2009年高考數(shù)學試題分類匯編不等式

1、 2009 年高考數(shù)學試題分類匯編年高考數(shù)學試題分類匯編不等式不等式 一、選擇題 1.（2009 安徽卷理）下列選項中，p 是 q 的必要不充分條件的是 （A）p:b+d , q:b 且 cd aca （B）p:a1,b1 q:的圖像不過第二象限 ( )(01) x f xab aa，且 （C）p: x=1, q: 2 xx （D）p:a1, q: 在上為增函數(shù) ( )log(01) a f xx aa，且(0,) 解析：由b 且 cdb+d，而由b+d b 且 cd，可舉反例。選 Aaacaca 2.(2009 山東卷理)設(shè) x，y 滿足約束條件 ， 0, 0 02 063 yx yx yx

2、 若目標函數(shù) z=ax+by（a0，b0）的值是最大值為 12， 則的最小值為( ). 23 ab A. B. C. D. 4 6 25 3 8 3 11 x 2 2 y O -2 z=ax+by 3x-y-6=0 x-y+2=0 【解析】:不等式表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分,當直線 ax+by= z（a0，b0） 過直線 x-y+2=0 與直線 3x-y-6=0 的交點（4,6）時, 目標函數(shù) z=ax+by（a0，b0）取得最大 12, 即 4a+6b=12,即 2a+3b=6, 而=,故選 A. 23 ab 23 23131325 ()()2 6666 abba abab 答案:A 【

3、命題立意】:本題綜合地考查了線性規(guī)劃問題和由基本不等式求函數(shù)的最值問題.要求能準 確地畫出不等式表示的平面區(qū)域,并且能夠求得目標函數(shù)的最值,對于形如已知 2a+3b=6,求 的最小值常用乘積進而用基本不等式解答. . 23 ab 3.（2009 安徽卷理）若不等式組所表示的平面區(qū)域被直線分為面 0 34 34 x xy xy 4 3 ykx 積相等的兩部分，則的值是 k （A） （B） （C） （D） 7 3 3 7 4 3 3 4 解析：不等式表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分ABC 由得 A（1，1），又 B（0，4），C（0，） 34 34 xy xy 4 3 ABC= ，設(shè)與的S 144

4、(4) 1 233 ykx34xy 交點為 D，則由知， 12 23 BCD SS ABC 1 2 D x 5 2 D y 選 A。 5147 , 2233 kk 4.（2009 安徽卷文）不等式組所表示的平面區(qū)域的面積等于 A. B. C. D. 【解析】由可得，故 陰陰 = ，選 C。 340 340 xy xy (1,1)CS 14 23 c ABx 【答案】C 5.（2009 安徽卷文）“”是“且”的 A. 必要不充分條件 B. 充分不必要條件 C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件 【解析】易得時必有.若時，則可能有，選abcd 且 且acbd acbd adcb 且 且 A

5、。 【答案】A 6.（2009 四川卷文）已知，為實數(shù)，且.則“”是“abcdcdabacb ”的d A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件 【答案答案】B . 【解析解析】顯然，充分性不成立.又，若和都成立，則同向不等式相加得acbdcd ab 即由“”“”acbdab B A x D y C O y=kx+ 4 3 7.（2009 四川卷文）某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)每噸甲產(chǎn)品要用 A 原料 3 噸，B 原料 2 噸；生產(chǎn)每噸乙產(chǎn)品要用 A 原料 1 噸，B 原料 3 噸，銷售每噸甲產(chǎn)品可獲得利潤 5 萬 元，每噸乙產(chǎn)品可獲得利潤

6、 3 萬元。該企業(yè)在一個生產(chǎn)周期內(nèi)消耗 A 原料不超過 13 噸，B 原料不超過 18 噸.那么該企業(yè)可獲得最大利潤是 A. 12 萬元 B. 20 萬元 C. 25 萬元 D. 27 萬元 【答案答案】D 【解析解析】設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品噸，生產(chǎn)乙產(chǎn)品噸，則有關(guān)系：xy A 原 料 B 原 料 甲產(chǎn)品噸x 3x 2x 乙產(chǎn)品 噸y y 3y 則有： 1832 133 0 0 yx yx y x 目標函數(shù)yxz35 作出可行域后求出可行域邊界上各端點的坐標，經(jīng)驗證知： 當3，5 時可獲得最大利潤為 27 萬元，故選 Dxy 8.（2009 湖南卷文）若0 x ，則 2 x x 的最小值為 2 2 .

7、解: 0 x 2 2 2x x ，當且僅當 2 2xx x 時取等號. 9.（2009 寧夏海南卷理）設(shè) x,y 滿足 24 1, 22 xy xyzxy xy 則 （A）有最小值 2，最大值 3 （B）有最小值 2，無最大值 （C）有最大值 3，無最小值 （D）既無最小值，也無最大值 解析：畫出可行域可知，當過點（2，0）時，但無最大值。選 B.zxy min 2z 10.（2009 寧夏海南卷文）設(shè)滿足則, x y 24, 1, 22, xy xy xy zxy （A）有最小值 2，最大值 3 （B）有最小值 2，無最大值 （C）有最大值 3，無最小值 （D）既無最小值，也無最大值. 【答

8、案】B 【解析】畫出不等式表示的平面區(qū)域，如右圖，由 zxy，得 yxz，令 z0，畫 出 yx 的圖象，當它的平行線經(jīng)過 A（2,0）時，z 取得最小值，最小值為：z2，無最大 值，故選.B （3，4） （0，6） O （，0） 3 13 y x 9 13 11.(2009 湖南卷理)已知 D 是由不等式組，所確定的平面區(qū)域，則圓 20 30 xy xy 在區(qū)域 D 內(nèi) 22 4xy 的弧長為 B A B C D 4 2 3 4 3 2 . 【答案】：B 【解析】解析如圖示，圖中陰影部分所在圓心角所對弧長即為所求，易知圖中兩直線的斜率 分別是，所以圓心角即為兩直線的所成夾角，所以，所 1 ,

9、 2 1 3 11 |()| 23 tan1 11 1| 23 （） 以，而圓的半徑是 2，所以弧長是，故選 B 現(xiàn)。 4 2 12.（2009 天津卷理）設(shè)變量 x，y 滿足約束條件：.則目標函數(shù) z=2x+3y 的最小 3 1 23 xy xy xy 值為 （A）6 （B）7 （C）8 （D）23 【考點定位】本小考查簡單的線性規(guī)劃，基礎(chǔ)題。 解析：畫出不等式表示的可行域，如右圖，. 3 1 23 xy xy xy 讓目標函數(shù)表示直線在可行域上平移，知在點 B 自目標函數(shù)取到最小值， 33 2zx y 解方程組得，所以，故選擇 B。. 32 3 yx yx )1 , 2(734 min z

10、 8 6 4 2 -2 -4 -15-10-551015 2x-y=3 x-y=1 x+y=3 q x = -2x 3 +7 h x = 2x-3 g x = x+1 f x = -x+3 A B 13.（2009 天津卷理）設(shè)若的最小值為0,0.ab 11 333 ab ab 是與的等比中項，則 A 8 B 4 C 1 D 1 4 【考點定位】本小題考查指數(shù)式和對數(shù)式的互化，以及均值不等式求最值的運用，考查了 變通能力。 【解析】因為，所以，333 ba 1 ba ，當且僅當即時4222) 11 )( 11 b a a b b a a b ba ba bab a a b 2 1 ba “=”

11、成立，故選擇 C 14.（2009 天津卷理）,若關(guān)于 x 的不等式的解集中的整數(shù)恰ab 10 2 ()xb 2 ()ax 有 3 個，則 （A） （B） （C） （D）01 a10 a31 a63 a 【考點定位】本小題考查解一元二次不等式， 解析：由題得不等式即，它的解應(yīng)在兩根之 2 ()xb 2 ()ax02)1( 222 bbxxa 間，故有，不等式的解集為或04)1(44 22222 baabb 11 a b x a b 。若不等式的解集為，又由得 11 0 a b x a b 11 a b x a b ab 10 ，故，即 . 1 1 0 a b 2 1 3 a b 3 1 2 a

12、 b 15.（2009 四川卷理）已知為實數(shù)，且。則“”是“”的, , ,a b c dcdabacbd A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件 C充要條件 D. 既不充分也不必要條件. 【考點定位】本小題考查不等式的性質(zhì)、簡單邏輯，基礎(chǔ)題。（同文 7） 解析：推不出；但，故選擇 B。ba acbdbdcbadbca 解析 2：令，則；由2,1,3,5abcd 13( 5)8acbd 可得，因為，則，所以。故“”是acbd()abcdcd0cdabab “”的必要而不充分條件。acbd 16.（2009 四川卷理）某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)每噸甲產(chǎn)品要用 A 原料 3 噸、B

13、原料 2 噸；生產(chǎn)每噸乙產(chǎn)品要用 A 原料 1 噸、B 原料 3 噸。銷售每噸甲產(chǎn)品可獲得利潤 5 萬 元，每噸乙產(chǎn)品可獲得利潤 3 萬元，該企業(yè)在一個生產(chǎn)周期內(nèi)消耗 A 原料不超過 13 噸，B 原料不超過 18 噸，那么該企業(yè)可獲得最大利潤是 A. 12 萬元 B. 20 萬元 C. 25 萬元 D. 27 萬元 . 【考點定位】本小題考查簡單的線性規(guī)劃，基礎(chǔ)題。（同文 10） 解析：設(shè)甲、乙種兩種產(chǎn)品各需生產(chǎn)、噸，可使利潤最大，故本題即xyz 已知約束條件，求目標函數(shù)的最大 0 0 1832 133 y x yx yx yxz35 值，可求出最優(yōu)解為，故，故選擇 4 3 y x 2712

14、15 max z D。 17.（2009 福建卷文）在平面直角坐標系中，若不等式組（為常數(shù)）所表 10 10 10 xy x axy 示的平面區(qū)域內(nèi)的面積等于 2，則的值為a A. -5 B. 1 C. 2 D. 3 解析解析解析 如圖可得黃色即為滿足 的直線恒過（0，1），故看作直線繞點010101yaxyxx的可行域，而與 （0，1）旋轉(zhuǎn)，當 a=-5 時，則可行域不是一個封閉區(qū)域，當 a=1 時，面積是 1；a=2 時，面 積是；當 a=3 時，面積恰好為 2，故選 D. 2 3 18.（2009 重慶卷理）不等式對任意實數(shù)恒成立，則實數(shù)的取值 2 313xxaaxa 范圍為（ ） AB

15、. (, 14,) (, 25,) C D1,2(,12,) 【答案】A 【解析】因為對任意 x 恒成立，所以 2 4314313xxxxaa 對 22 343041aaaaaa 即，解得或 19.（2009 重慶卷文）已知，則的最小值是（ ）0,0ab 11 2 ab ab A2BC4D52 2 【答案】C 解析因為當且僅當，且 1111 2222()4ababab ababab 11 ab ，即時，取“=”號。 . 1 ab ab ab 二、填空題 1.（2009 浙江理）若實數(shù)滿足不等式組則的最小值是 . , x y 2, 24, 0, xy xy xy 23xy 答案：4 【解析】通過

16、畫出其線性規(guī)劃，可知直線過點時， 2 3 yxZ 2,0min234xy 2.（2009 浙江卷文）若實數(shù)滿足不等式組則的最小值是 , x y 2, 24, 0, xy xy xy 23xy . 【命題意圖】此題主要是考查了線性規(guī)劃中的最值問題，此題的考查既體現(xiàn)了正確畫線性區(qū) 域的要求，也體現(xiàn)了線性目標函數(shù)最值求解的要求 【解析】通過畫出其線性規(guī)劃，可知直線過點時， 2 3 yxZ 2,0min234xy 3.（2009 北京文）若實數(shù)滿足則的最大值為 ., x y 20, 4, 5, xy x x sxy 【答案答案】9 【解析解析】.s.5.u本題主要考查線性規(guī)劃方面的 基礎(chǔ)知. 屬于基礎(chǔ)

17、知識、基本運算的考查. . 如圖，當時，4,5xy 為最大值. . 459sxy 故應(yīng)填 9. 4.（2009 北京卷理）若實數(shù)滿足則的最小值為_., x y 20 4 5 xy x y syx 【答案答案】6 . 【解析解析】本題主要考查線性規(guī)劃方面 的基礎(chǔ)知. 屬于基礎(chǔ)知識、基本運算 的考查. 如圖，當時，. 4,2xy 為最小值.246syx 故應(yīng)填.6 5.(2009 山東卷理)不等式的解集為 . . 0212xx 【解析】:原不等式等價于不等式組或 2 21 (2)0 x xx 1 2 2 21 (2)0 x xx 或不等式組無解,由得,由得,綜上得 1 2 (21)(2)0 x x

18、x 1 1 2 x 1 1 2 x ,所以原不等式的解集為. 11x | 11xx 答案: | 11xx 【命題立意】:本題考查了含有多個絕對值號的不等式的解法,需要根據(jù)絕對值的定義分段去 掉絕對值號,最后把各種情況綜合得出答案.本題涉及到分類討論的數(shù)學思想. 6.(2009 山東卷文)某公司租賃甲、乙兩種設(shè)備生產(chǎn) A,B 兩類產(chǎn)品,甲種設(shè)備每天能生產(chǎn) A 類 產(chǎn)品 5 件和 B 類產(chǎn)品 10 件,乙種設(shè)備每天能生產(chǎn) A 類產(chǎn)品 6 件和 B 類產(chǎn)品 20 件.已知設(shè)備甲 每天的租賃費為 200 元,設(shè)備乙每天的租賃費為 300 元,現(xiàn)該公司至少要生產(chǎn) A 類產(chǎn)品 50 件,B 類產(chǎn)品 140

19、 件,所需租賃費最少為_元. . 【解析】:設(shè)甲種設(shè)備需要生產(chǎn)天, 乙種設(shè)備需要生產(chǎn)天, 該公司所需租賃費為元,則xyz ，甲、乙兩種設(shè)備生產(chǎn) A,B 兩類產(chǎn)品的情況為下表所示: 200300zxy 產(chǎn)品 設(shè)備 A 類產(chǎn)品 (件)(50) B 類產(chǎn)品 (件)(140) 租賃費 (元) 甲設(shè)備 5 10 200 乙設(shè)備 6 20 300 則滿足的關(guān)系為即:, . 5650 1020140 0,0 xy xy xy 6 10 5 214 0,0 xy xy xy 作出不等式表示的平面區(qū)域,當對應(yīng)的直線過兩直線的交點200300zxy 6 10 5 214 xy xy (4,5)時，目標函數(shù)取得最低

20、為 2300 元. . 200300zxy 答案:2300 【命題立意】:本題是線性規(guī)劃的實際應(yīng)用問題,需要通過審題理解題意,找出各量之間的關(guān)系, 最好是列成表格,找出線性約束條件,寫出所研究的目標函數(shù),通過數(shù)形結(jié)合解答問題. 7.（2009 年上海卷理）若行列式中，元素 4 的代數(shù)余子式大于 0， 4 1 7 5 x x 3 8 9 則 x 滿足的條件是_ . 【答案】 8 3 x 【解析】依題意，得： (-1)2(9x-24)0，解得： . 8 3 x 8.（2009 上海卷文） 已知實數(shù) x、y 滿足 則目標函數(shù) z=x-2y 的最小值是 2 2 3 yx yx x _. 【答案】9 【

21、解析】畫出滿足不等式組的可行域如右圖，目標函數(shù)化為：z，畫直線xy 2 1 及其平行線，當此直線經(jīng)過點 A 時，z 的值最大，z 的值最小，A 點坐標為xy 2 1 （3,6），所以，z 的最小值為：3269。 三、解答題 1.（2009 江蘇卷）(本小題滿分 16 分) 按照某學者的理論，假設(shè)一個人生產(chǎn)某產(chǎn)品單件成本為a元，如果他賣出該產(chǎn)品的單價 為m元，則他的滿意度為 m ma ；如果他買進該產(chǎn)品的單價為n元，則他的滿意度為 n na . 如果一個人對兩種交易(賣出或買進)的滿意度分別為 1 h和 2 h，則他對這兩種交易的綜合滿意 度為 1 2 hh. . 現(xiàn)假設(shè)甲生產(chǎn) A、B 兩種產(chǎn)品

22、的單件成本分別為 12 元和 5 元，乙生產(chǎn) A、B 兩種產(chǎn)品的 單件成本分別為 3 元和 20 元，設(shè)產(chǎn)品 A、B 的單價分別為 A m元和 B m元，甲買進 A 與賣出 B 的綜合滿意度為h且，乙賣出 A 與買進 B 的綜合滿意度為h且 (1)求h且和h且關(guān)于 A m、 B m的表達式；當 3 5 AB mm時，求證：h且=h且； (2)設(shè) 3 5 AB mm，當 A m、 B m分別為多少時，甲、乙兩人的綜合滿意度均最大？最大的綜 合滿意度為多少？ (3)記(2)中最大的綜合滿意度為 0 h，試問能否適當選取 A m、 B m的值，使得 0 hh 且 和 0 hh 且 同時成立，但等號不

23、同時成立？試說明理由。 【解析】 本小題主要考查函數(shù)的概念、基本不等式等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)學建模能力、抽象 概括能力以及數(shù)學閱讀能力。滿分 16 分。 (1) 當時， , 3 5 AB mm 2 3 5 3 5(20)(5) 12 5 B BB BBB B m mm h mmm m 甲 , h且=h且 . 2 3 5 3 20(5)(20) 3 5 B BB BBB B m mm h mmm m 乙 （2）當時， 3 5 AB mm 2 2 11 =, 20511 (20)(5) (1)(1)100()251 B BB BBBB m h mm mmmm 甲 由， 111 5,20, 20 5 B B m m 得 故當即時，. 11 20 B m 20,12 BA mm 甲乙兩人同時取到最大的綜合滿意度為。 10 5 （3）（方法一）由（2