圓與圓位置關(guān)系判斷教案

1、導(dǎo)入新課思路1.平面幾何中,圓與圓的位置關(guān)系有哪幾種呢？如何判斷圓與圓之間的位置關(guān)系呢？判斷兩圓的位置關(guān)系的步驟及其判斷方法如下:第一步：計算兩圓的半徑R,r；第二步：計算兩圓的圓心距O1O2,即d；第三步：根據(jù)d與R,r之間的關(guān)系,判斷兩圓的位置關(guān)系.兩圓的位置關(guān)系：外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含dR+rd=R+r|R-r|dR+rd=|R-r|d|R-r| 在解析幾何中,我們用代數(shù)的方法如何判斷圓與圓之間的位置關(guān)系呢？這就是我們本堂課研究的課題,教師板書課題圓與圓的位置關(guān)系.思路2.前面我們學(xué)習(xí)了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、直線與圓的位置關(guān)系,那么,圓與圓的位置關(guān)系有哪幾種呢？如何判斷圓與圓之間的位置關(guān)系呢？

2、教師板書課題:圓與圓的位置關(guān)系.推進(jìn)新課新知探究提出問題初中學(xué)過的平面幾何中,圓與圓的位置關(guān)系有幾種？判斷兩圓的位置關(guān)系,你有什么好的方法嗎？你能在同一個直角坐標(biāo)系中畫出兩個方程所表示的圓嗎？根據(jù)你所畫出的圖形,可以直觀判斷兩個圓的位置關(guān)系.如何把這些直觀的事實轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言呢？如何判斷兩個圓的位置關(guān)系呢？若將兩個圓的方程相減,你發(fā)現(xiàn)了什么？兩個圓的位置關(guān)系是否可以轉(zhuǎn)化為一條直線與兩個圓中的一個圓的關(guān)系的判定呢？活動： 教師引導(dǎo)學(xué)生回顧學(xué)過的知識、舉例,并對學(xué)生活動進(jìn)行評價；學(xué)生回顧知識點(diǎn)時,可互相交流.教師引導(dǎo)學(xué)生閱讀教科書中的相關(guān)內(nèi)容,注意個別輔導(dǎo),解答學(xué)生疑難,并引導(dǎo)學(xué)生自己總結(jié)解題的方

3、法.學(xué)生觀察圖形并思考,發(fā)表自己的解題方法.教師應(yīng)該關(guān)注并發(fā)現(xiàn)有多少學(xué)生利用“圖形”求解,對這些學(xué)生應(yīng)該給予表揚(yáng).同時強(qiáng)調(diào),解析幾何是一門數(shù)與形結(jié)合的學(xué)科.啟發(fā)學(xué)生利用圖形的特征,用代數(shù)的方法來解決幾何問題.教師指導(dǎo)學(xué)生利用兩個圓的圓心坐標(biāo)、半徑長、連心線長的關(guān)系來判別兩個圓的位置.學(xué)生互相探討、交流,尋找解決問題的方法,并能通過圖形的直觀性,利用平面直角坐標(biāo)系的兩點(diǎn)間距離公式尋求解題的途徑.討論結(jié)果：初中學(xué)過的平面幾何中,圓與圓的位置關(guān)系有五類,分別是外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含.判斷兩圓的位置關(guān)系,我們可以類比直線與圓的位置關(guān)系的判定,目前我們只有初中學(xué)過的幾何法,利用圓心距與兩圓半徑的和

4、與差之間的關(guān)系判斷.略.根據(jù)所畫出的圖形,可以直觀判斷兩個圓的位置關(guān)系.用幾何的方法說就是圓心距(d)與兩圓半徑(r,R)的和與差之間的關(guān)系.判斷兩個圓的位置關(guān)系.一是可以利用幾何法,即兩個圓的圓心坐標(biāo)、半徑長、連心線長的關(guān)系來判別兩個圓的位置關(guān)系.設(shè)兩圓的連心線長為l,則判別圓與圓的位置關(guān)系的依據(jù)有以下幾點(diǎn)：1當(dāng)dR+r時,圓C1與圓C2外離；2當(dāng)d=R+r時,圓C1與圓C2外切；3當(dāng)|R-r|dR+r時,圓C1與圓C2相交；4當(dāng)d=|R-r|時,圓C1與圓C2內(nèi)切；5當(dāng)d|R-r|時,圓C1與圓C2內(nèi)含； 二是看兩圓的方程組成的方程組的實數(shù)解的情況,解兩個圓的方程所組成的二元二次方程組.若

5、方程組有兩組不同的實數(shù)解,則兩圓相交；若方程組有兩組相同的實數(shù)解,則兩圓相切；若無實數(shù)解,兩圓相離.總結(jié)比較兩種方法的優(yōu)缺點(diǎn).幾何方法：直觀,容易理解,但不能求出交點(diǎn)坐標(biāo).代數(shù)方法：1只能判斷交點(diǎn),并不能準(zhǔn)確的判斷位置關(guān)系(有一個交點(diǎn)時不能判斷內(nèi)切還是外切,無交點(diǎn)時不能判斷內(nèi)含還是外離).2優(yōu)點(diǎn)是可以求出公共點(diǎn).若將兩個圓的方程相減,得到一個一元一次方程,既直線方程,由于它過兩圓的交點(diǎn),所以它是相交兩圓的公共弦的方程.兩個圓的公共點(diǎn)的問題可以化歸為這條公共直線與兩個圓中的一個圓的公共點(diǎn)的判定問題.由點(diǎn)到直線的距離公式來判斷.應(yīng)用示例思路1例1 已知圓C1：x2+y2+2x+8y-8=0,圓C2

6、：x2+y2-4x-4y-2=0,判斷兩圓的位置關(guān)系.活動:學(xué)生思考交流,教師引導(dǎo)提示,判斷兩圓的位置關(guān)系有兩種基本的方法,要合理使用.方法一看兩圓的方程組成的方程組的實數(shù)解的情況,方法二利用圓心距與兩圓半徑的和與差之間的關(guān)系判斷.解:方法一:圓C1與圓C2的方程聯(lián)立得到方程組-得x+2y-1=0, 由得y=,把上式代入并整理得x2-2x-3=0. 方程的判別式=(-2)2-41(-3)=160,所以方程有兩個不等的實數(shù)根,即圓C1與圓C2相交.方法二:把圓C1:x2+y2+2x+8y-8=0,圓C2:x2+y2-4x-4y-2=0,化為標(biāo)準(zhǔn)方程,得(x+1)2+(y+4)2=25與(x-2)

7、2+(y-2)2=10.圓C1的圓心是點(diǎn)(-1,-4),半徑長r1=5;圓C2的圓心是點(diǎn)(2,2),半徑長r2=.圓C1與圓C2的連心線的長為=3,圓C1與圓C2的半徑長之和為r1+r2=5+,半徑長之差為r1-r2=5-.而5-35+,即r1-r23r1+r2,所以圓C1與圓C2相交,它們有兩個公共點(diǎn)A、B.點(diǎn)評:判斷兩圓的位置關(guān)系,一般情況下,先化為標(biāo)準(zhǔn)方程,利用幾何法判斷較為準(zhǔn)確直觀.變式訓(xùn)練 判斷下列兩圓的位置關(guān)系,如果兩圓相交,請求出公共弦的方程.(1)(x+2)2+(y-2)2=1與(x-2)2+(y-5)2=16,(2)x2+y2+6x-7=0與x2+y2+6y-27=0.解:(

8、1)根據(jù)題意,得兩圓的半徑分別為r1=1和r2=4,兩圓的圓心距d=5.因為d=r1+r2,所以兩圓外切.(2)將兩圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程,得(x+3)2+y2=16,x2+(y+3)2=36.故兩圓的半徑分別為r1=4和r2=6,兩圓的圓心距d=.因為|r1-r2|dr1+r2,所以兩圓相交.例2 已知圓C1:x2+y2+2x-6y+1=0,圓C2:x2+y2-4x+2y-11=0,求兩圓的公共弦所在的直線方程及公共弦長.活動：學(xué)生審題,思考并交流,探討解題的思路,教師及時提示引導(dǎo),因兩圓的交點(diǎn)坐標(biāo)同時滿足兩個圓方程,聯(lián)立方程組,消去x2項、y2項,即得兩圓的兩個交點(diǎn)所在的直線方程,利用勾股定

9、理可求出兩圓公共弦長.解:設(shè)兩圓交點(diǎn)為A(x1,y1)、B(x2,y2),則A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)滿足方程組-,得3x-4y+6=0.因為A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)都滿足此方程,所以3x-4y+6=0即為兩圓公共弦所在的直線方程.易知圓C1的圓心(-1,3),半徑r=3.又點(diǎn)C1到直線的距離為d=.所以AB=2,即兩圓的公共弦長為.點(diǎn)評:處理圓有關(guān)的問題,利用圓的幾何性質(zhì)往往比較簡單,要注意體會和應(yīng)用.思路2例1 求過點(diǎn)A(0,6)且與圓C:x2+y2+10x+10y=0切于原點(diǎn)的圓的方程.圖1活動:學(xué)生思考交流,回顧圓的方程的求法,教師引導(dǎo)學(xué)生注意題目的條件,靈活處理,如圖1.所求圓經(jīng)過原點(diǎn)和A(0,6),且圓

10、心應(yīng)在已知圓的圓心與原點(diǎn)的連線上.根據(jù)這三個條件可確定圓的方程.解:將圓C化為標(biāo)準(zhǔn)方程,得(x+5)2+(y+5)2=50,則圓心為C(-5,-5),半徑為52.所以經(jīng)過此圓心和原點(diǎn)的直線方程為x-y=0.設(shè)所求圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2.由題意,知O(0,0),A(0,6)在此圓上,且圓心M(a,b)在直線x-y=0上,則有解得于是所求圓的方程是(x-3)2+(y-3)2=18.點(diǎn)評:求圓的方程,一般可從圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程入手,至于選擇哪一種方程形式更恰當(dāng),要根據(jù)題目的條件而定,總之要讓所選擇的方程形式使解題過程簡單.例2 已知O方程為x2+y2=4,定點(diǎn)A(4,0),求

11、過點(diǎn)A且和O相切的動圓圓心的軌跡方程.活動：教師引導(dǎo)學(xué)生回顧學(xué)過的知識,兩圓外切,連心線長等于兩圓半徑之和,兩圓內(nèi)切,連心線長等于兩圓半徑之差,由此可得到動圓圓心在運(yùn)動中所應(yīng)滿足的幾何條件,然后將這個幾何條件坐標(biāo)化,即得到它的軌跡方程.解法一：設(shè)動圓圓心為P(x,y),因為動圓過定點(diǎn)A,所以|PA|即為動圓半徑.當(dāng)動圓P與O外切時,|PO|=|PA|+2；當(dāng)動圓P與O內(nèi)切時,|PO|=|PA|2.綜合這兩種情況,得|PO|PA|=2.將此關(guān)系式坐標(biāo)化,得|=2.化簡可得(x2)2=1.解法二：由解法一可得動點(diǎn)P滿足幾何關(guān)系|OP|PA|=2,即P點(diǎn)到兩定點(diǎn)O、A的距離差的絕對值為定值2,所以P點(diǎn)軌跡是以O(shè)、A為焦點(diǎn),2為實軸長的雙曲線,中心在OA中點(diǎn)(2,0),實半軸長