江西省2022學年高二數(shù)學下學期第一次月考試題 理（含解析）

1、 可修改南昌二中20182019學年度下學期第一次月考高二數(shù)學（理）試卷一、選擇題（共12小題，每小題5分，共60分）1. 某空間幾何體的正視圖是三角形，則該幾何體不可能是（ ）A. 圓柱B. 圓錐C. 四面體D. 三棱柱【答案】A【解析】試題分析：因為圓柱的三視圖有兩個矩形，一個圓，正視圖不可能是三角形，而圓錐、四面體（三棱錐）、三棱柱的正視圖都有可能是三角形，所以選A.考點：空間幾何體的三視圖.2.下列條件中，能判斷一條直線與一個平面垂直的是（ ）A. 這條直線垂直于該平面內(nèi)的一條直線B. 這條直線垂直于該平面內(nèi)的兩條直線C. 這條直線垂直于該平面內(nèi)的任何兩條直線D. 這條直線垂直于該平面

2、內(nèi)的無數(shù)條直線【答案】C【解析】【分析】由線面垂直的判定定理，可得結(jié)論【詳解】由線面垂直的判定定理，可得一條直線與一個平面垂直的條件是垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線只有C選項，當這條直線垂直于該平面內(nèi)的任何兩條直線時，這條直線也垂直于該平面內(nèi)的兩條相交直線，故選：C【點睛】本題考查空間的線面位置關(guān)系，考查空間想象能力和邏輯推理能力，比較基礎(chǔ)3.如圖是一個幾何體的正視圖和側(cè)視圖，其俯視圖是面積為的矩形，則該幾何體的表面積是()A. 8B. 20C. 16D. 24【答案】B【解析】【分析】由三視圖及題設(shè)條件知，此幾何體為一個三棱柱，底面是等腰直角三角形，且其高為，故先求出底面積，求解其表面積即可【詳

3、解】此幾何體是一個三棱柱，且其高為4，由于其底面是一個等腰直角三角形，直角邊長為2，所以其面積為222，又此三棱柱的高為4，故其側(cè)面積為（2+2+2）416+8，表面積為：22+16+820+8故選：B【點睛】本題考點是由三視圖求幾何體的表面積，考查對三視圖的理解與應用，主要考查用三視圖中的數(shù)據(jù)還原出實物圖的數(shù)據(jù)，三視圖的投影規(guī)則是：“主視、俯視 長對正；主視、左視高平齊，左視、俯視 寬相等”4.一個圓柱形的玻璃瓶的內(nèi)半徑為3，瓶里所裝的水深為8，將一個鋼球完全浸入水中，瓶中水的高度上升到8.5，則該鋼球的半徑為（ ）A. B. 1C. D. 2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)水上升部分的容積，

4、等于球的體積，利用等積法，構(gòu)造關(guān)于球的半徑R的方程，解得答案【詳解】設(shè)鋼球的半徑為R，由題意得：，解得：R cm，故選：C【點睛】本題考查的知識點是球的體積，圓柱的體積，正確理解水上升部分的容積，等于球的體積，是解答的關(guān)鍵5.過正方形的頂點，作平面，若，則平面和平面所成的銳二面角的大小是A. B. C. D. 【答案】B【解析】法一：建立如圖(1)所示的空間直角坐標系，不難求出平面APB與平面PCD的法向量分別為n1(0,1,0)，n2(0,1,1)，故平面ABP與平面CDP所成二面角的余弦值為，故所求的二面角的大小是45.法二：將其補成正方體如圖(2)，不難發(fā)現(xiàn)平面ABP和平面CDP所成的二

5、面角就是平面ABQP和平面CDPQ所成的二面角，其大小為45.6.已知正三棱錐中，E是側(cè)棱SC的中點，且，則與底面所成角的余弦值為()A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】過點S作SO平面ABC，連接OB，則點O為正三角形ABC的中心，SBO即為所求角，確定各側(cè)面是全等的等腰直角三角形，即可得到結(jié)論【詳解】過點S作SO平面ABC，連接OB，則點O為正三角形ABC的中心，SBO即為所求角，AO是AS在平面ABC內(nèi)的射影，且AOBCSABC又SABE，SA平面SBC，SASC，SASBRtSAB內(nèi)，設(shè)SASBa，則AB，OBa，cosOBS故選：A【點睛】本題考查線面角的余弦值的求法，

6、是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)7.已知，為平面，是直線，若，則“，”是“”的( )A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合線面垂直，面面垂直的關(guān)系進行判斷即可【詳解】由，在內(nèi)任取一點P，過P作a垂直于，的交線，則a，又，則a，同理，在內(nèi)過P作b垂直于，的交線，則b，可推出l，反過來，若l，l，根據(jù)面面垂直的判定定理，可知，故“，”是“l(fā)”的充要條件，故選：C【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據(jù)空間線面垂直關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵8.如圖，一個圓錐的底面半徑為2，高為6

7、，在其中有一個高為的內(nèi)接圓柱，當該圓柱的體積最大時，（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】A【解析】【分析】由題意內(nèi)接圓柱的高為x時，它的底面半徑r=，由此結(jié)合圓柱體積公式即可列出用x表示圓柱的體積的式子，利用不等式求最值及取到最值時的條件.【詳解】圓錐的底面半徑為2，高為6，內(nèi)接圓柱的高為x時，它的上底面截圓錐得小圓錐的高為6-x,且其底面半徑為，因此，內(nèi)接圓柱的底面半徑r=；圓柱的體積V（0x6），又，圓柱的體積V，當且僅當2x=6-x時等號成立，即x=2， 故選A.【點睛】本題考查了圓柱的體積公式和旋轉(zhuǎn)體的內(nèi)接外切等知識點，考查了基本不等式的應用，通過相似找到圓柱底面半徑是關(guān)鍵，

8、屬于中檔題9.已知分別是長方體的棱的中點，若，則四面體的外接球的表面積為( )A. 13B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】四面體的外接球就是直三棱柱DECD1FC1的外接球，根據(jù)數(shù)據(jù)求解即可.【詳解】如圖所示，四面體的外接球就是直三棱柱DECD1FC1，的外接球，設(shè)棱柱DECD1FC1的底DEC的外接圓圓心為G，三棱柱DECD1FC1，的外接球為O，DEC的外接圓半徑r+，解得r，外接球的半徑R，四面體的外接球的表面積為413故答案為：13【點睛】本題考查了幾何體的外接球，將四面體的外接球轉(zhuǎn)化為柱體的外接球是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題10.如圖，正方形網(wǎng)格紙中的實線圖形是一個多面體的三視

9、圖，則該多面體各表面所在平面互相垂直的有（ ）A. 2對B. 3對C. 4對D. 5對【答案】C【解析】【分析】畫出該幾何體的直觀圖，易證平面平面，平面平面，平面平面，平面平面，從而可選出答案?！驹斀狻吭搸缀误w是一個四棱錐，直觀圖如下圖所示，易知平面平面，作POAD于O，則有PO平面ABCD，POCD，又ADCD，所以，CD平面PAD，所以平面平面，同理可證：平面平面，由三視圖可知：POAOOD，所以，APPD，又APCD，所以，AP平面PCD，所以，平面平面，所以該多面體各表面所在平面互相垂直的有4對【點睛】本題考查了空間幾何體的三視圖，考查了四棱錐的結(jié)構(gòu)特征，考查了面面垂直的證明，屬于中檔

10、題。11.已知正方體，在空間中到三條棱所在直線距離相等的點的個數(shù)（ ）A. 0B. 2C. 3D. 無數(shù)個【答案】D【解析】【分析】由于點D、B1顯然滿足要求，猜想B1D上任一點都滿足要求，然后證明結(jié)論【詳解】在正方體ABCDA1B1C1D1上建立如圖所示空間直角坐標系，并設(shè)該正方體的棱長為1，連接B1D，并在B1D上任取一點P，因為（1，1，1），所以設(shè)P（a，a，a），其中0a1作PE平面A1D，垂足為E，再作EFA1D1，垂足為F，則PF是點P到直線A1D1的距離所以PF；同理點P到直線AB、CC1的距離也是所以B1D上任一點與正方體ABCDA1B1C1D1的三條棱AB、CC1、A1D1

11、所在直線的距離都相等，所以與正方體ABCDA1B1C1D1的三條棱AB、CC1、A1D1所在直線的距離相等的點有無數(shù)個故選：D【點睛】本題主要考查合情推理的能力及空間中點到線的距離的求法，考查了推理論證能力，屬于中檔題12.棱長為4的正方體的頂點在平面內(nèi)，平面與平面所成的二面角為，則頂點到平面的距離的最大值（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】如圖所示，O在AC上，C1O，垂足為E，則C1E為所求，OAE30，由題意，設(shè)COx，則AO4x，由此可得頂點C1到平面的距離的最大值【詳解】如圖所示，AC的中點為O，C1O，垂足為E，則C1E為所求，AOE30由題意，設(shè)COx，則AO

12、4x，C1O，OEOA2x，C1E2x，令y2x，則y0，可得x，x，頂點C1到平面的距離的最大值是2（）故選：B【點睛】本題考查頂點C1到平面的距離的最大值，考查學生的計算能力，正確作圖是關(guān)鍵二、填空題（共4小題，每小題5分，共20分）13.在棱長為1的正方體中，為棱的中點，用過點的平面截去該正方體，則截面積為_.【答案】【解析】【分析】將平面延展，找到截面的形狀為菱形，再求面積即可.【詳解】正方體ABCDA1B1C1D1中，過點A，E，C1的平面延展后與交于F，面面, 面面=, 面面=,又為棱的中點，所以F為棱的中點，截面為菱形，其面積為=，故答案為【點睛】本題主要考查了空間截面問題的作法

13、，考查了面面平行的性質(zhì)定理的應用，是基礎(chǔ)題14.某裝飾品的三視圖如圖所示，則該裝飾品的體積為_. 【答案】【解析】【分析】由三視圖可知該幾何體為正方體的四個角處截去一個四分之一個圓錐，然后根據(jù)正方體及圓錐體積公式計算體積即可【詳解】由三視圖可知該幾何體為正方體的四個角處各截去四分之一個圓錐，如圖：四個四分之一個圓錐共合成一個圓錐，底面半徑為1，高為2，體積為,又正方體體積為=8，所以該裝飾品的體積為.故答案為【點睛】本題主要考查三視圖的還原，以及棱柱、圓錐的體積公式，利用三視圖確定幾何體的直觀圖是解決此類問題的關(guān)鍵15.在三棱錐中，,分別為棱和棱上的動點，則的周長范圍_.【答案】【解析】【分析

14、】首先，展開三棱錐，然后，兩點間的連接線即是截面周長的最小值，然后，由圖觀察，最外層的長度為最大值，求解其距離即可【詳解】三棱錐如圖：把三棱錐ABCD的側(cè)面展開如圖，, B,A,共線，此時兩點間的連接線即是的周長的最小值8，但此時E，F(xiàn)重合于A，不能構(gòu)成三角形，所以取不到8由圖觀察，當分別在棱和棱上由A向下移動時，的長度先變小，移動至分別與AD，AC垂直時，的長度最小，再向下移動逐漸變大，所以的周長最大為=15,故答案為.【點睛】本題重點考查了空間中的距離最值問題，將其轉(zhuǎn)化為平面問題是關(guān)鍵，屬于中檔題注意等價轉(zhuǎn)化思想的靈活運用16.已知邊長為的菱形中，沿對角線折成二面角的大小為的四面體且，則四

15、面體的外接球的表面積為_【答案】【解析】【分析】正確作出圖形，找到球心，利用勾股定理建立方程，求出四面體的外接球的半徑，即可求出四面體的外接球的表面積【詳解】如圖所示，AC=ABC60，F(xiàn)，E分別為AC，ABC的中心，過F，E分別作面AC與面ABC的垂線交于O，則O為外接球的球心， ，,又，,四面體的外接球的表面積為454，故答案為54【點睛】本題考查四面體的外接球的表面積，考查學生的計算能力，正確找到外接球的球心并求出四面體的外接球的半徑是關(guān)鍵三解答題(本大題共6小題，共70分. 解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17.已知正方體的棱長為2.（1）求點到平面的距離；（2）平面截該正方體

16、的內(nèi)切球，求截面積的大小；【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）求出平面ACD1的法向量，利用向量法能求出點B到平面ACD1的距離（2）根據(jù)正方體和球的結(jié)構(gòu)特征，求得球O被平面ACD1所截得的圓的半徑即可【詳解】（1）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系，A（2，0，0），B（2，2，0），C1（0，2，2），C（0，2，0），D1（0，0，2），（0，2，2），（2，2，0），（0，2，0），設(shè)平面ACD1的法向量（x，y，z），則，取y1，得（1，1，1），點B到平面ACD1的距離d（2）如圖，O為球心，也是正方體的中心，設(shè)球O被平面ACD1所截得截面

17、為AC的內(nèi)切圓，半徑為r，AC中點為M，則rD1M， 故截面圓的面積【點睛】本題考查了空間向量法解決距離問題，考查了正方體和它的內(nèi)接球的結(jié)構(gòu)特征，關(guān)鍵是想象出截面圖的形狀，考查了空間想象能力18.在以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立的極坐標系中，曲線的參數(shù)方程(為參數(shù))，曲線的極坐標方程：.(1)求曲線和曲線的直角坐標方程；(2)設(shè)曲線交軸于點（不是原點），過點的直線交曲線于A，B兩個不同的點，求的取值范圍【答案】（1），；（2）【解析】【分析】(1)利用正弦與余弦的關(guān)系直接消去，可得曲線的直角坐標方程，再利用極坐標與直角坐標的互化公式得到的直角坐標方程；（2）將直線的參數(shù)方程與曲線的普通

18、方程聯(lián)立，利用韋達定理及直線中參數(shù)的幾何意義求得結(jié)果.【詳解】(1)將(為參數(shù))消去參數(shù)得到，將兩邊同乘以，利用極坐標與直角坐標的互化公式得到；（2）令解得x=0或4，所以,所以直線的參數(shù)方程（為參數(shù)）代入，整理可得：，由得： 因此，的取值范圍【點睛】本題考查了參數(shù)方程、普通方程、極坐標方程的互化，考查了直線的參數(shù)方程的形式及應用，屬于中檔題.19.已知斜三棱柱的所有棱長都相等，且.(1)求證：；(2)直線與直線所成角的余弦值.【答案】（1）見解析；（2）【解析】【分析】（1）通過和為等邊三角形，可得從而得BC平面A1AD，得到A1ABC；（2）利用異面直線所成角的定義作出，找到直線與直線所成

19、角，在中利用余弦定理求解即可.【詳解】（1）連接,取線段的中點為，再連接. 三棱柱的所有棱長相等，且 和為等邊三角形 為上述兩個三角形公共邊的中點 平面， 平面平面(2)連接交于點M,取線段的中點為N，再連接.不妨設(shè)棱長為2.由得,因而四邊形為正方形,. 分別為的邊的中點, 即為直線與直線所成角，同（1）可知和為等邊三角形，.在中，所以，直線與直線所成角的余弦值.【點睛】本題考查異面直線所成角的求法，考查空間線線、線面的平行與垂直關(guān)系，考查空間想象能力與思維能力，屬于中檔題20.（本小題滿分12分）已知在四棱錐中，底面是矩形，且，平面，分別是線段，的中點.（1）判斷并說明上是否存在點，使得平面

20、?若存在，求出的值；若不存在，請說明理由；（2）若與平面所成的角為，求二面角的平面角的余弦值.【答案】（1）存在，；（2）.【解析】試題分析：（1）根據(jù)四棱錐中，底面，底面是矩形可知，可以通過建立空間直角坐標系來求解問題，設(shè)，根據(jù)條件中給出的數(shù)據(jù)可得，從而可求得平面的一個法向量，再由平面，可知，可得，因此存在滿足條件的點，且；（2）由與平面所成的角為可知，結(jié)合（1）可知平面的一個法向量為，再取平面的一個法向量為，可求得，即二面角的平面角的余弦值為.試題解析：（1）建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)，設(shè)平面的一個法向量，；（2）為直線與平面所成的角，由（1）知，平面的一個法向量為，取平面的一個法向量為，二面角的平面角的余弦值為.考點：1.空間直角坐標系的建立；2.二面角與法向量的運用.21.已知橢圓的離心率為，且過點求橢圓方程；設(shè)不過原點的直線與該橢圓交于兩點，直線的斜率依次，滿足，試問：當變化時，是否為定值？若是，求出此定值，并證明你的結(jié)論；若不是，請說明理由.【答案】（1）；（2），證明過程詳見解析【解析】試題分析：（1）求橢圓的標準方程，就是要確定的值，只要找到兩個關(guān)于的等式即可，本題中一個離心率，一個是橢圓過已知點，由此可得；（2）設(shè)交點，把直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，消去后，可得，計算，化簡后并把代入可得結(jié)論試題解析：（1）依題意可