線性代數(shù)復(fù)習(xí)講義.ppt

1、1,線性代數(shù)復(fù)習(xí)講義, 吉林大學(xué)珠海學(xué)院,2,第一講 行列式,一 排列與逆序數(shù)（P4） 級排列，逆序，逆序數(shù)的概念； 二 行列式概念(P4) 定義,三 余子式，代數(shù)余子式的概念；(P15),3,三 行列式的性質(zhì)（P7-9） 計(jì)算行列式的理論依據(jù)。 四 展開定理(P15),4,五 方陣的行列式（P48）,設(shè)A,B是階n方陣，k為實(shí)數(shù)，則有下列結(jié)論：,5,六 行列式的計(jì)算,計(jì)算依據(jù)： 1.行列式性質(zhì) 2.展開定理 注意事項(xiàng)： 要在審題方面多花工夫，根據(jù)行列式元素的規(guī)律確定計(jì)算方法，切忌拿到題匆匆忙忙地盲目計(jì)算。,6,第二講 矩陣,一 矩陣的概念 矩陣的概念，以及對角矩陣，數(shù)量矩陣，單位矩陣，三角矩

2、陣，對稱矩陣 ，反對稱陣 ，正交矩陣 ，伴隨矩陣，分塊矩陣等特殊矩陣的概念。 相關(guān)結(jié)論： 1.對稱矩陣的行列式等于其轉(zhuǎn)置矩陣的行列式。 2.奇數(shù)階反對稱矩陣的行列式為零。（P12之例2）,7,二 矩陣的運(yùn)算,加法，減法，數(shù)乘，乘法，轉(zhuǎn)置 三 運(yùn)算律：散見于P38-45.重點(diǎn)記憶以下算律 1. 2. 3.,8,四 逆矩陣,1.定義(P50) 2.性質(zhì)(P50-51): 3.計(jì)算方法： （1）初等變換法: （2）公式法: （3）定義法:對于矩陣A,尋找矩陣B,使得 AB=E或BA=E,9,五 矩陣的初等變換與初等矩陣,1.初等變換（三類）：P53定義1 2.初等矩陣（三類）：P54定義2 3.初等

3、矩陣與初等變換之間的關(guān)系：P55定理1 典型例題：P64作業(yè)1,10,第三講 向量組,一 若干概念 1.n維行向量， n維列向量。 2.向量內(nèi)積: 3.向量長度: 4.向量正交: 5.正交向量組和規(guī)范正交向量組 6.Schmidt正交化方法：P140,11,二 向量組線性相關(guān)性的概念與原理,1.線性相關(guān)和線性無關(guān)的定義：P84 2.線性組合或線性表示的定義：P86 3.判斷 是否線性相關(guān)的方法： （1） 最簡梯矩陣 （2）若 線性相關(guān)（無關(guān)），則 也線性相關(guān)（無關(guān)）。 4.向量組線性相關(guān)性的若干結(jié)論：P87-91；定理1-4及其推論。例如： 包含零向量的向量組線性相關(guān)； 線性無關(guān)向量組的擴(kuò)展組

4、線性無關(guān)； 分量對應(yīng)成比例的兩個(gè)向量線性相關(guān)；,12,三 向量組的極大無關(guān)組和秩,1.極大無關(guān)組和秩的概念（P93和P95） 2.求極大無關(guān)組和秩的方法： （1） 最簡梯矩陣 （2） 的極大無關(guān)組所對應(yīng)的 的部分組即為 的極大無關(guān)組。 （3）極大無關(guān)組所包含的向量個(gè)數(shù)即為向量組的秩。 典型例題：P94例1,13,第四講 線性方程組,一 線性方程組的解的判定 1.對于齊次方程組 ，有 當(dāng) 時(shí)，方程組僅有零解。 當(dāng) 時(shí)，方程組有非零解。 2.對于非齊次方程組 ，有 當(dāng) 時(shí)，方程組有解。 當(dāng) 時(shí)，方程組無解。,14,二 線性方程組解的性質(zhì),P112之命題1；P120之命題1; 三 線性方程組解的結(jié)構(gòu)

5、 P114之定理1；P120之定理1，2；,15,第五講 方陣的對角化,一 矩陣的特征值和特征向量 1.特征值和特征向量的定義（P127） 2.特征值和特征向量的求法： （1）解特征方程 ，得到 的全部特征根。 （2）解方程組 ，得到其基礎(chǔ)解系，即為 的屬于 的線性無關(guān)特征向量，而它們的線性組合即為 的屬于 的全部特征向量。 3.結(jié)論：設(shè) ， 為其特征根，則,16,二 相似矩陣 1.定義（P132） 2.性質(zhì)（P132命題2） 三 方陣可對角化的條件： P132定理1，P133推論，P135定理2.,17,四 一般矩陣 對角化的方法: (1)求出 的全部特征根和全部線性無關(guān)的 特征向量。 (2)以全部線性無關(guān)特征向量為列向量構(gòu)造可逆矩陣 ,以全部特征值為主對角元構(gòu)造對角陣 ，則,18,五 實(shí)對稱矩陣的對角化方法,(1)求出 的全部特征根和全部線性無關(guān)的特征向量。 (2)把特征向量分別規(guī)范正交化。 (3)以全部規(guī)范正交化過的線性無關(guān)特征向量為列向量構(gòu)造正交矩陣 ,以全部特征值為主對角元構(gòu)造對角陣 ，則,19,第六講 二次型,一 二次型 1.二次型與其系數(shù)矩陣:P153 2.線性變換：P154,20,二 化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法,1.找到正交矩陣 和對角陣 ，使