幾何概型教學設(shè)計

1、貴州師范大學設(shè)計（論文）題目 “幾何概型”教學設(shè)計與研究 專 業(yè) 數(shù) 學 與 應 用 數(shù) 學 班 級 數(shù) 學 （1） 班 姓 名 臧 爾 輝 學 號 0 指導教師 姜 文 老 師 “幾何概型”教學設(shè)計與研究摘要: 幾何概型從教學重點、難點，和生活中的例子相結(jié)合起來，讓學生更很好的掌握好知識，鎖具的例子在學生的能力范圍內(nèi)，并且新穎，從而能讓學生很快的投入思考和學習。在情景引例中教學設(shè)計的目的明確，概念形成有條有理。關(guān)鍵詞: 幾何概型 教學設(shè)計 課堂教學教學內(nèi)容：人教版數(shù)學必修3第三章第3.3.1節(jié)幾何概型。學情分析：這部分是新增加的內(nèi)容，介紹幾何概型主要是為了更廣泛地滿足隨機模擬的需要，但是對幾

2、何概型的要求僅限于初步體會幾何概型的意義，所以教科書中選的例題都是比較簡單的，隨機模擬部分是本節(jié)的重點內(nèi)容。幾何概型是另一類等可能概型，它與古典概型的區(qū)別在于試驗的結(jié)果不是有限個。 本節(jié)的教學需要一些實物模型為教具,如教科書中的轉(zhuǎn)盤模型、例2中的隨機撒豆子的模型等，教學中應當注意讓學生實際動手操作，以使學生相信模擬結(jié)果的真實性。幾何概型也是一種概率模型，它與古典概型的區(qū)別是試驗的可能結(jié)果不是有限個；它的特點是在一個區(qū)域內(nèi)均勻分布，所以隨機事件的概率大小與隨機事件所在區(qū)域的形狀、位置無關(guān)，只與該區(qū)域的大小有關(guān)。教材的地位與作用：概率的初步知識在初中已經(jīng)介紹，在選修模塊的系列2中還將繼續(xù)學習概率的

3、其他內(nèi)容，因此，本章在高中階段概率的學習中，起了承前啟后的作用。本章的核心是運用數(shù)學方法去研究不確定現(xiàn)象的規(guī)律，讓學生初步形成用科學的態(tài)度、辯證的思想、隨機的觀念去觀察、分析研究客觀世界的態(tài)度，并獲取認識世界的初步知識和科學方法；這對全面系統(tǒng)地掌握概率知識，對于學生辯證思想的進一步形成具有促進的作用。教學目標： 知識與技能了解幾何概型的意義，會運用幾何概型的概率計算公式，會求簡單的幾何概型事件的概率。過程與方法:通過游戲、案例分析，學習運用幾何概型的過程，初步體會幾何概型的含義，體驗幾何概型與古典概型的聯(lián)系與區(qū)別。情感、態(tài)度與價值觀:通過對幾何概型的研究，感知生活中的數(shù)學，體會數(shù)學文化，培養(yǎng)學

4、生的數(shù)學素養(yǎng)。教學重點：幾何概型的特點，幾何概型的識別，幾何概型的概率公式。教學難點：將現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化為幾何概型問題，從實際背景中找?guī)缀味攘?。教學過程：一、復習引入1、古典概型的兩個基本特征是什么？2、如何計算古典概型的概率？在提出問題的同時,要引領(lǐng)學生回顧知識.二、創(chuàng)設(shè)情景，引入新課1、問題情境1問題引入引例1 北京奧運會圓滿閉幕，某玩具廠商為推銷其生產(chǎn)的福娃玩具，擴大知名度，特舉辦了一次有獎活動：顧客隨意擲兩顆骰子，如果點數(shù)之和大于10，則可獲得一套福娃玩具，問顧客能得到一套福娃玩具的概率是多少？ 設(shè)計意圖：復習鞏固古典概型的特點及其概率公式，為幾何概型的引入做好鋪墊.引例2 廠商為了增強活

5、動的趣味性，改變了活動方式，設(shè)立了一個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤（如圖1）轉(zhuǎn)盤被等分成8個扇形區(qū)域.顧客隨意轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，如果轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時，指針正好指向陰影區(qū)域，顧客則可獲得一套福娃玩具.問顧客能得到一套福娃玩具的概率是多少？設(shè)計意圖：1以實際問題引發(fā)學生的學習興趣和求知欲望；2以此為鋪墊，通過具體問題情境引入課題；3簡單直觀，符合學生的思維習慣和認知規(guī)律.問題提出后，學生根據(jù)日常生活經(jīng)驗很容易回答：“由面積比計算出概率為1/4.”提問：為什么會想到用面積之比來解決問題的呢？這樣做有什么理論依據(jù)嗎？ 學生思考，回答：“上一節(jié)剛學習的古典概型的概率就是由事件所包含的基本事件數(shù)占試驗的基本事件總數(shù)的比例來解

6、決的，所以聯(lián)想到用面積的比例來解決.”教師繼續(xù)提問：這個問題是古典概型嗎？ 通過提問，引導學生回顧古典概型的特點：有限性和等可能性.發(fā)現(xiàn)這個問題雖然貌似古典概型，但是由于這個問題中的基本事件應該是“指針指向的位置”，而不是“指針指向的區(qū)域”，所以有無限多種可能，不滿足有限性這個特點，因此不是古典概型. 也就是說，我們不能用古典概型的概率公式去解決這個問題，剛才我們的解答只是猜測.到這里，我們自然而然地需要一個理論依據(jù)去支持這個猜測，從而引入幾何概型的概念.中黃心的概率有多大？2、學生活動（分組討論）分析上述三個題目，回答問題：1)如圖，甲乙兩人玩轉(zhuǎn)盤游戲,規(guī)定當指針指向B區(qū)域時,甲獲勝,否則乙

7、獲勝。 求甲獲勝的概率?顯然，它無法用古典概型解答，雖然它發(fā)生的可能性是相同的，但試驗可能的結(jié)果是無窮的。但在圖（1）中，顯然甲獲勝的概率為1/2；以轉(zhuǎn)盤（2）為游戲工具時，甲獲勝的概率為3/5。事實上，甲獲勝的概率與陰影所在扇形區(qū)域的圓弧的長度（面積）有關(guān)，而與陰影所在區(qū)域的位置無關(guān)。2)如圖,記“剪得兩段的長都不小于1 m”為事件A.把繩子三等分,于是當剪斷位置處在中間一段上時,事件A發(fā)生.由于中間一段的長度等于繩長的,于是事件A發(fā)生的概率P(A)=。 3)如圖,記“射中黃心”為事件B,由于中靶心隨機地落在面積為1222 cm2的大圓內(nèi),而當中靶點落在面積為12.22 cm2的黃心內(nèi)時,事

8、件B發(fā)生,于是事件B發(fā)生的概率 P(B)=0.01.設(shè)計目的：通過具體事例，讓學生抽象出幾何模型。通過與古典概型進行比較，找出本節(jié)課所要研究的模型幾何概型，弄清它與古典概型的不同之處，從而引出幾何概型的概念、基本特點、概率計算公式，之后要加以說明，以便學生理解與記憶.幫助學生弄清其形式和本質(zhì)，明確學習的目的。2概念形成記引例2中的事件為“指針指向陰影區(qū)域”，通過剛才的分析，我們發(fā)現(xiàn)事件包含的基本事件有無數(shù)個，而試驗的基本事件總數(shù)也是無數(shù)個.如果我們仿照古典概型的概率公式，用事件包含的基本事件個數(shù)與試驗的基本事件總數(shù)的比例來解決這個問題，那樣就會出現(xiàn)“無數(shù)比無數(shù)”的情況，沒有辦法求解.因此，我們

9、需要一個量，來度量事件和，使這個比例式可以操作，這個量就稱為“幾何度量”.這就得到了幾何概型的概率公式，其中表示區(qū)域的幾何度量，表示子區(qū)域的幾何度量.引例2就可以選取面積做幾何度量來解決.通過上面的分析，引導學生發(fā)現(xiàn)：幾何概型與古典概型的區(qū)別在于它的試驗結(jié)果不是有限個，但是它的試驗結(jié)果在一個區(qū)域內(nèi)均勻地分布，因此它滿足無限性和等可能性的特征.其求解思路與古典概型相似，都屬于“比例解法”.1、對以上三個試驗做出分析、以上三個試驗共同點：所有基本事件的個數(shù)都是無限多個；每個基本事件發(fā)生的可能性都相等。三個試驗的概率是怎樣求得的？簡單的說所求概率就是它們的面積之比、體積之比和長度之比，具體的說，就是

10、把基本事件空間理解為一個區(qū)域，不妨記為，而事件A可以理解為它的一個子區(qū)域，而所求的概率就是用子區(qū)域A的幾何度量（長度、面積、體積）比上區(qū)域的幾何度量。我們把滿足上述條件的試驗稱為幾何概型，參照上述三個試驗請給出幾何概型的定義。2、幾何概型的定義、計算公式與特征（1）定義：事件A理解為區(qū)域W的某一子區(qū)域A，A的概率只與子區(qū)域A的幾何度量（長度、面積或體積）成正比，而與A的位置和形狀無關(guān)。滿足以上條件的試驗稱為幾何概型。（2）在幾何概型中，事件的概率計算公式為其中mW表示區(qū)域W的幾何度量，mA表示區(qū)域A的幾何度量。（3）特征：試驗中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果（基本事件）有無限多個；每個基本事件發(fā)生的可能性

11、都相等。3、古典概型和幾何概型的比較古典概型幾何概型所有基本事件的個數(shù)有限個無限個每個基本事件發(fā)生的可能性等可能等可能概率的計算公式4、怎樣求幾何概型的概率對于復雜的實際問題,解題的關(guān)鍵是要建立模型,找出隨機事件與所有基本事件相對應的幾何區(qū)域,把問題轉(zhuǎn)化為幾何概率問題,利用幾何概率公式求解. 利用幾何概型的定義判斷該問題能否轉(zhuǎn)化為幾何概型求解； 把基本事件空間轉(zhuǎn)化為與之對應的區(qū)域； 把隨機事件A轉(zhuǎn)化為與之對應的區(qū)域A； 利用幾何概型概率公式計算。5、說明：區(qū)域W內(nèi)隨機取點是指：該點落在區(qū)域內(nèi)任何一處都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只與該部分的測度成正比而與其形狀位置無關(guān)其中“幾何度量”的

12、意義依W確定，當W分別是線段，平面圖形，立體圖形時，相應的“幾何度量”分別是長度，面積和體積設(shè)計目的：通過對比、歸納將新的知識建構(gòu)到舊的知識系統(tǒng)，完成知識的延伸.四、實際應用1、模型應用例1：在500ml的水中有一只草履蟲，現(xiàn)從中隨機取出ml水樣放到顯微鏡下觀察，求發(fā)現(xiàn)草履蟲的概率.分析：草履蟲在這ml水樣中的分布可以看做是隨機的（符合幾何概型），于是發(fā)現(xiàn)草履蟲的概率等于取出水的體積與所有水的體積的比.解：取出2mL水，其中“含有草履蟲”這一事件記為A，則=0.004答：發(fā)現(xiàn)草履蟲的概率是0.004.例2：取一個邊長為2a的正方形及其內(nèi)切圓，隨機向正方形內(nèi)丟一粒豆子，求豆子落入圓內(nèi)的概率.分析

13、：由于是隨機丟豆子，故可認為豆子落入正方形內(nèi)任一點的機會都是均等的（符合幾何概型），于是豆子落入圓中的概率應等于圓面積與正方形面積的比.解：記“豆子落入圓內(nèi)”為事件A，則答：豆子落入圓內(nèi)的概率為.ABCDFGEH變式訓練1：ABCDFGEHABCDFGEH在邊長為2的正方形ABCD中，E、F、G、H分別是四邊中點，將米粒隨機撒在正方形中，若米粒落在下列3個圖中陰影部分區(qū)域的概率分別是P1、P2、P3 .則其大小關(guān)系是( P2 P1=P3 )例3：某人午覺醒來，發(fā)現(xiàn)表停了，他打開收音機，想聽電臺整點報時，求他等待的時間不多于10分鐘的概率。分析：他在哪個時間段打開收音機的概率只與該時間段的長度有

14、關(guān)，而與該時間段的位置無關(guān)，這符合幾何概型的條件，由于收音機每一小時報一次，可以認為此人打開收音機的時間正處于兩次報時之間，即處于0，60的任意一點，于是概率等于等待時間段的長度與兩個整點之間長度的比。解：記“等待的時間不多于10分鐘”記為事件A，則 P（A）=答：等待的時間不多于10分鐘的概率為.變式訓練2： 某路公共汽車5分鐘一班準時到達某車站,求某一人在該車站等車時間少于3分鐘的概率（假定車到來后每人都能上）.解：設(shè)上一班車離站時刻為a,則某人到站的一切可能時刻為=(a,a+5),記“等車時間少于3分鐘”為事件A，則他到站的時刻只能為m=(a+2,a+5)中的任一時刻,故P(A)= .設(shè)

15、計目的：1）分別從三個測度體積、面積、長度來體現(xiàn)幾何概型的求解方式。2）經(jīng)歷將一些實際問題轉(zhuǎn)化為幾何概型的過程，探求正確應用幾何概型的概率計算公式解決問題的方法。2、歸納總結(jié)怎樣求幾何概型的概率對于復雜的實際問題,解題的關(guān)鍵是要建立模型,找出隨機事件與所有基本事件相對應的幾何區(qū)域,把問題轉(zhuǎn)化為幾何概率問題,利用幾何概率公式求解，具體分以下四個步驟: 利用幾何概型的定義判斷該問題能否轉(zhuǎn)化為幾何概型求解； 把基本事件空間轉(zhuǎn)化為與之對應的區(qū)域； 把隨機事件A轉(zhuǎn)化為與之對應的區(qū)域A； 利用幾何概型概率公式計算。設(shè)計目的：通過歸納總結(jié)，得出這類問題的解決方法，將感性思維上升為理性思維。3、當堂練習(1)

16、 (1) 在數(shù)軸上，設(shè)點x-3,3中按均勻分布出現(xiàn)，記a(-1,2】為事件A，則P（A）=（ C ）A、1 B、0 C、1/2 D、1/3023-3-1P（A）=30米20米(2) 一海豚在水池中自由游弋，水池長為30m,寬20m的長方形，求此刻海豚嘴尖離岸邊不超過2m的概率解：事件A=“海豚嘴尖離岸邊不超過2m ” 答：海豚嘴尖離岸邊不超過2m的概率是.（3）在1萬平方千米的海域中有40平方千米的大陸架儲藏著石油,假設(shè)在海域中任意一點鉆探,鉆到油層面的概率是多少？分析：石油在1萬平方千米的海域大陸架的分布可以看作是隨機的，而40平方千米可看作構(gòu)成事件的區(qū)域面積,由幾何概型公式可以求得概率.解

17、：記“鉆到油層面”為事件A,則P(A)= =0.004.答：鉆到油層面的概率是0.004.設(shè)計目的：通過練習，強調(diào)在解決問題的時候注意看問題的角度（基本事件）。4、當堂檢測（1）在區(qū)間1，3上任意取一數(shù)，則這個數(shù)不小于1.5的概率是多少？ 1 1.5 3P=0.75（2）在高產(chǎn)小麥種子100ml中混入了一粒帶銹病的種子，從中隨機取出3ml，求含有麥銹病種子的概率是多少？=0.03（3）在墻上掛著一塊邊長為16cm的正方形木板，上面畫了小、中、大三個同心圓，半徑分別為2cm，4cm，6cm，某人站在3m之外向此此板投鏢，設(shè)投鏢擊中線上或沒有投中木板時都不算，可重投，問：（1） 投中大圓內(nèi)的概率是

18、多少？（2） 投中小圓與中圓形成的圓環(huán)的概率是多少？（3） 投中大圓之外的概率是多少？P1=P2=P3=1- 1- 設(shè)計目的：通過檢測，檢查學生對幾何概型概率模型的把握與公式的應用，加強對幾何概型的掌握。5、課后拓展 (1)在等腰直角三角形ABC中，在斜邊AB上任取一點M,求AM小于AC的概率.分析: 點M隨機地落在線段AB上（符合幾何概型），故線段AB為區(qū)域D.當點M位于右下圖中線段AC內(nèi)時，AMAC，故線段AC即為區(qū)域D.解 在AB上截取AC=AC于是P(AMAC)=P(AMAC).答: AM小于AC的概率為.(2) 平面上畫了一些彼此相距2a的平行線,把一枚半徑ra的硬幣任意擲在這個平面

19、上,求硬幣不與任何一條平行線相碰的概率.解：把“硬幣不與任一條平行線相碰”的事件記為事件A,為了確定硬幣的位置,由硬幣中心O向靠得最近的平行線引垂線OM,垂足為M,如右圖所示,這樣線段OM長度（記作OM）的取值范圍就是0,a,只有當rOMa時硬幣不與平行線相碰,所以所求事件A的概率就是P（A）=. (3) 兩人相約8點到9點在某地會面,先到者等候另一人20分鐘,過時就可離去,試求這兩人能會面的概率.解：設(shè)甲、乙各在第x分鐘和第y分鐘到達,則樣本空間為：(x,y)|0x60,0y60,畫成圖為一正方形(如下圖).以x,y分別表示兩人的到達時刻,則兩人能會面的充要條件為|x-y|20,而能會面的點的區(qū)域用陰影標出（如圖所示），所求概率為P=. 設(shè)計目的：通過拓展練習，讓同學們體驗，長度，面積，體積，角度，弧長之間在求幾何概型中的重要應用。五回顧小結(jié)：（1）幾何概型的概念及基本特點；（2）幾何概型中概率的計算