jī)變量，若對(duì)任意的 x, y ,則稱 X, Y 相互獨(dú)立 .,41,上式用分布函數(shù)表示,即,情形1 ( X,Y )是離散型隨機(jī)變量，則 X, Y 相互獨(dú)立的定義等價(jià)于,42,例10 袋中有兩只白球3只黑球，摸球兩次，定義 X為第一次摸得的白球數(shù)，Y為第二次摸得的白球數(shù)，則有放回和不放回時(shí)(X,Y)的聯(lián)合分布和邊緣分布分別為,經(jīng)驗(yàn)證，放回時(shí)，X與Y相互獨(dú)立；不放回時(shí)，不獨(dú)立.,43,例11 設(shè)(X,Y )的聯(lián)合分布律為,且X與Y 相互獨(dú)立，試求 和 .,又由分布律的性質(zhì), 有,解,由X與Y 相互獨(dú)立，知,44,解,例12 假設(shè)隨機(jī)變量 X 和

8、Y 相互獨(dú)立，都服從參數(shù)為 p(0p1)的 0-1分布，隨機(jī)變量,問 p 取何值時(shí)，X 和 Z 相互獨(dú)立？,首先求出 Z 的概率分布：,因?yàn)閄 和Y相互獨(dú)立,45,令,所以 p 取0.5時(shí)，X 和 Z 相互獨(dú)立.,46,情形2 ( X,Y )是連續(xù)型隨機(jī)變量，則 X, Y 相互獨(dú)立的定義等價(jià)于,在平面上幾乎處處成立 .,解,例13 設(shè)(X,Y )的聯(lián)合密度函數(shù)為,問X與Y是否相互獨(dú)立？,X, Y 的邊緣密度分別為,成立，所以X, Y相互獨(dú)立.,47,解,例14 設(shè)(X,Y )的聯(lián)合密度函數(shù)為,問 X與Y是否相互獨(dú)立？,X, Y的邊緣密度分別為,所以 X, Y 不相互獨(dú)立.,48,上的均勻分布，

9、判斷X與Y是否相互獨(dú)立.,例15 設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)服從單位圓,解,X與Y 的邊緣密度分別為,所以X, Y 不相互獨(dú)立.,49,二維隨機(jī)向量的函數(shù)的分布,1.離散型,設(shè)隨機(jī)向量(X,Y )的聯(lián)合分布律為,50,例16 設(shè)隨機(jī)變量(X,Y )的聯(lián)合分布律為,解,分別求X+Y、X 2+Y 2、min(X,Y )的分布律.,51,52,證,所以,例17,此性質(zhì)稱為泊松分布的可加性,53,2.連續(xù)型,主要討論和的情況.,設(shè) X 和Y 的聯(lián)合密度為 f (x, y), 求 Z =X+Y 的密度.,Z =X+Y的分布函數(shù)是:,兩邊關(guān)于z 求導(dǎo)，則得 Z 的密度函數(shù)為,54,由 X 和Y 的對(duì)稱性, fZ (z)又可寫成,特別，當(dāng) X 和Y 獨(dú)立，設(shè)( X ,Y )關(guān)于X, Y 的邊緣密度分別為fX(x) , fY(y) , 則上述兩式化為:,這兩個(gè)公式稱為卷積公式, 記為 .,55,例18 設(shè) X, Y 相互獨(dú)立且均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 , 求 Z =X+Y 的概率密度 .,由卷積公式,有,解,56,用類似的方法可以證明:,若X 和Y 獨(dú)立,若 X 和 Y 獨(dú)立, 具有相同的分布 N(0, 1) , 則 Z =X+Y 服從正態(tài)分布 N(0, 2) .,即有限個(gè)獨(dú)立正