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1、.二項(xiàng)式定理1二項(xiàng)式定理:,2基本概念:二項(xiàng)式展開式:右邊的多項(xiàng)式叫做的二項(xiàng)展開式。二項(xiàng)式系數(shù):展開式中各項(xiàng)的系數(shù).項(xiàng)數(shù):共項(xiàng),是關(guān)于與的齊次多項(xiàng)式通項(xiàng):展開式中的第項(xiàng)叫做二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)。用表示。3注意關(guān)鍵點(diǎn):項(xiàng)數(shù):展開式中總共有項(xiàng)。順序:注意正確選擇,其順序不能更改。與是不同的。指數(shù):的指數(shù)從逐項(xiàng)減到,是降冪排列。的指數(shù)從逐項(xiàng)減到,是升冪排列。各項(xiàng)的次數(shù)和等于.系數(shù):注意正確區(qū)分二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù),二項(xiàng)式系數(shù)依次是項(xiàng)的系數(shù)是與的系數(shù)(包括二項(xiàng)式系數(shù))。4常用的結(jié)論:令 令 5性質(zhì):二項(xiàng)式系數(shù)的對(duì)稱性:與首末兩端“對(duì)距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等,即,二項(xiàng)式系數(shù)和:令,則二項(xiàng)式系數(shù)的和為,

2、變形式。奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和=偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和:在二項(xiàng)式定理中,令,則,從而得到:奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和:二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng):如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是偶數(shù)時(shí),則中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)取得最大值。 如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是奇數(shù)時(shí),則中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù),同時(shí)取得最大值。系數(shù)的最大項(xiàng):求展開式中最大的項(xiàng),一般采用待定系數(shù)法。設(shè)展開式中各項(xiàng)系數(shù)分別為,設(shè)第項(xiàng)系數(shù)最大,應(yīng)有,從而解出來(lái)。6二項(xiàng)式定理的十一種考題的解法:題型一:二項(xiàng)式定理的逆用;例:解:與已知的有一些差距, 練:解:設(shè),則題型二:利用通項(xiàng)公式求的系數(shù);例:在二項(xiàng)式的展開式中倒數(shù)第項(xiàng)的系數(shù)為,求含有的項(xiàng)的系數(shù)?解:由條件知,即,解得,由

3、,由題意,則含有的項(xiàng)是第項(xiàng),系數(shù)為。練:求展開式中的系數(shù)?解:,令,則故的系數(shù)為。題型三:利用通項(xiàng)公式求常數(shù)項(xiàng);例:求二項(xiàng)式的展開式中的常數(shù)項(xiàng)?解:,令,得,所以練:求二項(xiàng)式的展開式中的常數(shù)項(xiàng)?解:,令,得,所以練:若的二項(xiàng)展開式中第項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng),則解:,令,得.題型四:利用通項(xiàng)公式,再討論而確定有理數(shù)項(xiàng);例:求二項(xiàng)式展開式中的有理項(xiàng)?解:,令,()得,所以當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),。題型五:奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和=偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和;例:若展開式中偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和為,求.解:設(shè)展開式中各項(xiàng)系數(shù)依次設(shè)為 ,則有,,則有 將-得: 有題意得,。練:若的展開式中,所有的奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為,求它的中間項(xiàng)。解:,解得 所以

4、中間兩個(gè)項(xiàng)分別為,題型六:最大系數(shù),最大項(xiàng);例:已知,若展開式中第項(xiàng),第項(xiàng)與第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列,求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)的系數(shù)是多少?解:解出,當(dāng)時(shí),展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是,當(dāng)時(shí),展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是,。練:在的展開式中,二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是多少?解:二項(xiàng)式的冪指數(shù)是偶數(shù),則中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,即,也就是第項(xiàng)。練:在的展開式中,只有第項(xiàng)的二項(xiàng)式最大,則展開式中的常數(shù)項(xiàng)是多少?解:只有第項(xiàng)的二項(xiàng)式最大,則,即,所以展開式中常數(shù)項(xiàng)為第七項(xiàng)等于例:寫出在的展開式中,系數(shù)最大的項(xiàng)?系數(shù)最小的項(xiàng)?解:因?yàn)槎?xiàng)式的冪指數(shù)是奇數(shù),所以中間兩項(xiàng)()的二項(xiàng)式系數(shù)相等,且同時(shí)取得最大

5、值,從而有的系數(shù)最小,系數(shù)最大。例:若展開式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于,求的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)?解:由解出,假設(shè)項(xiàng)最大,化簡(jiǎn)得到,又,展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為,有練:在的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是多少?解:假設(shè)項(xiàng)最大,化簡(jiǎn)得到,又,展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為題型七:含有三項(xiàng)變兩項(xiàng);例:求當(dāng)?shù)恼归_式中的一次項(xiàng)的系數(shù)?解法:,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),的展開式中才有x的一次項(xiàng),此時(shí),所以得一次項(xiàng)為它的系數(shù)為。解法: 故展開式中含的項(xiàng)為,故展開式中的系數(shù)為240.練:求式子的常數(shù)項(xiàng)?解:,設(shè)第項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng),則,得, .題型八:兩個(gè)二項(xiàng)式相乘;例:解: .練:解:.練:解:題型九:奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和;例:解:題型十:賦值法;例:設(shè)二項(xiàng)式的展開式的各項(xiàng)系數(shù)的和為,所有二項(xiàng)式系數(shù)的和為,若,則等于多少?解:若,有, 令得,又,即解得,.練:若的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為,則展開式

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