5.D10_習題課

1、,習題課,一、 重積分計算的基本方法,二、重積分計算的基本技巧,三、重積分的應(yīng)用,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,第十章,重積分的 計算 及應(yīng)用,一、重積分計算的基本方法,1. 選擇合適的坐標系,使積分域多為坐標面(線)圍成;,被積函數(shù)用此坐標表示簡潔或變量分離.,2. 選擇易計算的積分序,積分域分塊要少, 累次積分易算為妙 .,圖示法,列不等式法,(從內(nèi)到外: 面、線、點),3. 掌握確定積分限的方法, 累次積分法,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,1. 計算二重積分,其中D 為圓周,所圍成的閉區(qū)域.,提示: 利用極坐標,原式,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2. 把積分,化為三次

2、積分,其中由曲面,提示: 積分域為,原式,及平面,所圍成的閉區(qū)域 .,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,3. 計算積分,其中是兩個球,( R 0 )的公共部分.,提示: 由于被積函數(shù)缺 x , y ,原式 =,利用“先二后一” 計算方便 .,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,4. 計算三重積分,其中是由,xoy平面上曲線,所圍成的閉區(qū)域 .,提示: 利用柱坐標,原式,繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面與平面,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,5.,計算積分,其中D 由,所圍成 .,提示:如圖所示,連續(xù),所以,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,二、重積分計算的基本技巧,分塊積分法,利用對稱性,1.

3、 交換積分順序的方法,2. 利用對稱性或重心公式簡化計算,3. 消去被積函數(shù)絕對值符號,4. 利用重積分換元公式,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,證明:,提示: 左端積分區(qū)域如圖,交換積分順序即可證得.,1.,2.,其中是,所圍成的閉區(qū)域 ，f 連續(xù)。,提示: 被積函數(shù)在對稱域 上關(guān)于 x 為奇函數(shù) ,利用對稱性可知原式為 0.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,由球面,3. 在均勻的半徑為R的圓形薄片的直徑上 , 要接上一,個一邊與直徑等長的同樣材料的均勻矩形薄片,使整個,的另一邊長度應(yīng)為多少?,提示: 建立坐標系如圖.,由對稱性知,由此解得,問接上去的均勻矩形薄片,即有,薄片的重心恰

4、好落在圓心上 ,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例1. 計算二重積分,其中:,(1) D為圓域,(2) D由直線,解: (1) 利用對稱性.,圍成 .,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,(2) 積分域如圖:,將D 分為,添加輔助線,利用對稱性 , 得,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例2. 計算二重積分,其中D 是由曲,所圍成的平面域 .,解:,其形心坐標為:,面積為:,積分區(qū)域,線,形心坐標,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例3. 計算二重積分,在第一象限部分.,解: (1),兩部分, 則,其中D 為圓域,把與D 分成,作輔助線,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,(2) 提示

5、:,兩部分,說明: 若不用對稱性, 需分塊積分以去掉絕對值符號.,作輔助線,將D 分成,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例4. 計算二重積分 （教程P321例8（3）,解： 被積函數(shù)復(fù)雜，難以積分，應(yīng)作坐標變換。,其相應(yīng)的二重積分區(qū)域為半圓形，故令,原式=,例5.,如圖所示,交換下列二次積分的順序:,解:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例6.,解: 在球坐標系下 （教程P331例16）,利用洛必達法則與導(dǎo)數(shù)定義,得,其中,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,三、重積分的應(yīng)用,1. 幾何方面,面積 ( 平面域或曲面域 ) , 體積 , 形心,質(zhì)量, 轉(zhuǎn)動慣量, 質(zhì)心, 引力,證明某些結(jié)

6、論等,2. 物理方面,3. 其它方面,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例7.,證明,證:左端,= 右端,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例8. 若 f(x)在0,1上連續(xù)，證明（教程P322）,證： （用原函數(shù)法）因 f(x)連續(xù)，故設(shè),例9.,設(shè)函數(shù) f (x) 連續(xù)且恒大于零,其中,(1) 討論 F( t ) 在區(qū)間 ( 0, +) 內(nèi)的單調(diào)性;,(2) 證明 t 0 時,(03考研),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,解: (1) 因為,兩邊對 t 求導(dǎo), 得,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,(2) 問題轉(zhuǎn)化為證,即證,故有,因此 t 0 時,因,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,利用“先二后一”計算.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例10. 試計算橢球體,的體積 V.,解法1,*解法2,利用三重積分換元法. 令(廣義球坐標代換),則,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例11：,求均勻橢球體