九年級數(shù)學(xué)上冊 26.3 解直角三角形專題講座素材 （新版）冀教版

1、解直角三角形專題講座 解直角三角形與直角三角形的概念、性質(zhì)、判定和作圖有著密切的聯(lián)系，是在深入研究幾何圖形性質(zhì)的基礎(chǔ)上，根據(jù)已知條件，計(jì)算直角三角形未知的邊長、角度和面積，以及與之相關(guān)的幾何圖形的數(shù)量。1、明確解直角三角形的依據(jù)和思路在直角三角形中，我們是用三條邊的比來表述銳角三角函數(shù)定義的。因此，銳角三角函數(shù)的定義本質(zhì)揭示了直角三角形中邊角之間的關(guān)系，是解直角三角形的基礎(chǔ)。如圖1，在RtABC中，C90，設(shè)三個內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c（以下字母同），則解直角三角形的主要依據(jù)是（1）邊角之間的關(guān)系：sinAcosB， cosAsinB，tgActgB，ctgAtgB。（2）兩銳角

2、之間的關(guān)系：AB90。（3）三條邊之間的關(guān)系：。以上每個邊角關(guān)系式都可看作方程，解直角三角形的思路，就是根據(jù)已知條件，正確地選擇直角三角形中邊角間的關(guān)系式，通過解一元方程來求解。2、解直角三角形的基本類型和方法我們知道，由直角三角形中已知的元素求出未知元素的過程叫作解直角三角形，而在直角三角形中，除直角以外還有三條邊及兩個銳角共五個元素，那么什么樣的直角三角形才可解呢？如果已知兩個銳角能否解直角三角形呢？事實(shí)上，解直角三角形跟直角三角形的判定與作圖有著本質(zhì)的聯(lián)系，因?yàn)橐阎獌蓚€元素（至少有一個是邊）可以判定直角三角形全等，也可以作出直角三角形，即此時直角三角形是確定的，所以這樣的直角三角形是可解

3、的。由于已知兩個銳角的直角三角形是不確定的，它們是無數(shù)多個相似的直角三角形，因此求不出各邊的長。所以，要解直角三角形，給出的除直角外的兩個元素中，必須至少有一個是邊。這樣，解直角三角形就分為兩大類，即已知一條邊及一個銳角或已知兩條邊解直角三角形。四種基本類型和解法列表如下：已知條件 解法 一邊及一銳角 直角邊a及銳角A B90A，bactgA， 斜邊c及銳角A B90A，acsinA，bccosA 兩邊 兩條直角邊a和b ，B90A， 直角邊a和斜邊c ，B90A， 例1、如圖2，若圖中所有的三角形都是直角三角形，且A，AE1，求AB的長。分析一：所求AB是RtABC的斜邊，但在RtABC 中

4、只知一個銳角A，暫不可解。而在RtADE中，已知一直角邊及一銳角是可解的，所以就從解RtADE入手。解法一：在RtADE中，且A，AE1，在RtADC中，在RtABC中，。分析二；觀察圖形可知，CD、CE分別是RtABC和RtACD斜邊上的高，具備應(yīng)用射影定理的條件，可以利用射影定理求解。解法二：同解法一得，在RtACD中，在RtABC中，。說明：本題是由幾個直角三角形組合而成的圖形。這樣的問題，總是先解出已經(jīng)具備條件的直角三角形，從而逐步創(chuàng)造條件，使得要求解的直角三角形最終可解。值得注意的是，由于射影定理揭示了直角三角形中有關(guān)線段的數(shù)量關(guān)系，因而在解直角三角形時經(jīng)常要用到。在解直角三角形的問

5、題中，經(jīng)常會遇到這樣的圖形（圖3），它是含有兩個直角三角形的圖形。隨著D點(diǎn)在BC邊上位置的變化，會引起直角三角形中有關(guān)圖形數(shù)量相應(yīng)的變化，從而呈現(xiàn)許多不同的解直角三角形的問題，下面舉例加以說明。例2、如圖3，在RtABC中，C90，AD是BC邊上的中線。（1）若BD，B30，求AD的長；（2）若ABC，ADC，求證：tg2tg。（1）分析：由AD是BC邊的中線，只知DC一條邊長，僅此無法直接在RtADC中求解AD。而在RtABC中，由已知BC邊和B可以先求出AC，從而使RtADC可解。解：在RtABC中，BC2BD2，B30，ACBC tgB2，在RtADC中，DCBD，。（2）分析：和分別為

6、RtABC和RtADC中的銳角，且都以直角邊AC為對邊，抓住圖形的這個特征，根據(jù)直角三角形中銳角三角比可以證明tg2tg。證明：在RtABC中，,在RtADC中，,又BC2DC, tg2tg。例3、如圖3，在RtABC中，C90，AD是BAC的平分線。（1）若ABBD，求B；（2）又若BD4，求。分析：已知AD是BAC的平分線，又知兩條線段的比ABBD,應(yīng)用三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)定理，就能把已知條件集中轉(zhuǎn)化到RtADC 中，先求出DAC即可求得B。解：（1）AD是BAC的平分線，,即,在RtADC中，,DAC30, BAC2DAC60, B90BAC30。（2）,BD4，ABBD4，B30，A

7、CAB2，又BCABcosB6，BCAC626。說明：解直角三角形時，要注意三角形中主要線段的性質(zhì)，利用平面幾何的有關(guān)定理，往往能夠建立已知與未知的聯(lián)系，找到解決問題的突破口。例4、如圖3，在RtABC中、C90，D為BC上一點(diǎn)，ABC45,ADC60，BD1，求AB。分析：已知的角度告訴我們，RtABC 和RtADC都是特殊的直角三角形，抓往這個特點(diǎn)設(shè)未知數(shù)，根據(jù)線段間的數(shù)量關(guān)系，可以列出一元一次方程求解。解：在RtADC中，設(shè)DCx，ADC60，AD2x，ACx，在RtABC中，ABC45，BD1，1xx，x，ABACx。說明：解直角三角形時，要注意發(fā)掘圖形的幾何性質(zhì)，利用線段和差的等量關(guān)

8、系布列方程。還要熟練地掌握特殊銳角的三角比值，以使解答過程的表述簡潔。例5、如圖4，在ABC中、D、F分別在AC、BC上，且ABAC，AFBC，BDDCFC1，求AC。分析：由數(shù)形結(jié)合易知，ABC是直角三角形，AF為斜邊上的高線，CF是直角邊AC在斜邊上的射影，AC為所求，已知的另外兩邊都在BDC中，且BDDC1，即BDC是等腰三角形。因此，可以過D作DEBC，拓開思路。由于DE，AF同垂直于BC，又可以利用比例線段的性質(zhì)，逐步等價轉(zhuǎn)化求得AC。解：在ABC中，設(shè)AC為x，ABAC，AFBC，又FC1，根據(jù)射影定理,得：，即BC。再由射影定理, 得：，即。在BDC中，過D作DEBC于E，BDD

9、C1，BEEC，又AFBC，DEAF，。在RtDEC中，即，整理得。說明：本題體現(xiàn)了基本圖形基本性質(zhì)的綜合應(yīng)用。還應(yīng)該注意，作垂線構(gòu)造直角三角形是解直角三角形時常用的方法。3、解直角三角形在實(shí)際問題中的應(yīng)用借助解直角三角形解決實(shí)際問題，包括度量工件、測量距離、工程技術(shù)等許多方面。解決問題的關(guān)鍵是要從實(shí)際問題中抽象出幾何圖形，把實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為直角三角形的邊角之間的關(guān)系，從而通過解直角三角形使實(shí)際問題得到解決。例6、某型號飛機(jī)的機(jī)翼形狀如圖5，根據(jù)圖示尺寸計(jì)算AC、BD和AB的長度（保留三個有效數(shù)字）。分析；飛機(jī)機(jī)翼形狀為四邊形ABDC，要求其中三條邊的長度，一方面應(yīng)使所求線段成為直角

10、三角形的元素，另一方面，要設(shè)法將已知條件與未知量集中在某個三角形中以求解，這就需要恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造直角三角形。解：過C作CEBA，交BA的延長線于E。在RtACE中，ACE45，CE5，ACCE1.41457.07。過D作DFBA，交BA的延長線于F，且與AC交于G，在RtBDF中，BDF30，DF5，BD，ABBFAFBFFGBF（DFDG）BF（DFCD）2.885（53.4）1.29（米）。說明：解決實(shí)際問題時，計(jì)算常有精確度的要求，應(yīng)注意近似計(jì)算的法則和規(guī)范表述。例7、某勘測隊(duì)在山腳測得山頂?shù)难鼋菫?8，沿傾斜角為25的山坡前進(jìn)800米后，又測得山頂?shù)难鼋菫?2，求山的高度（精確到0.1米）

11、。分析：先根據(jù)題意畫出示意圖（如圖6），BC為山高，AD為山坡，DAC25，因?yàn)檠鼋菫橐暰€與水平線的夾角，所以BAC38，AD800米，BDE62，要直接在RtABC中求BC不夠條件，必須設(shè)法先求出AB，這就需要根據(jù)已知條件，構(gòu)造直角三角形。解：過D作DFAB于F，在RtADF中，DAF382513，AFADcosDAF8000.9744779.5，DFADsinDAF8000.2250180.0。在RtBDF中，DBF623824，BFDFctgDBF180.02.246404.3，ABAFBF779.5404.31183.8，在RtABC中，BCABsinBAC1183.80.6157728.8（米）。答：山高為728.8米。說明：在學(xué)過解斜三角形以后，解答本題會有更簡捷的方法。說明：應(yīng)用問題盡管題型千變?nèi)f化，但關(guān)鍵是設(shè)法化歸為解直角三角形問題，必要時應(yīng)添加輔助線，構(gòu)造出直角三角形。例8、如圖7所示，河對岸有一座鐵塔AB，若在河這邊C、D處分別用測角儀器測得塔頂B的仰角為30，60。已知測角儀器高為1.5米，CD20米，求鐵塔的高。（精確到0.1米）。解：設(shè)BGx，在RtBGF中，ctgBFG，F(xiàn)GBGctgBFGxctg60x，在RtBGE中，EGBGctgBEGx。EGFGEF，且EFCD20，xx20，解得x10，ABBGAG101.518.8（米）答：鐵塔的高