第八章傅立葉變換

1、第八章 傅立葉變換1. 傅立葉變換的概念一. 傅立葉級(jí)數(shù)定理1 設(shè)是以T為周期的實(shí)函數(shù),且在上滿足狄利克雷條件,即:(1) 連續(xù)或至多有有限多個(gè)第一類間斷點(diǎn),(2) 只有有限多個(gè)極值點(diǎn).則在的連續(xù)點(diǎn)處有其中稱上式為傅立葉級(jí)數(shù)的三角形式. 設(shè)則有其中稱上式為傅立葉級(jí)數(shù)的復(fù)指數(shù)形式.稱為周期函數(shù)的離散頻譜，稱為離散振幅譜，稱為離散相位譜.例1. 求以T為周期的函數(shù)的離散頻譜和它的傅立葉級(jí)數(shù)的復(fù)指數(shù)形式.二. 傅立葉積分與傅立葉變換1. 傅立葉積分公式定理2 (傅立葉積分定理)如果實(shí)值函數(shù)f(t)在區(qū)間上的任意一個(gè)有限區(qū)間上滿足狄利克雷定理的條件,且在區(qū)間上絕對(duì)可積,則有在連續(xù)點(diǎn)處成立,在間斷點(diǎn)處,

2、等式左側(cè)為 稱上式為傅立葉積分公式.2. 傅立葉積分變換在傅立葉積分公式中,令:,則有定義： 稱式為傅立葉變換,稱為的像函數(shù),記作=F 稱式為傅立葉逆變換, 稱為的像原函數(shù),記作 = F .例2. 求矩形脈沖函數(shù)的傅立葉變換及傅立葉積分表達(dá)式.例3. 已知的頻譜為求.例4. 求單邊指數(shù)衰減函數(shù)的傅立葉變換，并畫出頻譜圖.例5 設(shè)F ,證明：若為奇函數(shù),則也是奇函數(shù).(即: )2. 單位脈沖函數(shù)（函數(shù)）一. 單位脈沖函數(shù)的概念及性質(zhì)若函數(shù)滿足條件:(1) 當(dāng)時(shí), ;(2) .則稱為單位脈沖函數(shù).性質(zhì)1 設(shè)為定義在R上的有界函數(shù),且在處連續(xù),則 一般地,若在處連續(xù),則有 性質(zhì)2 函數(shù)為偶函數(shù),即性

3、質(zhì)3 設(shè)為單位階躍函數(shù),即 則有 例6. 給出函數(shù)的圖形表示，其中例7. 分別求函數(shù)與的傅立葉變換.例8. 試證單位階躍函數(shù)u(t)的傅立葉變換為例9. 求的傅立葉變換.定理3 設(shè)是以T為周期的實(shí)值函數(shù)，且在 上滿足狄利克雷條件,則和 是一組傅立葉變換對(duì)。其中是的離散頻譜。3. 傅立葉變換的性質(zhì)一. 基本性質(zhì)1. 線性性質(zhì) 設(shè)F ,F , 為常數(shù),則 F , F .2. 位移性質(zhì) 設(shè)F ,為實(shí)常數(shù),則 F , F .問(wèn)題：該性質(zhì)還有什么形式？例10. 已知求F .3. 相似性質(zhì)設(shè)F ,a為非零常數(shù),則 F . 例11. 已知抽樣信號(hào)的頻譜為求信號(hào)的頻譜4. 微分性質(zhì)(1) 導(dǎo)數(shù)的像函數(shù) 若 則

4、 F F ,一般地, 若 則 F F .(2) 像函數(shù)的導(dǎo)數(shù)F F 一般地有, F .在實(shí)際使用時(shí)，經(jīng)常使用的是該公式的另一種形式： F 例如： 求F 5.積分性質(zhì) 設(shè),若則 F F .6.帕塞瓦爾等式 設(shè)F ,則有 .例12. 求積分的值.二. 卷積與卷積定理1. 卷積定義： 設(shè)與內(nèi)有定義.若廣義積分對(duì)任意實(shí)數(shù)t均收斂,則該積分定義了一個(gè)以t為自變量的實(shí)函數(shù),稱此函數(shù)為與的卷積,記作.即 .卷積性質(zhì) 例13. 求下列函數(shù)的卷積 其中例14. 求下列函數(shù)的卷積 2. 卷積定理定理 設(shè)F ,F ,則有 F , F .例15. 求下列函數(shù)的卷積 例16. 設(shè)求F f(t).三. 綜合舉例例17. 設(shè)是以周期為T的實(shí)值函數(shù),且在上滿足狄利克雷條件，證明 其中為的離散頻譜.例1