拋物線焦點弦的性質(zhì)

1、2.4.2,拋物線的幾何性質(zhì),復習回顧,2,1.,拋物線,y,2px,（,p,0,）的范圍、,對稱性、頂點、離心率、焦半徑分別是,什么？,范圍：x0，yR；,對稱性：關(guān)于,x,軸對稱；,頂點：原點；,離心率：,e,1,；,p,|,MF,|,=,x,0,+,.,焦半徑：,2,問題提出,過拋物線的焦點,F,作直線交拋,物線于,A,、,B,兩點，線段,AB,叫做,拋物,線的焦點弦,，請你探究焦點弦具有,y,哪些性質(zhì),.,A,O,B,F,x,探求新知,設(shè),AB,為,焦點弦,.,點,A(x,1,，,y,1,),，,B(x,2,，,y,2,),1,、焦點弦,AB,的長如何計算？,y,A,F,x,|AB|,

2、x,1,x,2,p,O,B,探求新知,2,、拋物線的焦點弦,AB,的長是否存,在最小值？若存在，其最小值為,O,多少？,y,F,A,x,B,垂直于對稱軸的焦點弦最短，叫做拋,物線的,通徑,，其長度為,2p,探求新知,3,、,A,、,B,兩點的坐標是否存在相關(guān)關(guān),系？若存在，其坐標之間的關(guān)系如,y,何？,A,O,B,2,F,x,2,p,y,1,y,2,=,-,p,x,1,x,2,=,4,探求新知,4,、利用焦半徑公式，,|AF|,|BF|,可作,哪些變形？,|AF|,與,|BF|,之間存在什么,y,A,內(nèi)在聯(lián)系？,O,B,F,x,1,1,2,+,=,|,A,F,|,|,BF,|,p,探求新知,5

3、,、由焦點弦長公式,|,A,B,|,x,1,+,x,2,p,=,+,，,得,2,2,2,O,y,A,F,B,x,這個等式的幾何意義是什么？,以,AB,為直徑的圓與,拋物線的準線相切,.,探求新知,6,、過點,A,、,B,作準線的垂線，垂足分,別為,C,、,D,，則,ACF,和,BDF,都是等腰,三角形，那么CFD的大小如何？,C,l,y,A,.,90,K,O,D,F,x,即以,CD,為直徑的圓與,AB,相切于,F.,B,探求新知,7,、過點,A,、,B,作準線的垂線，垂足分,別為,C,、,D,，,A,、,O,、,D,三點共線嗎？,y,C,A,O,D,F,B,x,證明,k,OA,?,k,OD,探

4、求新知,8,、若直線,AO,交準線于,D,，,DB,與,X,軸平行嗎？,y,A,O,D,B,F,x,證明,y,D,?,y,B,探求新知,9,、設(shè)點,M,為拋物線準線與,x,軸的交點，,則AMF與BMF的大小關(guān)系如何？,A,1,y,A,M,O,B,1,相等,F,B,x,證明,k,AM,?,?,k,BM,形成結(jié)論,過拋物線,y,2,=2px,的焦點,F,作直線交拋物線于,A,、,B,兩點，焦點弦,AB,具有如下性質(zhì),.,2,p,?,1,?,AB,?,x,1,?,x,2,?,p,?,2,;,sin,?,?,2,?,AB,有最小值,為通徑長,2p;,p,?,3,?,y,1,y,2,?,?,p,x,1,

5、x,2,?,;,4,1,1,2,?,?,;,?,4,?,AF,BF,p,2,2,y,A,D,M,C,O,B,F,x,?,5,?,以,AB,為直徑的圓與拋物線的準線相切,;,?,6,?,?,AMF,?,?,BMF,?,7,?,?,DFC,?,90,?,過拋物線,y,?,4,x,的焦點作直線交拋物線于,A,(,x,1,y,1,),，,B,(,x,2,y,2,),兩點若,x,1,?,x,2,?,6,，則,|AB|= _,8,過拋物線,y,24,為,_,；一條焦點弦長為,16,，則弦所在的直線傾斜,?,2,角為,_,或,?,3,3,2,2,3,?,12,x,的焦點作傾斜角為,?,的弦，則此弦長,4,焦

6、點弦長,|,AB,|,?,x,1,?,x,2,?,p,2,p,焦點弦長,|,AB,|,?,(,其中,?,為直線,AB,與對稱軸的夾角）,2,sin,?,m,2,過拋物線,y,?,2,px,(,p,?,0,),的對稱軸上有一點,M (p, 0),，,作一條直線與拋物線交于,A,、,B,兩點，若,A,點縱坐標為,p,?,，則,B,點縱坐標為,_,4p,2,2,p,?,y,?,k,(,x,?,p,),2,2,2,由,?,2,?,y,?,y,?,2,p,?,0,?,y,1,y,2,?,?,2,p,k,?,y,?,2,px,例題講解,例,1,過拋物線焦點,F,的直線交拋物線于,A,、,B,兩點，過點,A

7、,和拋物線頂點的直線交拋物,線的準線于點,C,，求證：直線,BC,平行于拋,物線的對稱軸,.,y,A,O,F,C,B,x,例題講解,解,:,設(shè),A,?,x,1,y,1,?,B,?,x,2,y,2,?,則,y,1,2,p,直線,OA,的方程為,y,?,x,?,x,x,1,y,1,p,p,令,x,?,?,則,y,C,?,?,2,y,1,又,y,1,y,2,?,?,p,?,?,?,2,2,2,2,y,O,F,C,B,A,x,p,p,?,y,C,?,?,?,?,?,y,2,2,p,y,1,?,y,2,?,BC,P,X,軸,例題講解,例,2,:,設(shè),A,B,是拋物線,y,=,2px,?,p,0,?,上的

8、兩點,且,2,滿足,OA,OB,?,O,為坐標原點,?,求證,:,直線,AB,經(jīng)過一個定點,.,y,O,A,x,B,例題講解,解,:,如圖,設(shè),OA,的方程是,y,?,kx,?,k,?,0,?,則因,OA,?,OB,1,故可設(shè),OB,的方程為,y=-,x,.,k,y,A,?,y,?,kx,?,2,p,2,p,?,由,?,2,得,A,的坐標,?,2,?,O,k,?,?,k,?,y,?,2,px,1,?,?,y,?,?,x,2,由,?,k,得,B,的坐標,?,2,pk,?,2,pk,?,B,?,y,2,?,2,px,?,2,p,2,p,y,?,x,?,2,k,k,由兩點式,得,AB,的方程為,:,?,2,p,2,p,2,?,2,pk,?,2,pk,?,2,k,k,x,例題講解,2,p,k,?,2,p,?,整理,得,AB,的方程為,:,y,?,?,x,?,2,?,2,?,k,1,?,k,?,k,?,2,p,k,2,p,AB,的方程為,:,y,?,?,x,?,2,2,k,1,?,k,k,?,1,?,k,?,k,2,p,2,p,y,?,x,?,?,2,2,1,?,k,k,?,1,?,k,?,k,k,y,?,x,?,2,p,?,?,2,1,?,k,?,直線,AB,經(jīng)過一個定點,?,2p,0,?,.,課堂小結(jié),1