大學(xué)課件 高等數(shù)學(xué)下冊(cè) 8-3

1、第八章 重積分第三節(jié) 三重積分的概念與計(jì)算,問(wèn)題的提出：,設(shè)空間立體 V 的密度函數(shù)為,求立體 V 的質(zhì)量 M,為了求 V 的質(zhì)量，仍采用：分割、近似代替、,求和、取極限四個(gè)步驟.,首先把 V 分成 n 個(gè)小塊 V1 , V2 , . . . , Vn , Vi 的體積,記為,一、三重積分的概念,f ( x, y, z )，,其次在每個(gè)小塊 Vi 上任取一點(diǎn),則 Vi 的質(zhì)量,然后對(duì)每個(gè)小塊 Vi 的質(zhì)量求和：,最后，取極限,其中,三重積分的定義,方法1：“先一后二”法（也稱為投影法）,二、在直角坐標(biāo)系下計(jì)算三重積分,如圖，,則,注意,例1 設(shè)有一物體=0,1;0,1;0,1(即長(zhǎng)方體)它在點(diǎn)

2、p(x,y,z)處的密度為點(diǎn)p到原點(diǎn)距離的平方,求物體的質(zhì)量M.,解,即把一個(gè)三重積分化為三個(gè)定積分的積.,當(dāng)積分區(qū)域是長(zhǎng)方體的時(shí)候,三重積分的積分限最容易安排,例2 計(jì)算三重積分,其中為三個(gè)坐標(biāo),面及平面x+2y+z=1所圍成,的閉區(qū)域.,解:作閉區(qū)域,如圖示. 把投影到xoy平面上， 得到區(qū)域Dxy三角形閉區(qū)域OAB,直線OA,AB,OB 的方程依次為y=0,x+2y=1x=0.所以,在D內(nèi)任意取一點(diǎn)(x,y),過(guò)此點(diǎn)作平行于z軸的直線,該直線先通過(guò)平面z=0,再通過(guò)平面z=1-x-2y.于是,立體體積,曲頂柱體的頂為連續(xù)曲面,則其體積為,占有空間有界域 V 的立體的體積為,解,方法2：“

3、先二后一”法（或稱截面法）,解,原式,注：由上面兩個(gè)例題可知，當(dāng)被積函數(shù)只是單變量,三、在柱面坐標(biāo)系下計(jì)算三重積分,規(guī)定：,柱面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為,如圖，三坐標(biāo)面分別為,圓柱面；,半平面；,平 面,如圖，柱面坐標(biāo)系中的體積元素為,柱面坐標(biāo)系中的三重積分計(jì)算也是化為三次積分進(jìn)行計(jì)算. 化為三次積分時(shí)，積分限的確定是根據(jù),在積分區(qū)域 中的變化范圍來(lái)確定的. 例如積分區(qū)域 在xOy平面上的投影區(qū)域?yàn)镈（用極坐標(biāo)表示），且 可表示為,解,知交線為,解,所圍成的立體如圖，,所圍成立體的投影區(qū)域如圖，,例8 設(shè)有一個(gè)質(zhì)量均勻分別的截頭直圓柱體,其下底 面在xoy平面上,上頂面在平面x+y+z=3上,側(cè)

4、面為圓柱面 x2+y2=1.求其質(zhì)量m .,解: 設(shè)密度函數(shù)(x,y,z)=,積分區(qū)域?yàn)榻仡^圓柱體,我們采用柱面坐標(biāo)來(lái)計(jì)算,在xoy平面的投影D為圓x2+y21. 在極坐標(biāo)下，,x+y+z=3,x2+y2=1,3,3,3,z,x,y,二、利用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分,球面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為,規(guī)定：,如圖，三坐標(biāo)面分別為,圓錐面；,球 面；,半平面,球面坐標(biāo)系中的體積元素為,如圖，,例10 計(jì)算三重積分,r,x,z,y,其中是球形閉區(qū)域:x2+y2+z22z.,立體體積,曲頂柱體的頂為連續(xù)曲面,則其體積為,占有空間有界域 V 的立體的體積為,解,補(bǔ)充：利用對(duì)稱性化簡(jiǎn)三重積分計(jì)算,使用對(duì)稱性時(shí)應(yīng)注意：,、積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)面的對(duì)稱性；,、被積函數(shù)在積分區(qū)域上的關(guān)于三個(gè)坐標(biāo)軸的,奇偶性,解,積分域關(guān)于三個(gè)坐標(biāo)面都對(duì)稱，,被積函數(shù)是 的奇函數(shù),解,五、三重積分換元法,例14 求,其中 V 為由,與,所確定的區(qū)域.,解,作廣義球坐標(biāo)變換,于是,三重積分的定義和計(jì)算,在直角坐標(biāo)系下的體積元素,（計(jì)算時(shí)將三重積分化為三次積分）,三、小結(jié),