山東地區(qū)中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第三章函數(shù)第七節(jié)二次函數(shù)的綜合運(yùn)用課件.pptx

1、第七節(jié)二次函數(shù)的綜合應(yīng)用,考點(diǎn)一 線段、周長問題 例1(2017東營中考)如圖，直線y x 分別與x 軸、y軸交于B，C兩點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，ACB90，拋物 線yax2bx 經(jīng)過A，B兩點(diǎn),1)求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)； (2)求拋物線的解析式； (3)點(diǎn)M是直線BC上方拋物線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)M作MHBC于點(diǎn) H，作MDy軸交BC于點(diǎn)D，求DMH周長的最大值,分析】(1)由直線解析式可求得B，C坐標(biāo)，再利用相似三角形可求得OA，從而可求出A點(diǎn)坐標(biāo)； (2)利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式； (3)根據(jù)題意可推出當(dāng)MD取得最大值時(shí)，DMH的周長最大，利用二次函數(shù)的性質(zhì)得出最大值,自主解答】(1)直線y

2、x 分別與x軸、y軸交于B，C兩點(diǎn)， 點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3，0)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0， ) ACOBCO90，ACOCAO90， CAOBCO. AOCCOB90，AOCCOB， 點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，0,2)拋物線yax2bx 經(jīng)過A，B兩點(diǎn)， 拋物線的解析式為y,3)由題意知，DMH為直角三角形，且M30， 當(dāng)MD取得最大值時(shí)，DMH的周長最大,1(2014臨沂中考)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點(diǎn)A(1，0)和點(diǎn)B(1，0)，直線y2x1與y軸交于點(diǎn)C，與拋物線交于點(diǎn)C，D. (1)求拋物線的解析式； (2)求點(diǎn)A到直線CD的距離,3)平移拋物線，使拋物線的頂點(diǎn)P在直線CD上，拋物線與

3、直線CD的另一個(gè)交點(diǎn)為Q，點(diǎn)G在y軸正半軸上，當(dāng)以G，P，Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形時(shí)，求出所有符合條件的G點(diǎn)的坐標(biāo),解：(1)直線y2x1，當(dāng)x0時(shí)，y1， 則點(diǎn)C坐標(biāo)為(0，1) 設(shè)拋物線的解析式為yax2bxc. 點(diǎn)A(1，0)，B(1，0)，C(0，1)在拋物線上， 拋物線的解析式為yx21,2)直線y2x1，當(dāng)y0時(shí)，x . 如圖，過點(diǎn)A作AFCD于點(diǎn)F.設(shè)直線CD交x軸于點(diǎn)E，則E ( ，0,在RtOCE中，OC1，OE ， 由勾股定理得CE . 設(shè)OEC，則sin ，cos . 則AFAEsin (OAOE)sin (1 ) ， 點(diǎn)A到直線CD的距離為,3)平移后拋物線

4、的頂點(diǎn)P在直線y2x1上， 設(shè)P(t，2t1)， 則平移后拋物線的解析式為y(xt)22t1. 聯(lián)立 化簡得x2(2t2)xt22t0， 解得x1t，x2t2，即點(diǎn)P，Q的橫坐標(biāo)相差2， PQ,GPQ為等腰直角三角形，可能有以下情形,若點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)，如圖1， 則PGPQ2 . CG OGCGOC1019， G(0，9,若點(diǎn)Q為直角頂點(diǎn)，如圖2， 則QGPQ2 . 同理可得G(0，9) 若點(diǎn)G為直角頂點(diǎn)，如圖3，分別過點(diǎn)P，Q作y軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)M，N. 此時(shí)PQ2 ，則GPGQ . 易證RtPMGRtGNQ,GNPM，GMQN. 在RtQNG中，由勾股定理得GN2QN2GQ2， 即PM

5、2QN210. 點(diǎn)P，Q橫坐標(biāo)相差2，NQPM2， PM2(PM2)210，解得PM1， NQ3. 直線y2x1，當(dāng)x1時(shí)，y1,P(1，1)，即OM1， OGOMGMOMNQ134， G(0，4) 綜上所述，符合條件的點(diǎn)G有兩個(gè)，其坐標(biāo)為(0，4)或 (0，9,考點(diǎn)二 圖形面積問題 例2(2015臨沂中考)在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，直線y2x1與y軸交于點(diǎn)A，與直線yx交于點(diǎn)B，點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為C. (1)求過A，B，C三點(diǎn)的拋物線的解析式； (2)P為拋物線上一點(diǎn)，它關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為Q,當(dāng)四邊形PBQC為菱形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)； 若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t(1t1)，當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形

6、PBQC面積最大，并說明理由,分析】(1)聯(lián)立兩直線解析式可求得B點(diǎn)坐標(biāo)，由關(guān)于原點(diǎn) 對(duì)稱可求得C點(diǎn)坐標(biāo)，由直線y2x1可求得A點(diǎn)坐標(biāo)，再 利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式； (2)當(dāng)四邊形PBQC為菱形時(shí)，可知PQBC，則可求得直線PQ 的解析式，聯(lián)立拋物線解析式可求得P點(diǎn)坐標(biāo)； 過點(diǎn)P作PDy軸，交直線yx于點(diǎn)D，分別過點(diǎn)B，C作 BEPD，CFPD，垂足分別為E，F(xiàn)，設(shè)D(t，t)，則可用t 表示出S四邊形PBQC，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得最大值即可,自主解答】 (1)解方程組 點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1，1) 點(diǎn)C和點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱， 點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1，1) 又點(diǎn)A是直線y2x1與y軸的交點(diǎn)， 點(diǎn)

7、A的坐標(biāo)為(0，1,設(shè)拋物線的解析式為yax2bxc， 拋物線的解析式為yx2x1,2)如圖,點(diǎn)P在拋物線上， 可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m，m2m1) 當(dāng)四邊形PBQC是菱形時(shí)，O為菱形的中心， PQBC，即點(diǎn)P，Q在直線yx上， mm2m1， 解得m1 . 點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1 ，1 )或(1 ，1,如圖，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(t，t2t1) 過點(diǎn)P作PDy軸，交直線yx于點(diǎn)D， 分別過點(diǎn)B，C作BEPD，CFPD，垂足分別為E，F(xiàn),則D(t，t) PDt(t2t1)t21，BECF2， SPBC PDBE PDCF PD(BECF) (t21)2 t21， S四邊形PBQC2t22， 當(dāng)t0時(shí)，S四邊形P

8、BQC有最大值2,2(2018遂寧中考)如圖，已知拋物線yax2 x4的 對(duì)稱軸是直線x3，且與x軸相交于A，B兩點(diǎn)(B點(diǎn)在A點(diǎn)右 側(cè))，與y軸交于C點(diǎn) (1)求拋物線的解析式和A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)； (2)若點(diǎn)P是拋物線上B，C兩點(diǎn)之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與B，C重 合)，則是否存在一點(diǎn)P，使PBC的面積最大若存在，請(qǐng) 求出PBC的最大面積；若不存在，試說明理由,3)若M是拋物線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)M作y軸的平行線，交直線BC于點(diǎn)N，當(dāng)MN3時(shí)，求M點(diǎn)的坐標(biāo),解：(1)拋物線yax2 x4的對(duì)稱軸是直線x3， 3，解得a ， 拋物線的解析式為y x2 x4. 當(dāng)y0時(shí)， x2 x40， 解得x12，x28

9、， 點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2，0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(8，0,2)當(dāng)x0時(shí)，y x2 x44， 點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，4) 設(shè)直線BC的解析式為ykxb(k0) 將B(8，0)，C(0，4)代入ykxb得 直線BC的解析式為y x4,假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x， x2 x4) 如圖，過點(diǎn)P作PDy軸，交直線BC于點(diǎn)D,則點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x， x4)， PD x2 x4( x4) x22x， SPBC PDOB 8( x22x)x28x (x4)216. 10， 當(dāng)x4時(shí)，PBC的面積最大，最大面積是16. 0 x8， 存在點(diǎn)P，使PBC的面積最大，最大面積是16,3)設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(m， m2 m4)，則點(diǎn)N

10、的坐標(biāo)為 (m， m4)， MN| m2 m4( m4)| | m22m|. 又MN3，| m22m|3. 當(dāng)0m8時(shí)，有 m22m30， 解得m12，m26,點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2，6)或(6，4) 當(dāng)m0或m8時(shí)，有 m22m30， 解得m342 ，m442 ， 點(diǎn)M的坐標(biāo)為(42 ， 1)或(42 ， 1) 綜上所述，M點(diǎn)的坐標(biāo)為(42 ， 1)，(2，6)， (6，4)或(42 ， 1,考點(diǎn)三 動(dòng)點(diǎn)、存在點(diǎn)問題 例3(2016臨沂中考)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y 2x10與x軸，y軸相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)是(8，4) 連接AC，BC. (1)求過O，A，C三點(diǎn)的拋物線的解析式，并

11、判斷ABC的形 狀,2)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿OB以每秒2個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)規(guī)定其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t s，當(dāng)t為何值時(shí)，PAQA,3)在拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在點(diǎn)M，使以A，B，M為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由,分析】 (1)先確定出點(diǎn)A，B坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出拋物 線解析式，用勾股定理的逆定理判斷出ABC是直角三角形； (2)設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t s時(shí)，OP2t，CQ10t，在RtAOP和 RtACQ中，用含t的式子表示出PA2和QA2，

12、由PAQA求得t的 值即可； (3)分三種情況，用平面坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算即可,自主解答】(1)在直線y2x10上， 令y0得x5，令x0得y10， 即A(5，0)，B(0，10) 點(diǎn)A(5，0)，C(8，4)，O(0，0)在拋物線yax2bxc上,拋物線的解析式為y x2 x. AC2(85)24225，BC282(104)2100， AB252102125， AC2BC2AB2， ABC是直角三角形,2)設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t s時(shí)，OP2t，BQt，則CQ10t. 當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到端點(diǎn)時(shí)，t 5， 當(dāng)t5時(shí)，BQ510， t的取值范圍是0t5. 在RtAOP和RtACQ中， PA2OA2OP

13、2254t2,QA2QC2AC225(10t)2t220t125. PAQA，PA2QA2， 即t220t125254t2， 解得t110(舍去)，t2 ， 即運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 s時(shí)，PAQA,3)拋物線與x軸交于O(0，0)，A(5，0)兩點(diǎn)， 對(duì)稱軸為x . 設(shè)存在點(diǎn)M，使以A，B，M為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形， 設(shè)M( ，y)， AM2(5 )2y2 y2， BM2( )2(10y)2 y220y100,當(dāng)AMAB時(shí)，則AM2AB2，即 y2125， 解得y1 ，y2 ， 此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為( ， )或( ，,當(dāng)BMAB時(shí)，則BM2AB2， 即 y220y100125. 解得y110 ，y210

14、 ， 此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為( ，10 )或( ，10,當(dāng)AMBM時(shí)，則AM2BM2， 即 y2 y220y100， 解得y5， 此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為( ，5)，恰好是點(diǎn)AB的中點(diǎn)，不能構(gòu)成三 角形，故舍去 綜上所述，存在點(diǎn)M使以A，B，M為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角 形，此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為,3(2018臨沂中考)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，ACB 90，OC2OB，tanABC2，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1，0)，拋物 線yx2bxc經(jīng)過A，B兩點(diǎn) (1)求拋物線的解析式； (2)點(diǎn)P是直線AB上方拋物線上的一點(diǎn)過點(diǎn)P作PD垂直x軸于 點(diǎn)D，交線段AB于點(diǎn)E，使PE DE,求點(diǎn)P的坐標(biāo)； 在直線PD上是否存在點(diǎn)M，使A

15、BM為直角三角形？若存在，求出符合條件的所有點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在請(qǐng)說明理由,解：(1)在RtABC中，由點(diǎn)B的坐標(biāo)可知OB1. OC2OB，OC2，則BC3. 又tanABC2， AC2BC6，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2，6) 把點(diǎn)A，B的坐標(biāo)代入拋物線yx2bxc中得 該拋物線的解析式為yx23x4,2)由點(diǎn)A(2，6)和點(diǎn)B(1，0)的坐標(biāo)易得直線AB的解析式為y2x2,如圖，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m，m23m4)，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為 (m，2m2)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(m，0)， 則PEm2m2，DE2m2. 由PE DE得 m2m2 (2m2)， 解得m1. 又2m1，m1，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，6,M在直線PD

16、上，且P(1，6)， 設(shè)M(1，y)，AM2(12)2(y6)21(y6)2， BM2(11)2y24y2，AB2(12)26245. 分三種情況： ()當(dāng)AMB90時(shí)，有AM2BM2AB2， 1(y6)24y245，解得y3 ， M(1，3 )或(1，3,當(dāng)ABM90時(shí)，有AB2BM2AM2， 454y21(y6)2，解得y1， M(1，1) ()當(dāng)BAM90時(shí)，有AM2AB2BM2， 1(y6)2454y2，解得y ， M(1，,綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1，3 )或(1，3 ) 或(1，1)或(1，,考點(diǎn)四 二次函數(shù)綜合題 百變例題(2018濟(jì)寧中考)如圖，已知拋物線yax2bx c(a0

17、)經(jīng)過點(diǎn)A(3，0)，B(1，0)，C(0，3) (1)求該拋物線的解析式； (2)若以點(diǎn)A為圓心的圓與直線BC相切于點(diǎn)M，求切點(diǎn)M的坐 標(biāo),3)若點(diǎn)Q在x軸上，點(diǎn)P在拋物線上，是否存在以點(diǎn)B，C， Q，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求點(diǎn)P的坐 標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由,分析】 (1)已知A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)，可得ya(x3)(x1)，再將點(diǎn)C坐標(biāo)代入即可解得； (2)過點(diǎn)A作AMBC，利用全等三角形求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出直線AM的解析式，同理可求出直線BC的解析式，聯(lián)立求出M坐標(biāo)即可； (3)存在以點(diǎn)B，C，Q，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，分兩種情況，利用平移規(guī)律確定出P的

18、坐標(biāo)即可,自主解答】(1)拋物線yax2bxc(a0)經(jīng)過點(diǎn) A(3，0)，B(1，0)， ya(x3)(x1) 又拋物線經(jīng)過點(diǎn)C(0，3)， 3a(03)(01)， 解得a1， 拋物線的解析式為y(x3)(x1)， 即yx22x3,2)如圖，過點(diǎn)A作AMBC，垂足為點(diǎn)M，AM交y軸于點(diǎn)N,BAMABM90. 在RtBCO中， BCOABM90， BAMBCO. A(3，0)，B(1，0)，C(0，3)， AOCO3，OB1,又BAMBCO， BOCAON90， AONCOB， ONOB1， N(0，1,設(shè)直線AM的函數(shù)解析式為ykxb， 把A(3，0)，N(0，1)代入得 直線AM的函數(shù)解析

19、式為y x1. 同理可求直線BC的函數(shù)解析式為y3x3. 解方程組得 切點(diǎn)M的坐標(biāo)為,3)存在以點(diǎn)B，C，Q，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形 設(shè)Q(t，0)，P(m，m22m3) 分兩種情況考慮： 當(dāng)四邊形BCQP為平行四邊形時(shí)， 由B(1，0)，C(0，3)， 根據(jù)平移規(guī)律得1m0t，0(m22m3)30， 解得m1,當(dāng)m1 時(shí)，m22m382 22 33， 即P(1 ，3)； 當(dāng)m1 時(shí)，m22m382 22 33， 即P(1 ，3) 當(dāng)四邊形BCPQ為平行四邊形時(shí)， 由B(1，0)，C(0，3)， 根據(jù)平移規(guī)律得1t0m，003(m22m3)， 解得m0或2,當(dāng)m0時(shí)，P(0，3)(舍去)；當(dāng)m2時(shí)，P(2，3) 綜上所述，存在以點(diǎn)B，C，Q，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊 形，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1 ，3)或(1 ，3)或(2，3,變式1：若點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，求ACD面積與ABC面積的比 解：如圖，連接AC，AD，CD，作DLx軸于點(diǎn)L,SACDS梯形OCDLSADLSAOC (34)1 24 33 3， SABC ABOC 436， SACDSABC3612,變式2：若E是x軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過E作射線EFBC交拋物線于點(diǎn)F，隨著E點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，在拋物線上是否存在這