初中數(shù)學十一圓

1、本文為自本人珍藏 版權所有 僅供參考十一、圓 汪蘭蘇州工業(yè)園區(qū)星海學?！菊n標要求】（1）認識圓并掌握圓的有關概念和計算 知道圓由圓心與半徑確定，了解圓的對稱性. 通過圖形直觀識別圓的弦、弧、圓心角等基本元素. 利用圓的對稱性探索弧、弦、圓心角之間的關系，并會進行簡單計算和說理. 探索并了解圓周角與圓心角的關系、直徑所對圓周角的特征. 掌握垂徑定理及其推論，并能進行計算和說理. 了解三角形外心、三角形外接圓和圓內(nèi)接三角形的概念. 掌握圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)（2）點與圓的位置關系 能根據(jù)點到圓心的距離和半徑的大小關系確定點與圓的位置關系. 知道“不在同一直線上的三個點確定一個圓”并會作圖.（3）直線與

2、圓的位置關系 能根據(jù)圓心到直線的距離和半徑的大小關系確定直線與圓的位置關系. 了解切線的概念. 能運用切線的性質(zhì)進行簡單計算和說理. 掌握切線的識別方法. 了解三角形內(nèi)心、三角形內(nèi)切圓和圓的外切三角形的概念. 能過圓上一點畫圓的切線并能利用切線長定理進行簡單的切線計算.（4）圓與圓的位置關系 了解圓與圓的五種位置關系及相應的數(shù)量關系. 能根據(jù)兩圓的圓心距與兩圓的半徑之間的數(shù)量關系判定兩圓的位置關系. 掌握兩圓公切線的定義并能進行簡單計算（5）圓中的計算問題 掌握弧長的計算公式，由弧長、半徑、圓心角中已知兩個量求第三個量. 掌握求扇形面積的兩個計算公式，并靈活運用. 了解圓錐的高、母線等概念.

3、結合生活中的實例(模型)了解圓柱、圓錐的側面展開圖. 會求圓柱、圓錐的側面積、全面積，并能結合實際問題加以應用. 能綜合運用基本圖形的面積公式求陰影部分面積.【課時分布】圓的部分在第一輪復習時大約需要8個課時，其中包括單元測試.下表為內(nèi)容及課時安排（僅供參考）.課時數(shù)內(nèi)容1圓的認識及有關概念2與圓有關的位置關系1與圓有關的計算2圓的綜合性問題2圓的單元測試與評析圓切線長切線圓與圓的位置關系系圓的切線直線與圓的位置關系點與圓的位置關系垂徑定理及其推論圓周角、同弧上圓周角的關系弧、弦與圓心角與圓有關的位置關系圓的基本性質(zhì)圓的對稱性兩圓公切線與圓有關的計算弧長和扇形的面積圓錐的側面積和全面積【知識回

4、顧】1、知識脈絡2、基礎知識（1）掌握圓的有關性質(zhì)和計算 弧、弦、圓心角之間的關系:在同圓或等圓中，如果兩條劣?。▋?yōu)弧）、兩條兩個圓心角中有一組量對應相等，那么它們所對應的其余各組量也分別對應相等. 垂徑定理: 垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧 垂徑定理的推論:平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧.平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧 在同一圓內(nèi)，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于該弧所對的圓心角的一半. 圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì):圓的內(nèi)接四邊形對角互補，并且任何一個外角等于它的內(nèi)對角.（2

5、）點與圓的位置關系 設點與圓心的距離為，圓的半徑為，則點在圓外； 點在圓上； 點在圓內(nèi) 過不在同一直線上的三點有且只有一個圓. 一個三角形有且只有一個外接圓. 三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點.三角形的外心到三角形的三個頂點的距離相等.（3）直線與圓的位置關系 設圓心到直線的距離為，圓的半徑為，則直線與圓相離；直線與圓相切；直線與圓相交切線的性質(zhì):與圓只有一個公共點；圓心到切線的距離等于半徑；圓的切線垂直于過切點的半徑.切線的識別:如果一條直線與圓只有一個公共點，那么這條直線是圓的切線. 到圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線.經(jīng)過半徑的外端且垂直與這條半徑的直線是圓的切線. 三角形的內(nèi)

6、心是三角形三條內(nèi)角平分線的交點.三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等. 切線長：圓的切線上某一點與切點之間的線段的長叫做這點到圓的切線長. 切線長定理:從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等.這一點和圓心的連線平分這兩條切線的夾角.（4）圓與圓的位置關系圓與圓的位置關系有五種:外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含. 設兩圓心的距離為，兩圓的半徑為，則兩圓外離 兩圓外切 兩圓相交 兩圓內(nèi)切 兩圓內(nèi)含 兩個圓構成軸對稱圖形，連心線（經(jīng)過兩圓圓心的直線）是對稱軸.由對稱性知:兩圓相切，連心線經(jīng)過切點. 兩圓相交，連心線垂直平分公共弦. 兩圓公切線的定義:和兩個圓都相切的直線叫做兩圓的公切線.兩個圓在公切線

7、同旁時,這樣的公切線叫做外公切線.兩個圓在公切線兩旁時,這樣的公切線叫做內(nèi)公切線. 公切線上兩個切點的距離叫做公切線的長. （5）與圓有關的計算 弧長公式： 扇形面積公式：（其中為圓心角的度數(shù)，為半徑） 圓柱的側面展開圖是矩形圓柱體也可以看成是一個矩形以矩形的一邊為軸旋轉而形成的幾何體圓柱的側面積底面周長高 圓柱的全面積側面積底面積 圓錐的側面展開圖是扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長圓錐體可以看成是由一個直角三角形以一條直角邊為軸旋轉而成的幾何體 圓錐的側面積底面周長母線；圓錐的全面積側面積底面積3、能力要求例1 如圖，AC為O 的直徑，B、D、E都是O上的點

8、，求A+B +C的度數(shù).【分析】由AC為直徑，可以得出它所對的圓周角是直角，所以連結AE，這樣將CAD（A）、C放在了AEC中，而B與EAD是同弧所對的圓周角相等，這樣問題迎刃而解【解】連結AEAC是O的直徑AEC=90O CAD +EAD+C =90O B=EADCAD +B+C =90O【說明】這里通過將B轉化為EAD，從而使原本沒有聯(lián)系的A、B 、C都在 AEC中，又利用“直徑對直角”得到它們的和是90O解題中一方面注意到了隱含條件“同弧所對的圓周角相等”，另一方面也注意到了將“特殊的弦”（直徑）轉化為“特殊的角”（直角），很好地體現(xiàn)了“轉化”的思想方法例2 ABC中，AC6，BC8，C

9、=90O，以點C為圓心，CA為半徑的圓與AB交于點D，求AD的長【分析】圓中有關弦的計算問題通常利用垂徑定理構造直角三角形求解，所以作CHAB，這只要求出AH的長就能得出AD的長【解】作CHAB，垂足為HC=90O，AC6，BC8AB=10C=90O，CHAB又AC6， AB=10AH3.6CHABAD=2AH AD=7.2答：AD的長為7.2【說明】解決與弦有關的問題，往往需要構造垂徑定理的基本圖形由半徑、弦心距、弦的一半構成的直角三角形，它是解決此類問題的關鍵.定理的應用必須與所對應的基本圖形相結合，教師在復習時要特別注重基本圖形的掌握.例3 ()如圖，ABC內(nèi)接于O，AB為直徑，CAE=

10、B，試說明AE與O相切于點A()在（）中，若AB為非直徑的弦，CAE=B，AE還與O相切于點A嗎？請說明理由OECBADOECBA (1) (2)【分析】第()小題中，因為AB為直徑，只要再說明BAE為直角即可第()小題中，AB為非直徑的弦，但可以轉化為第()小題的情形【解】()AB是O的直徑C=90OBACB=90O 又CAE=B BACCAE =90O 即BAE =90OAE與O相切于點A ()連結AO并延長交O于D，連結CD.AD是O的直徑ACD=90ODCAD=90O 又D=B BCAD=90O 又CAE =B CAECAD=90O即EAD =90OAE仍然與O相切于點A【說明】本題主

11、要考查切線的識別方法這里可以引導學生依據(jù)第(1)小題的特殊情況,大膽提出猜想,滲透“由特殊到一般”的數(shù)學思想方法，這對于學生的探索能力培養(yǎng)非常重要.例4 如圖，已知O的直徑AB垂直于弦CD于E，連結AD、BD、OC、OD，且OD5（1）若，求CD的長（2）若 ADO：EDO4：1，求扇形OAC（陰影部分）的面積（結果保留）【分析】圖形中有 “直徑對直角”，這樣就出現(xiàn)了“直角三角形及斜邊上的高”的基本圖形，求CD的長就轉化為求DE的長.第（2）小題求扇形OAC的面積其關鍵是求AOD的度數(shù)，從而轉化為求AOD的大小【解】（1） AB是O的直徑，OD5 ADB90，AB10 又在RtABD中，ADB

12、90，ABCDBD2=BEABCD= 2DEAB10 BE= 在RtEBD中，由勾股定理得 答：CD的長為（2）AB是O的直徑，ABCDBADCDB，AOCAODAODOBADADOCDBADO 設ADO4k，則CDB4k由ADO：EDO4：1，則EDOkADOEDOEDB90得k10AOD180（OADADO）100AOCAOD100則答：扇形OAC的面積為【說明】本題涉及到了圓中的重要定理、直角三角形的邊角關系、扇形面積公式等知識點的綜合，考查了學生對基本圖形、基本定理的掌握程度求DE長的方法很多，可以用射影定理、勾股定理，也可以運用面積關系來求，但都離不開“直角三角形及斜邊上的高”這個基

13、本圖形解題中也運用了比例問題中的設k法，同時也滲透了“轉化”的思想方法例5 半徑為2.5的O中，直徑AB的不同側有定點C和動點P已知BC ：CA=4 : 3，點P在半圓AB上運動（不與A、B兩點重合），過點C作CP的垂線，與PB的延長線交于點Q.(l)當點P與點C關于AB對稱時，求CQ的長；(2)當點P運動到半圓AB的中點時，求CQ的長； (3) 當點P運動到什么位置時，CQ取到最大值？求此時CQ的長【分析】當點P與點C關于AB對稱時，CP被直徑垂直平分，由垂徑定理求出CP的長，再由RtACBRtPCQ，可求得CQ的長當點P在半圓AB上運動時，雖然P、Q 點的位置在變，但PCQ始終與ACB相似

14、，點P運動到半圓AB的中點時，PCBO，作BEPC于點E， CPPE+EC由于CP與CQ的比值不變，所以CP取得最大值時CQ也最大【解】(l)當點P與點C關于AB對稱時，CPAB，設垂足為D. AB為O的直徑， ACB=900. AB=5，AC：CA=4：3 BC=4，AC=3 SRtACB=ACBC=ABCD 在RtACB和RtPCQ中， ACBPCQ=900, CABCPQ， RtACBRtPCQ (2)當點P運動到弧AB的中點時，過點B作BEPC于點E（如圖）. P是弧AB的中點， 又CPB=CABCPB= tanCAB= 從而 由（l）得，(3）點P在弧AB上運動時，恒有 故PC最大時，CQ取到最大值 當PC過圓心O，即PC取最大值5時，CQ 最大值為【說明】本題從點P在半圓AB上運動時的兩個特殊位置的計算問題引申到求CQ的最大值，一方面滲透了“由特殊到一般”的思想方法，另一方面運用“運動變化”觀點解決問題時，尋求變化中的不變性（題中的RtACBRtPCQ）往往是解題的關