概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)：第一章3第四講幾何概率

1、第四講 幾何概率,早在概率論發(fā)展初期，人們就認(rèn)識(shí)到， 只考慮有限個(gè)等可能樣本點(diǎn)的古典方法是不夠的.,請(qǐng)看演示,把等可能推廣到無限個(gè)樣本點(diǎn)場(chǎng)合,人們引入了幾何概型. 由此形成了確定概率的另一方法幾何方法.,幾何概率,定義: 設(shè)有一個(gè)可度量區(qū)域S（這個(gè)區(qū)域可以是 直線區(qū)域、平面區(qū)域或空間區(qū)域），向 區(qū)域內(nèi)任意擲一質(zhì)點(diǎn)M，此點(diǎn)落于S內(nèi)任 一位置是等可能的，且落在S內(nèi)任何子區(qū) 域A上的可能性與A的度量（如長(zhǎng)度，面 積，）成正比，而與A的位置和形狀 無關(guān)，則這個(gè)試驗(yàn)稱為幾何概型試驗(yàn)； 并定義M落在A中的概率P（A）為：,例1（約會(huì)問題）甲、乙兩人約定在6點(diǎn)到7點(diǎn)之間在 某處會(huì)面，并約定先到者應(yīng)等候另一個(gè)

2、人一刻鐘， 過時(shí)即可離去，求兩人能會(huì)面的概率。,以x, y分別表示甲乙兩人到達(dá)約會(huì)地點(diǎn)的時(shí)間，則 兩人能夠會(huì)面的充要條件是：|xy|15. 在平面 上建立直角坐標(biāo)系，如圖,則（x, y）的所有可能結(jié)果是邊 長(zhǎng)為60的正方形，圖中陰影表示 可會(huì)面的時(shí)間。,設(shè)A=兩人能會(huì)面，則,解：,例2甲、乙兩人約定在下午1點(diǎn)到2點(diǎn)之間到某車站乘公 共汽車，這段時(shí)間內(nèi)有4班公共汽車，發(fā)車時(shí)間分別 為1：15，1：30，1：45，2：00。如果規(guī)定見車就 上，求兩個(gè)人乘同一輛公共汽車的概率。,設(shè)甲、乙到達(dá)車站的時(shí)間分別為x, y 則1x2, 1y2, 確定平面S， 如圖正方形，設(shè)A=兩人 乘同一輛公共汽車，則：

3、A發(fā)生的充要條件是： 兩人到達(dá)時(shí)間x, y在同一 發(fā)車區(qū)間，即陰影部分。 故 P（A）=4/16=1/4。,解：,二. 性質(zhì):,3若 互斥，則：,古典概率的其他性質(zhì)對(duì)幾何概率也同樣成立。,1對(duì)任意事件A，有0P（A）1；,2P（S）=1；,蒲豐投針試驗(yàn),法國(guó)科學(xué)家蒲豐于1777年發(fā)現(xiàn)了隨機(jī)投針的概率與圓周率之間的關(guān)系，提供了早期學(xué)者們用隨機(jī)試驗(yàn)求 值的范例.,請(qǐng)看演示,第五講 統(tǒng)計(jì)概率,下面我們從幾個(gè)試驗(yàn)入手，揭示隨機(jī)事件一個(gè)極其重要的特征：,頻率穩(wěn)定性,頻率在一定程度上反映了事件發(fā)生的可能性大小. 盡管每進(jìn)行一連串（n次）試驗(yàn)，所得到的頻率可以各不相同，但只要 n相當(dāng)大，頻率與概率是會(huì)非常接

4、近的.,因此，概率是可以通過頻率來“測(cè)量”的, 頻率是概率的一個(gè)近似.,頻率,概率,統(tǒng)計(jì)概率是以事件的頻率具有穩(wěn)定性為基 礎(chǔ)的，下面先介紹事件頻率的概念。,頻率定義：設(shè)A為聯(lián)系于某一試驗(yàn)的事件，將 試驗(yàn)在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行n次， 用m表示A出現(xiàn)的次數(shù)，則比值 m/n稱為事件A的相對(duì)頻率， 記為fn(A),即,一般情況下： ，只有當(dāng)n充分大 時(shí)，頻率才呈現(xiàn)出穩(wěn)定性。,二. 統(tǒng)計(jì)概率: 在一組固定條件下，重復(fù)做n次試驗(yàn) ， 如果當(dāng)n增大時(shí)，事件A出現(xiàn)的頻 率fn(A)圍繞著某一個(gè)常數(shù)p擺動(dòng)；而 且一般說來，隨著n的增大，這種擺 動(dòng)的幅度越來越小，則稱常數(shù)p為事 件A的概率，即 P（A）=p。,此

5、定義適合于一切類型的試驗(yàn)，,當(dāng)n充分大時(shí)，頻率作為概率的近似值，即 ，足以滿足實(shí)際需要。,例1用某種藥物對(duì)患有胃潰瘍的512個(gè)病人進(jìn) 行治療，結(jié)果368人有明顯療效，現(xiàn)有胃 潰瘍病人預(yù)服此藥，你能對(duì)其效果作何 估計(jì)？,有明顯效果的頻率為： ，由統(tǒng) 計(jì)概率定義該患者服此藥有明顯效果的可 能性為0.72。,解：,定理：事件頻率具有如下性質(zhì)：,1. 對(duì)任意事件A，有,2,3若 為互不相容事件，則：,古典概率的其他性質(zhì)對(duì)統(tǒng)計(jì)概率也同樣成立。,由概率是頻率的數(shù)學(xué)抽象，可以推得統(tǒng)計(jì)概率 具有如下性質(zhì)：,3. 若 互不相容，則,0P（A）1；,2. P（S）=1；,第六講 概率的公理化定義,在學(xué)習(xí)幾何和代數(shù)

6、時(shí)，我們已經(jīng)知道公理是數(shù)學(xué)體系的基礎(chǔ). 數(shù)學(xué)上所說的“公理”，就是一些不加證明而公認(rèn)的前提，然后以此為基礎(chǔ)，推演出所討論對(duì)象的進(jìn)一步的內(nèi)容.,即通過規(guī)定概率應(yīng)具備的基本性質(zhì)來定義概率.,下面介紹用公理給出的概率定義.,1933年，前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫給出了概率的公理化定義.,柯爾莫哥洛夫提出的公理為數(shù)很少且極為簡(jiǎn)單， 但在此基礎(chǔ)上建立起了概率論的宏偉大廈.,概率的公理化定義,公理2 P(S)=1 規(guī)范性 (2),公理3 若事件A1, A2 , 互不相容，則有 (3) 這里事件個(gè)數(shù)可以是有限或無限的 . 可列可加性或完全可加性,公理1 P(A) 0 非負(fù)性 (1),設(shè)E是隨機(jī)試驗(yàn)，S是它的樣

7、本空間，對(duì)于S中的每一個(gè)事件A，賦予一個(gè)實(shí)數(shù)，記為P(A) ，稱為事件A的概率，如果集合函數(shù) P( ) 滿足下述三條公理:,推論1：,證明：,推論2：,若 互不相容，則：,證明：,證明：,同理可證：4.,推論5. 設(shè)A、B為任意倆事件， 則P（AB）=P（A）P（AB）；,推論6. (一般概率加法公式)對(duì)任意事件A、B有 P（AB）=P（A）+P（B）P（AB）；,推論3：0P（A）1。,推廣: P (ABC) =P (A) + P (B) + P (C) P (AB) P (AC) P (BC) + P (ABC)；,即 古典概率的性質(zhì)也是一般公理化概率的性質(zhì)。,古典概率、幾何概率、統(tǒng)計(jì)概率都是公理化概率 的特殊情況，而公理化概率是它們的數(shù)學(xué)抽象。,總結(jié)：1. 了解幾何概率、統(tǒng)計(jì)概率、概率的公 理化定義； 2. 會(huì)判定和計(jì)算幾何概率。,例1 設(shè)元件盒中裝有50個(gè)電阻，20個(gè)電感，30個(gè)電容，從盒中任取30個(gè)元件，求所取元件中至少有一個(gè)電阻同時(shí)至少有一個(gè)電感的概率.,理解題意, 用字母表示事件,電阻50個(gè), 電容30個(gè),電感20個(gè),導(dǎo)出所求事件概率 的計(jì)算公式,所求概率為P(AB),代入數(shù)據(jù)計(jì)算,從盒中任取30個(gè)元件，求所取元件中至少有一個(gè)電阻同時(shí)至少有一個(gè)電感