第四講隨機變量的數(shù)字特征

1、第四講 隨機變量的數(shù)字特征考綱要求1.理解隨機變量數(shù)字特征（數(shù)學(xué)期望、方差、標(biāo)準(zhǔn)差、矩、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)），會運用數(shù)字特征的基本性質(zhì)，并掌握常用分布的數(shù)字特征.2.會求隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望.一、隨機變量的數(shù)字特征問題1 敘述隨機變量的數(shù)學(xué)期望的定義、性質(zhì)及隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望公式.答 隨機變量的數(shù)學(xué)期望是隨機變量的平均值，它反映隨機變量取值的中心位置.1.定義與公式離散型隨機變量的概率分布為,；離散型隨機變量的概率分布為，；二維離散型隨機變量的概率分布為，；連續(xù)型隨機變量的概率密度為,；連續(xù)型隨機變量的概率密度為,；二維連續(xù)型隨機變量的概率密度,.2性質(zhì)；若與相互獨立，則；問題2 敘述隨機

2、變量的方差的定義與性質(zhì).答 隨機變量的方差反映隨機變量取值的離散程度.1.定義 隨機變量的方差，標(biāo)準(zhǔn)差.2.性質(zhì)；若與相互獨立，則；.問題3 敘述隨機變量的矩的定義.答 隨機變量的階原點矩，階中心矩.顯然，隨機變量的數(shù)學(xué)期望是一階原點矩，隨機變量的方差是二階中心矩.問題4 如何求隨機變量的數(shù)字特征？答 隨機變量的數(shù)字特征是重點，也是常考點，讀者務(wù)必在理解概念的基礎(chǔ)上，熟練掌握計算數(shù)字特征的方法：利用定義（6個公式）用性質(zhì)，計算時，要充分利用獨立性條件.例 1.設(shè)隨機變量在上服從均勻分布，令隨機變量則方差 .【，提示：先求的分布，再利用公式】2.已知甲、乙兩箱中裝有同種產(chǎn)品，其中甲箱中裝有3件合

3、格品和3件次品，乙箱中僅裝有3件合格品.從甲箱中任取3件產(chǎn)品放入乙箱后，求：乙箱中次品數(shù)的數(shù)學(xué)期望；從乙箱中任取一件產(chǎn)品是次品的概率.【 】3.設(shè)隨機變量的概率密度為且已知，則 ， .【提示：，】4.設(shè)某種商品每周的需求量是服從區(qū)間上均勻分布的隨機變量，而經(jīng)銷商店進貨量為區(qū)間中的某一整數(shù)，商店每銷售一單位商品可獲利500元；若供大于求，則削價處理，每處理一單位商品虧損100元；若供不應(yīng)求，則可以從外部調(diào)劑供應(yīng)，此時每一單位商品僅獲利300元,為使商店所獲利潤期望值不少于9280元，試確定最少進貨量.解 服從區(qū)間上均勻分布，概率密度設(shè)進貨量為，則當(dāng)時，利潤當(dāng)時，利潤 故 利潤期望值 令，解得 5

4、.已知隨機變量的概率密度函數(shù)，則 ， .【1；】問題5 敘述協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)的定義與性質(zhì)答1.協(xié)方差定義 隨機變量與的協(xié)方差.協(xié)方差具有如下性質(zhì)：；.2.相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)刻畫兩個隨機變量與的線性相關(guān)程度.定義 隨機變量與的相關(guān)系數(shù). 若，則稱隨機變量與不相關(guān).相關(guān)系數(shù)具有如下性質(zhì)：；，特別：若，則當(dāng)時，當(dāng)時，.問題6 設(shè)，證明下列命題等價：與不相關(guān)； ；.證 由知，命題和等價；由知，命題和等價；由知，命題和等價；由等價關(guān)系的傳遞性知，這四個命題等價.問題7 隨機變量的獨立性與相關(guān)性有何關(guān)系？答 若與獨立，則與一定不相關(guān).證明如下：與獨立，即與一定不相關(guān).若與不相關(guān)，則與不一定獨立. 例如二維隨機變量服從單位圓上的均勻分布，則和不相關(guān)，且與不獨立.注意 若與的聯(lián)合分布為二維正態(tài)分布，則與獨立的充要條件是與不相關(guān).例1.設(shè)隨機變量與獨立同分布，且的概率分布為，求與的協(xié)方差.【】2.設(shè)獨立且都服從，求的期望與方差.【】3.對40個人的血液進行化驗時，將每4個人并為一組化驗一次，如果合格，則4個人只化驗一次，若不合格，再對這組4個人逐個