解析幾何課件(呂林根許子道第四版)(精).ppt

1、解析幾何課件(第四版,呂林根 許子道等編,第四章 柱面錐面旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面,第五章 二次曲線的一般理論,第一章 向量與坐標,第三章 平面與空間直線,第二章 軌跡與方程,解析幾何的基本思想是用代數(shù)的方法來研究幾何,為將代數(shù)運算引導幾何中,采用的最根本最有效的做法-有系統(tǒng)的把空間的幾何結(jié)構(gòu)代數(shù)化,數(shù)量化,第一章 向量與坐標,1.1 向量的概念,1.3 數(shù)乘向量,1.2 向量的加法,1.4 向量的線性關系與向量的分解,1.6 向量在軸上的射影,1.5 標架與坐標,1.7 兩向量的數(shù)性積,1.9 三向量的混合積,1.8 兩向量的向量積,1.10 向量的雙重向量積,第二章 軌跡與方程,2.1 平面曲線

2、的方程,2.2 曲面的方程,2.4 空間曲線的方程,2.3 母線平行于坐標軸的柱面方程,第三章 平面與空間直線,3.1 平面的方程,3.3 兩平面的相關位置,3.2 平面與點的相關位置,3.4 空間直線的方程,3.6 空間兩直線的相關位置,3.5 直線與平面的相關位置,3.7 空間直線與點的相關位置,第四章 柱面錐面旋轉(zhuǎn)曲面 與二次曲面,4.1 柱面,4.3 旋轉(zhuǎn)曲面,4.2 錐面,4.4 橢球面,4.5 雙曲面,第五章 二次曲線的一般理論,5.1 二次曲線與直線的相關位置,5.3 二次曲線的切線,5.2 二次曲線的漸近方向、中心、漸近線,5.4 二次曲線的直徑,5.6 二次曲線方程的化簡與分

3、類,5.5 二次曲線的主直徑和主方向,5.7 應用不變量化簡二次曲線方程,定義1.1.1 既有大小又有方向的量叫做向量，或稱矢量,向量(矢量)既有大小又有方向的量,向量的幾何表示,兩類量: 數(shù)量(標量):可用一個數(shù)值來描述的量,有向線段,有向線段的方向表示向量的方向,有向線段的長度表示向量的大小,1.1 向量的概念,返回,下一頁,第一章 向量與坐標 1.1 向量的概念,所有的零向量都相等,模為1的向量,零向量,模為0的向量,單位向量,或,定義1.1.2 如果兩個向量的模相等且方向相同，那么叫做相等向量.記為,定義1.1.3 兩個模相等，方向相反的向量叫做互為反向量,上一頁,下一頁,返回,第一章

4、 向量與坐標 1.1 向量的概念,零向量與任何共線的向量組共線,定義1.1.4 平行于同一直線的一組向量叫做共線向量,定義1.1.5 平行于同一平面的一組向量叫做共面向量,零向量與任何共面的向量組共面,上一頁,返回,第一章 向量與坐標 1.1 向量的概念,O,A,B,這種求兩個向量和的方法叫三角形法則,定理1.2.1 如果把兩個向量 為鄰邊組成一個平行四邊形OACB，那么對角線向量,1.2 向量的加法,下一頁,返回,第一章 向量與坐標 1.2 向量的加法,O,A,B,C,這種求兩個向量和的方法叫做平行四邊形法則,定理1.2.2 向量的加法滿足下面的運算規(guī)律,1）交換律,2）結(jié)合律,3,上一頁,

5、下一頁,返回,第一章 向量與坐標 1.2 向量的加法,O,A1,A2,A3,A4,An-1,An,這種求和的方法叫做多邊形法則,上一頁,下一頁,返回,第一章 向量與坐標 1.2 向量的加法,向量減法,上一頁,下一頁,返回,第一章 向量與坐標 1.2 向量的加法,上一頁,返回,第一章 向量與坐標 1.2 向量的加法,上一頁,返回,第一章 向量與坐標 1.2 向量的加法,上一頁,返回,第一章 向量與坐標 1.2 向量的加法,1.3 數(shù)乘向量,下一頁,返回,第一章 向量與坐標 1.3 數(shù)乘向量,定理1.3.1 數(shù)與向量的乘積符合下列運算規(guī)律,1）結(jié)合律,2）第一分配律,兩個向量的平行關系,3）第二分

6、配律,上一頁,下一頁,返回,第一章 向量與坐標 1.3 數(shù)乘向量,證,充分性顯然,必要性,兩式相減，得,上一頁,下一頁,返回,第一章 向量與坐標 1.3 數(shù)乘向量,按照向量與數(shù)的乘積的規(guī)定,上式表明：一個非零向量除以它的模的結(jié)果是一個與原向量同方向的單位向量,上一頁,下一頁,返回,第一章 向量與坐標 1.3 數(shù)乘向量,例1設AM是三角形ABC的中線，求證,證,如圖,因為,所以,但,因而,即,上一頁,下一頁,返回,第一章 向量與坐標 1.3 數(shù)乘向量,例2 用向量方法證明：聯(lián)結(jié)三角形兩邊中點的線段平行于第三邊且等于第三邊的一半,證,設ABC兩邊AB，AC之中點分別為M，N，那么,所以,且,上一頁

7、,返回,第一章 向量與坐標 1.3 數(shù)乘向量,1.4 向量的線性關系與向量的分解,下一頁,返回,第一章 向量與坐標 1.4向量的線性關系與向量的分解,上一頁,下一頁,返回,第一章 向量與坐標 1.4向量的線性關系與向量的分解,例2 證明四面體對邊中點的連線交于一點，且互相平分,A,B,C,D,E,F,P1,e1,e2,e3,上一頁,下一頁,返回,第一章 向量與坐標 1.4向量的線性關系與向量的分解,連接AF，因為AP1是AEF 的中線，所以有,又因為AF是ACD 的中線，所以又有,上一頁,下一頁,返回,第一章 向量與坐標 1.4向量的線性關系與向量的分解,上一頁,下一頁,返回,第一章 向量與坐

8、標 1.4向量的線性關系與向量的分解,上一頁,下一頁,返回,第一章 向量與坐標 1.4向量的線性關系與向量的分解,橫軸,縱軸,豎軸,定點,空間直角坐標系,三個坐標軸的正方向符合右手系,1.5 標架與坐標,下一頁,返回,第一章 向量與坐標 1.5 標架與坐標,面,面,面,空間直角坐標系共有八個卦限,2、坐標面與卦限,上一頁,下一頁,返回,第一章 向量與坐標 1.5 標架與坐標,空間的點,有序數(shù)組,特殊點的表示,坐標軸上的點,坐標面上的點,稱為點M的坐標，x稱為橫坐標, y稱為縱坐標， z稱為豎坐標,3、空間點的直角坐標,上一頁,下一頁,返回,第一章 向量與坐標 1.5 標架與坐標,稱為向量 的坐

9、標分解式,4、空間向量的坐標,上一頁,下一頁,返回,第一章 向量與坐標 1.5 標架與坐標,顯然,向量的坐標,向徑,在三個坐標軸上的分向量,點M關于原點O,上一頁,下一頁,返回,第一章 向量與坐標 1.5 標架與坐標,5、利用坐標作向量的線性運算,向量的加減法、向量與數(shù)的乘法運算的坐標表達式,上一頁,下一頁,返回,第一章 向量與坐標 1.5 標架與坐標,解,6、線段的定比分點坐標,上一頁,下一頁,返回,第一章 向量與坐標 1.5 標架與坐標,由題意知,上一頁,下一頁,返回,第一章 向量與坐標 1.5 標架與坐標,定理1.5.4 已知兩個非零向量,7、其它相關定理,則,共線的充要條件是,定理1.

10、5.6 已知三個非零向量,則,共面的充要條件是,上一頁,返回,第一章 向量與坐標 1.5 標架與坐標,空間一點在軸上的射影,1.6 向量在軸上的射影,下一頁,返回,第一章 向量與坐標 1.6向量在軸上的射影,空間一向量在軸上的射影,上一頁,下一頁,返回,第一章 向量與坐標 1.6向量在軸上的射影,關于向量的射影定理（1.6.1,證,由此定義,上一頁,下一頁,返回,第一章 向量與坐標 1.6向量在軸上的射影,定理1的說明,射影為正,射影為負,射影為零,4) 相等向量在同一軸上射影相等,上一頁,下一頁,返回,第一章 向量與坐標 1.6向量在軸上的射影,關于向量的射影定理（1.6.2,可推廣到有限多

11、個,上一頁,下一頁,返回,第一章 向量與坐標 1.6向量在軸上的射影,關于向量的射影定理（1.6.3,上一頁,下一頁,返回,第一章 向量與坐標 1.6向量在軸上的射影,解,上一頁,返回,第一章 向量與坐標 1.6向量在軸上的射影,啟示,實例,兩向量作這樣的運算, 結(jié)果是一個數(shù)量,M1,M2,1.7 兩向量的數(shù)量積,下一頁,返回,第一章 向量與坐標 1.7 兩向量的數(shù)量積,數(shù)量積也稱為“點積”、“內(nèi)積,結(jié)論 兩向量的數(shù)量積等于其中一個向量的模和另一個向量在這向量的方向上的射影的乘積,定義,上一頁,下一頁,返回,第一章 向量與坐標 1.7 兩向量的數(shù)量積,關于數(shù)量積的說明,證,證,上一頁,下一頁,

12、返回,第一章 向量與坐標 1.7 兩向量的數(shù)量積,數(shù)量積符合下列運算規(guī)律,1）交換律,2）分配律,若 、 為數(shù),3）若 為數(shù),上一頁,下一頁,返回,第一章 向量與坐標 1.7 兩向量的數(shù)量積,設,數(shù)量積的坐標表達式,上一頁,下一頁,返回,第一章 向量與坐標 1.7 兩向量的數(shù)量積,由勾股定理,向量模的坐標表示式,向量的模與空間兩點間距離公式,上一頁,下一頁,返回,第一章 向量與坐標 1.7 兩向量的數(shù)量積,為空間兩點,空間兩點間距離公式,上一頁,下一頁,返回,第一章 向量與坐標 1.7 兩向量的數(shù)量積,空間兩向量的夾角的概念,類似地，可定義向量與一軸或空間兩軸的夾角,特殊地，當兩個向量中有一個

13、零向量時，規(guī)定它們的夾角可在0與 之間任意取值,方向角與方向余弦的坐標表示式,上一頁,下一頁,返回,第一章 向量與坐標 1.7 兩向量的數(shù)量積,非零向量 的方向角,非零向量與三條坐標軸的正向的夾角稱為方向角,上一頁,下一頁,返回,第一章 向量與坐標 1.7 兩向量的數(shù)量積,由圖分析可知,向量的方向余弦,方向余弦通常用來表示向量的方向,上一頁,下一頁,返回,第一章 向量與坐標 1.7 兩向量的數(shù)量積,當 時,向量方向余弦的坐標表示式,上一頁,下一頁,返回,第一章 向量與坐標 1.7 兩向量的數(shù)量積,方向余弦的特征,上式表明，以向量 的方向余弦為坐標的向量就是與 同方向的單位向量,上一頁,返回,第

14、一章 向量與坐標 1.7 兩向量的數(shù)量積,兩向量夾角余弦的坐標表示式,由此可知兩向量垂直的充要條件為,上一頁,下一頁,返回,第一章 向量與坐標 1.7 兩向量的數(shù)量積,解,上一頁,下一頁,返回,第一章 向量與坐標 1.7 兩向量的數(shù)量積,證,上一頁,下一頁,返回,第一章 向量與坐標 1.7 兩向量的數(shù)量積,1.8 兩向量的向量積,下一頁,返回,第一章 向量與坐標 1.8 兩向量的向量積,上一頁,下一頁,返回,第一章 向量與坐標 1.8 兩向量的向量積,上一頁,下一頁,返回,第一章 向量與坐標 1.8 兩向量的向量積,上一頁,下一頁,返回,第一章 向量與坐標 1.8 兩向量的向量積,上一頁,返回

15、,第一章 向量與坐標 1.8 兩向量的向量積,定義,設,混合積的坐標表達式,1.9 三向量的混合積,下一頁,返回,第一章 向量與坐標 1.9 三向量的混合積,1）向量混合積的幾何意義,關于混合積的說明,上一頁,下一頁,返回,第一章 向量與坐標 1.9 三向量的混合積,解,例1,上一頁,下一頁,返回,第一章 向量與坐標 1.9 三向量的混合積,解,上一頁,下一頁,返回,第一章 向量與坐標 1.9 三向量的混合積,式中正負號的選擇必須和行列式的符號一致,上一頁,返回,第一章 向量與坐標 1.9 三向量的混合積,1.10 三向量的三重向量積,返回,上一頁,下一頁,第一章 向量與坐標 1.10 三向量

16、的三重向量積,定義1.10.1 給定空間三向量,先作其中兩個向量的向量積,再作所得向量與第三個向量的向量積,那么最后的結(jié)果仍然是一向量,叫做所給三向量的雙重向量積,例,就是三向量,的一個雙重向量積,空間曲線的一般方程,曲線上的點都滿足方程，不在曲線上的點不能同時滿足兩個方程,空間曲線C可看作空間兩曲面的交線,特點,2.1 平面曲線的方程,下一頁,返回,第二章 軌跡與方程2.1 平面曲線的方程,例1 方程組 表示怎樣的曲線,解,表示圓柱面,表示平面,交線為橢圓,上一頁,下一頁,返回,第二章 軌跡與方程2.1 平面曲線的方程,例2 方程組,解,上半球面,圓柱面,交線如圖,表示怎樣的曲線,上一頁,返

17、回,第二章 軌跡與方程2.1 平面曲線的方程,水桶的表面、臺燈的罩子面等,曲面在空間解析幾何中被看成是點的幾何軌跡,曲面方程的定義,曲面的實例,2.2 曲面的方程,下一頁,返回,第二章 軌跡與方程2.2 曲面的方程,根據(jù)題意有,化簡得所求方程,解,上一頁,下一頁,返回,第二章 軌跡與方程2.2 曲面的方程,解,根據(jù)題意有,所求方程為,上一頁,下一頁,返回,第二章 軌跡與方程2.2 曲面的方程,以下給出幾例常見的曲面,解,根據(jù)題意有,所求方程為,特殊地：球心在原點時方程為,上一頁,下一頁,返回,第二章 軌跡與方程2.2 曲面的方程,得上、下半球面的方程分別是,當 A2+B2+C2-4D 0 時,

18、 是球面方程,由,由上述方程可得球面的一般式方程為,反之，由一般式方程（*），經(jīng)過配方又可得到,x2 + y2 + z2 + Ax + By + Cz + D = 0 （*,x+A/2)2+(y+B/2)2+(z+C/2)2=(A2+B2+C2-4D)/4,上一頁,下一頁,返回,第二章 軌跡與方程2.2 曲面的方程,例4 方程 的圖形是怎樣的,根據(jù)題意有,圖形上不封頂，下封底,解,以上方法稱為截痕法,上一頁,下一頁,返回,第二章 軌跡與方程2.2 曲面的方程,以上幾例表明研究空間曲面有兩個基本問題,2）已知坐標間的關系式，研究曲面形狀,討論旋轉(zhuǎn)曲面,討論柱面、二次曲面,1）已知曲面作為點的軌跡

19、時，求曲面方程,上一頁,返回,第二章 軌跡與方程2.2 曲面的方程,二、曲面的參數(shù)方程,第二章 軌跡與方程2.2 曲面的方程,二、曲面的參數(shù)方程,例7 求以z 軸為對稱軸，半徑為R 的圓柱面的參數(shù)方程,注意 空間曲面的參數(shù)方程的表達式不是惟一的,第二章 軌跡與方程2.2 曲面的方程,拋物柱面,平面,拋物柱面方程,平面方程,2.3 母線平行于坐標軸的柱面方程,下一頁,返回,第二章 軌跡與方程2.3 母線平行于坐標軸的柱面方程,從柱面方程看柱面的特征,其他類推,實 例,橢圓柱面,雙曲柱面,拋物柱面,母線/ 軸,母線/ 軸,母線/ 軸,上一頁,下一頁,返回,第二章 軌跡與方程2.3 母線平行于坐標軸

20、的柱面方程,a,b,橢圓柱面,上一頁,下一頁,返回,第二章 軌跡與方程2.3 母線平行于坐標軸的柱面方程,y,o,雙曲柱面,上一頁,下一頁,返回,第二章 軌跡與方程2.3 母線平行于坐標軸的柱面方程,拋物柱面,上一頁,返回,第二章 軌跡與方程2.3 母線平行于坐標軸的柱面方程,空間曲線的一般方程,曲線上的點都滿足方程，不在曲線上的點不能同時滿足兩個方程,空間曲線C可看作空間兩曲面的交線,特點,下一頁,返回,2.4 空間曲線的方程,第二章 軌跡與方程2.4 空間曲線的方程,例1 方程組 表示怎樣的曲線,解,表示圓柱面,表示平面,交線為橢圓,上一頁,下一頁,返回,第二章 軌跡與方程2.4 空間曲線

21、的方程,例2 方程組,解,上半球面,圓柱面,交線如圖,表示怎樣的曲線,上一頁,返回,第二章 軌跡與方程2.4 空間曲線的方程,空間曲線的參數(shù)方程,二、空間曲線的參數(shù)方程,下一頁,返回,第二章 軌跡與方程2.4 空間曲線的方程,動點從A點出發(fā)，經(jīng)過t時間，運動到M點,螺旋線的參數(shù)方程,取時間t為參數(shù),解,上一頁,下一頁,返回,第二章 軌跡與方程2.4 空間曲線的方程,螺旋線的參數(shù)方程還可以寫為,螺旋線的重要性質(zhì),上升的高度與轉(zhuǎn)過的角度成正比 即,上升的高度,螺距,上一頁,返回,第二章 軌跡與方程2.4 空間曲線的方程,如果一非零向量垂直于一平面，這向量就叫做該平面的法線向量,法線向量的特征,垂直

22、于平面內(nèi)的任一向量,已知,設平面上的任一點為,必有,一、平面的點法式方程,3.1 平面的方程,下一頁,返回,第三章 平面與空間直線3.1 平面的方程,平面的點法式方程,平面上的點都滿足上方程，不在平面上的點都不滿足上方程，上方程稱為平面的方程，平面稱為方程的圖形,其中法向量,已知點,上一頁,下一頁,返回,第三章 平面與空間直線3.1 平面的方程,解,所求平面方程為,化簡得,上一頁,下一頁,返回,第三章 平面與空間直線3.1 平面的方程,取法向量,化簡得,所求平面方程為,解,上一頁,下一頁,返回,第三章 平面與空間直線3.1 平面的方程,由平面的點法式方程,平面的一般方程,法向量,二、平面的一般

23、式方程,為一平面,上一頁,下一頁,返回,第三章 平面與空間直線3.1 平面的方程,平面一般式方程的幾種特殊情況,平面通過坐標原點,平面通過 軸,平面平行于 軸,平面平行于 坐標面,類似地可討論 情形,類似地可討論 情形,平面的一般方程,上一頁,下一頁,返回,第三章 平面與空間直線3.1 平面的方程,設平面為,由平面過原點知,所求平面方程為,解,上一頁,下一頁,返回,第三章 平面與空間直線3.1 平面的方程,設平面為,將三點坐標代入得,解,上一頁,下一頁,返回,第三章 平面與空間直線3.1 平面的方程,將,代入所設方程得,平面的截距式方程,上一頁,下一頁,返回,第三章 平面與空間直線3.1 平面

24、的方程,設平面為,由所求平面與已知平面平行得,向量平行的充要條件,解,上一頁,下一頁,返回,第三章 平面與空間直線3.1 平面的方程,化簡得,令,所求平面方程為,或,上一頁,返回,第三章 平面與空間直線3.1 平面的方程,解,3.2 平面與點的相關位置,下一頁,返回,第三章 平面與空間直線3.2 平面與點的相關位置,上一頁,下一頁,返回,第三章 平面與空間直線3.2 平面與點的相關位置,點到平面距離公式,上一頁,下一頁,返回,第三章 平面與空間直線3.2 平面與點的相關位置,在第一個平面內(nèi)任取一點，比如（0，0，1,上一頁,返回,第三章 平面與空間直線3.2 平面與點的相關位置,定義,通常取銳

25、角,兩平面法向量之間的夾角稱為兩平面的夾角,3.3 兩平面的相關位置,下一頁,返回,第三章 平面與空間直線3.3 兩平面的相關位置,按照兩向量夾角余弦公式有,兩平面夾角余弦公式,兩平面位置特征,上一頁,下一頁,返回,第三章 平面與空間直線3.3 兩平面的相關位置,例1 研究以下各組里兩平面的位置關系,解,兩平面相交，夾角,上一頁,下一頁,返回,第三章 平面與空間直線3.3 兩平面的相關位置,兩平面平行,兩平面平行但不重合,兩平面平行,兩平面重合,上一頁,返回,第三章 平面與空間直線3.3 兩平面的相關位置,定義,空間直線可看成兩平面的交線,空間直線的一般方程,注：兩平面不平行,一、空間直線的一

26、般方程,3.4 空間直線的方程,下一頁,返回,第三章 平面與空間直線3.4 空間直線的方程,方向向量的定義,如果一非零向量平行于一條已知直線，這個向量稱為這條直線的方向向量,二、空間直線的對稱式方程,直線的對稱式方程 （點向式方程,上一頁,下一頁,返回,第三章 平面與空間直線3.4 空間直線的方程,上一頁,下一頁,返回,第三章 平面與空間直線3.4 空間直線的方程,因此,所求直線方程為,例1 求過點(1,0,-2)且與平面3x+4y-z+6=0平行,又與直 線 垂直的直線方程,解: 設所求線的方向向量為,已知平面的法向量,已知直線的方向向量,取,上一頁,下一頁,返回,第三章 平面與空間直線3.

27、4 空間直線的方程,三、空間直線的參數(shù)式方程,令,方向向量的余弦稱為直線的方向余弦,直線的參數(shù)方程,由直線的對稱式方程,上一頁,下一頁,返回,第三章 平面與空間直線3.4 空間直線的方程,例2 用對稱式方程及參數(shù)方程表示直線,解,在直線上任取一點,取,解得,點坐標,上一頁,下一頁,返回,第三章 平面與空間直線3.4 空間直線的方程,因所求直線與兩平面的法向量都垂直,取,對稱式方程,得參數(shù)方程,令,上一頁,下一頁,返回,第三章 平面與空間直線3.4 空間直線的方程,解,所以交點為,所求直線方程,上一頁,返回,第三章 平面與空間直線3.4 空間直線的方程,定義,直線和它在平面上的射影直線的夾角 稱

28、為直線與平面的夾角,3.5 直線與平面的相關位置,下一頁,返回,第三章 平面與空間直線3.5 直線與平面的相關位置,直線與平面的夾角公式,直線與平面的位置關系,上一頁,下一頁,返回,第三章 平面與空間直線3.5 直線與平面的相關位置,解,為所求夾角,上一頁,下一頁,返回,第三章 平面與空間直線3.5 直線與平面的相關位置,直線與平面的交點,上一頁,下一頁,返回,第三章 平面與空間直線3.5 直線與平面的相關位置,分析: 關鍵是求得直線上另外 一個點 M1. M1在過M且平行 于 平面 P 的一個平面P1上, 待求直線又與已知直線相交, 交點既在P1上,又在 L上,因此是L與P1的交點,例2 求

29、過點 M (-1,2,-3), 且平行于平面,又與直線,相交的直線方程,解 過M作平行于 平面 P 的一個平P1,上一頁,下一頁,返回,第三章 平面與空間直線3.5 直線與平面的相關位置,求平面 P1與已知直線 L的交點,P1,即P1,上一頁,返回,第三章 平面與空間直線3.5 直線與平面的相關位置,定義,直線,直線,兩直線的方向向量的夾角稱之為該兩直線的夾角.（銳角,兩直線的夾角公式,3.6 空間兩直線的相關位置,下一頁,返回,第三章 平面與空間直線3.6 空間兩直線的相關位置,兩直線的位置關系,直線,直線,例如,上一頁,下一頁,返回,第三章 平面與空間直線3.6 空間兩直線的相關位置,解,

30、設所求直線的方向向量為,根據(jù)題意知,取,所求直線的方程,上一頁,下一頁,返回,第三章 平面與空間直線3.6 空間兩直線的相關位置,解,先作一過點M且與已知 直線垂直的平面,再求已知直線與該平面的交點N,令,M,N,L,上一頁,下一頁,返回,第三章 平面與空間直線3.6 空間兩直線的相關位置,代入平面方程得,交點,取所求直線的方向向量為,所求直線方程為,上一頁,返回,第三章 平面與空間直線3.6 空間兩直線的相關位置,P1,于是,點到直線的距離公式,3.7 空間直線與點的相關位置,下一頁,返回,第三章 平面與空間直線3.7 空間直線與點的相關位置,解,上一頁,返回,第三章 平面與空間直線3.7

31、空間直線與點的相關位置,水桶的表面、臺燈的罩子面等,曲面在空間解析幾何中被看成是點的幾何軌跡,曲面方程的定義,曲面的實例,4.1 柱面,下一頁,返回,第四章 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面 4.1 柱面,觀察柱面的形成過程,定義4.1.1 平行于定直線并沿定曲線移動的直線所形成的曲面稱為柱面,這條定曲線叫柱面的準線，動直線叫柱面的母線,母線,準線,上一頁,下一頁,返回,第四章 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面 4.1 柱面,柱面舉例,拋物柱面,平面,拋物柱面方程,平面方程,上一頁,下一頁,返回,第四章 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面 4.1 柱面,從柱面方程看柱面的特征,其他類推,實 例,橢圓柱

32、面,雙曲柱面,拋物柱面,母線/ 軸,母線/ 軸,母線/ 軸,上一頁,下一頁,返回,第四章 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面 4.1 柱面,1. 橢圓柱面,2. 雙曲柱面,上一頁,返回,第四章 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面 4.1 柱面,定義4.2.1 通過一定點且與定曲線相交的一族直線所產(chǎn)生的曲面叫做錐面,這些直線都叫做錐面的母線,那個定點叫做錐面的頂點,錐面的方程是一個三元方程,特別當頂點在坐標原點時,4.2 錐面,下一頁,返回,第四章 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面 4.2 錐面,n次齊次方程,F(x,y,z)= 0,的圖形是以原點為頂點的錐面,方程 F(x,y,z)= 0是 n次齊次方程

33、,準線,頂點,F(x,y,z)= 0,反之，以原點為頂點的錐面的方程是n次齊次方程,錐面是直紋面,錐面的準線不唯一，和一切母線都相交的每一條曲線都可以作為它的母線,上一頁,下一頁,返回,第四章 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面 4.2 錐面,請同學們自己用截痕法 研究其形狀,橢圓錐面,上一頁,下一頁,返回,第四章 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面 4.2 錐面,解,圓錐面方程,或,上一頁,返回,第四章 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面 4.2 錐面,定義4.3.1 以一條曲線繞其一條定直線旋轉(zhuǎn)一周所產(chǎn)生的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面或稱回旋曲面,這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的旋轉(zhuǎn)軸,這條曲線叫旋轉(zhuǎn)曲面的母線,4.3 旋

34、轉(zhuǎn)曲面,下一頁,返回,第四章 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面 4.3 旋轉(zhuǎn)曲面,曲線 C,C,繞 z軸,上一頁,下一頁,返回,第四章 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面 4.3 旋轉(zhuǎn)曲面,曲線 C,C,繞z軸,上一頁,下一頁,返回,第四章 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面 4.3 旋轉(zhuǎn)曲面,曲線 C,旋轉(zhuǎn)一周得旋轉(zhuǎn)曲面 S,C,S,M,N,z,P,y,z,o,繞 z軸,f (y1, z1)=0,M(x,y,z,S,上一頁,下一頁,返回,第四章 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面 4.3 旋轉(zhuǎn)曲面,曲線 C,旋轉(zhuǎn)一周得旋轉(zhuǎn)曲面 S,C,S,M,N,z,P,繞 z軸,f (y1, z1)=0,M(x,y,z

35、,f (y1, z1)=0,f (y1, z1)=0,S,上一頁,下一頁,返回,第四章 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面 4.3 旋轉(zhuǎn)曲面,建立旋轉(zhuǎn)曲面的方程,如圖,將 代入,得方程,上一頁,下一頁,返回,第四章 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面 4.3 旋轉(zhuǎn)曲面,方程,上一頁,下一頁,返回,第四章 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面 4.3 旋轉(zhuǎn)曲面,例1 將下列各曲線繞對應的軸旋轉(zhuǎn)一周，求生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程,旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面,上一頁,下一頁,返回,第四章 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面 4.3 旋轉(zhuǎn)曲面,旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面,上一頁,下一頁,返回,第四章 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面 4.3 旋轉(zhuǎn)曲面

36、,旋轉(zhuǎn)橢球面,上一頁,下一頁,返回,第四章 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面 4.3 旋轉(zhuǎn)曲面,旋轉(zhuǎn)拋物面,上一頁,下一頁,返回,第四章 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面 4.3 旋轉(zhuǎn)曲面,幾種 特殊旋轉(zhuǎn)曲面,1 雙葉旋轉(zhuǎn)曲面 2 單葉旋轉(zhuǎn)曲面 3 旋轉(zhuǎn)錐面 4 旋轉(zhuǎn)拋物面 5 環(huán)面,上一頁,下一頁,返回,第四章 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面 4.3 旋轉(zhuǎn)曲面,x,0,1 雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面,繞 x 軸一周,上一頁,下一頁,返回,第四章 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面 4.3 旋轉(zhuǎn)曲面,x,0,繞 x 軸一周,1 雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面,上一頁,下一頁,返回,第四章 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面 4.3

37、旋轉(zhuǎn)曲面,x,0,1 雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面,繞 x 軸一周,上一頁,下一頁,返回,第四章 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面 4.3 旋轉(zhuǎn)曲面,a,2 單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面,上題雙曲線,繞 y 軸一周,上一頁,下一頁,返回,第四章 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面 4.3 旋轉(zhuǎn)曲面,a,上題雙曲線,繞 y 軸一周,2 單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面,上一頁,下一頁,返回,第四章 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面 4.3 旋轉(zhuǎn)曲面,a,2 單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面,上題雙曲線,繞 y 軸一周,上一頁,下一頁,返回,第四章 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面 4.3 旋轉(zhuǎn)曲面,3 旋轉(zhuǎn)錐面,兩條相交直線,繞 x 軸一周,上一頁,下一頁,返回,第四

38、章 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面 4.3 旋轉(zhuǎn)曲面,兩條相交直線,繞 x 軸一周,3 旋轉(zhuǎn)錐面,上一頁,下一頁,返回,第四章 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面 4.3 旋轉(zhuǎn)曲面,兩條相交直線,繞 x 軸一周,得旋轉(zhuǎn)錐面,3 旋轉(zhuǎn)錐面,上一頁,下一頁,返回,第四章 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面 4.3 旋轉(zhuǎn)曲面,o,4 旋轉(zhuǎn)拋物面,拋物線,繞 z 軸一周,上一頁,下一頁,返回,第四章 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面 4.3 旋轉(zhuǎn)曲面,o,拋物線,繞 z 軸一周,4 旋轉(zhuǎn)拋物面,上一頁,下一頁,返回,第四章 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面 4.3 旋轉(zhuǎn)曲面,y,o,x,z,生活中見過這個曲面嗎,

39、4 旋轉(zhuǎn)拋物面,拋物線,繞 z 軸一周,得旋轉(zhuǎn)拋物面,上一頁,下一頁,返回,第四章 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面 4.3 旋轉(zhuǎn)曲面,衛(wèi)星接收裝置,例,上一頁,下一頁,返回,5環(huán)面,r,R,繞 y軸 旋轉(zhuǎn)所成曲面,上一頁,下一頁,返回,第四章 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面 4.3 旋轉(zhuǎn)曲面,5環(huán)面,繞 y軸 旋轉(zhuǎn)所成曲面,上一頁,下一頁,返回,第四章 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面 4.3 旋轉(zhuǎn)曲面,5環(huán)面,繞 y軸 旋轉(zhuǎn)所成曲面,環(huán)面方程,生活中見過這個曲面嗎,上一頁,下一頁,返回,第四章 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面 4.3 旋轉(zhuǎn)曲面,救生圈,5 環(huán)面,上一頁,返回,第四章 柱面、錐面

40、、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面 4.3 旋轉(zhuǎn)曲面,二次曲面的定義,三元二次方程所表示的曲面稱之為二次曲面,相應地平面被稱為一次曲面,討論二次曲面形狀的截痕法,用坐標面和平行于坐標面的平面與曲面相截，考察其交線（即截痕）的形狀，然后加以綜合，從而了解曲面的全貌,以下用截痕法討論幾種特殊的二次曲面,二次曲面,4.4 橢球面,下一頁,返回,第四章 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面 4.4 橢球面,截痕法,用z = h截曲面,用y = m截曲面,用x = n截曲面,a,b,c,橢球面,上一頁,下一頁,返回,第四章 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面 4.4 橢球面,橢球面的方程,橢球面與三個坐標面的交線,橢球面,上一

41、頁,下一頁,返回,第四章 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面 4.4 橢球面,橢圓截面的大小隨平面位置的變化而變化,橢球面與平面 的交線為橢圓,同理與平面 和 的交線也是橢圓,上一頁,下一頁,返回,第四章 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面 4.4 橢球面,橢球面的幾種特殊情況,旋轉(zhuǎn)橢球面,由橢圓 繞 軸旋轉(zhuǎn)而成,旋轉(zhuǎn)橢球面與橢球面的區(qū)別,方程可寫為,與平面 的交線為圓,上一頁,下一頁,返回,第四章 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面 4.4 橢球面,球面,截面上圓的方程,方程可寫為,上一頁,返回,第四章 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面 4.4 橢球面,單葉雙曲面,一、單葉雙曲面,4.5 雙曲面,下一頁,

42、返回,第四章 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面 4.5雙曲面,與平面 的交線為橢圓,當 變動時，這種橢圓的中心都在 軸上,2）用坐標面 與曲面相截,截得中心在原點的雙曲線,實軸與 軸相合，虛軸與 軸相合,上一頁,下一頁,返回,第四章 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面 4.5雙曲面,單葉雙曲面圖形,3）用坐標面 ，與曲面相截,均可得雙曲線,上一頁,下一頁,返回,第四章 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面 4.5雙曲面,二、雙葉雙曲面,雙葉雙曲面,上一頁,下一頁,返回,第四章 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面 4.5雙曲面,單葉,雙葉,在平面上，雙曲線有漸進線。 相仿，單葉雙曲面和雙葉雙曲面 有漸進錐面。

43、用z=h去截它們，當|h|無限增大時， 雙曲面的截口橢圓與它的漸進錐面 的截口橢圓任意接近，即： 雙曲面和錐面任意接近,漸進錐面,雙曲面及其漸進錐面,上一頁,返回,第四章 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面 4.5雙曲面,第五章 二次曲線的一般理論,在平面上，由二元二次方程,所表示的曲線，叫做二次曲線。在這一章里，我們將討論二次曲線的幾何性質(zhì)，以及二次曲線的化簡，最后對二次曲線進行分類,下一頁,返回,第五章 二次曲線的一般理論,為了方便起見，特引進一些記號,上一頁,下一頁,返回,第五章 二次曲線的一般理論,上一頁,返回,第五章 二次曲線的一般理論,討論二次曲線,與直線,的交點，可以采用把直線方程（

44、2）代入曲線方程（1）然后討論關于t的方程,1,2,5.1 二次曲線與直線的相關位置,下一頁,返回,第五章 二次曲線的一般理論5.1 二次曲線與直線的相關位置,3,4,對（3）或（4）可分以下幾種情況來討論,上一頁,下一頁,返回,第五章 二次曲線的一般理論5.1 二次曲線與直線的相關位置,上一頁,下一頁,返回,第五章 二次曲線的一般理論5.1 二次曲線與直線的相關位置,上一頁,返回,第五章 二次曲線的一般理論5.1 二次曲線與直線的相關位置,1.二次曲線的漸近方向,定義5.2.1滿足條件(X,Y)=0的方向X:Y叫做二次曲線的漸近方向，否則叫做非漸近方向,定義5.2.2沒有實漸近方向的二次曲線

45、叫做橢圓型的，有一個實漸近方向的二次曲線叫做拋物線型的，有兩個實漸近方向的二次曲線叫做雙曲型的,即1)橢圓型：I20 2)拋物型： I20 3)雙曲型： I20,5.2 二次曲線的漸近方向、中心、漸近線,下一頁,返回,第五章 二次曲線的一般理論5.2 二次曲線的漸近方向、中心、漸近線,2. 二次曲線的中心與漸近線,定義5.2.3 如果點C是二次曲線的通過它的所有弦的中點(C是二次曲線的對稱中心)，那么點C叫做二次曲線的中心,定理5.2.1 點C(x0 ,y0)是二次曲線(1)的中心，其充要條件是,推論 坐標原點是二次曲線的中心，其充要條件是曲線方程里不含x與y的一次項,上一頁,下一頁,返回,第

46、五章 二次曲線的一般理論5.2 二次曲線的漸近方向、中心、漸近線,二次曲線(1)的的中心坐標由下方程組決定,如果I20，則(5.22)有唯一解，即為唯一中心坐標,如果I20，分兩種情況,上一頁,下一頁,返回,第五章 二次曲線的一般理論5.2 二次曲線的漸近方向、中心、漸近線,定義5.2.4 有唯一中心的二次曲線叫中心二次曲線，沒有中心的二次曲線叫無心二次曲線，有一條中心直線的二次曲線叫線心二次曲線，無心二次曲線和線心二次曲線統(tǒng)稱為非中心二次曲線,定義5.2.5 通過二次曲線的中心，而且以漸近方向為方向的直線叫做二次曲線的漸近線,定理5.2.2 二次曲線的漸近線與這二次曲線或者沒有交點，或者整條

47、直線在這二次曲線上 成為二次曲線的組成部分,上一頁,返回,第五章 二次曲線的一般理論5.2 二次曲線的漸近方向、中心、漸近線,定義5.3.1 如果直線與二次曲線相交于相互重合的兩個點，那么這條直線就叫做二次曲線的切線，這個重合的交點叫做切點，如果直線全部在二次曲線上，我們也稱它為二次曲線的切線，直線上的每個點都可以看作切點,定義5.3.2 二次曲線(1)上滿足條件F1(x0,y0)= F2(x0,y0)=0的點(x0,y0)叫做二次曲線的奇異點，簡稱奇點；二次曲線的非奇異點叫做二次曲線的正常點,5.3 二次曲線的切線,下一頁,返回,第五章 二次曲線的一般理論5.3 二次曲線的切線,定理5.3.

48、1 如果(x0,y0)是二次曲線(1)的正常點，那么通過(x0,y0)的切線方程是 (x-x0)F1 (x0,y0)+ (y-y0)F2 (x0,y0)=0， (x0,y0)是它的切點. 如果(x0,y0)是二次曲線(1)的奇異點，那么通過(x0,y0)的切線不確定，或者說過點(x0,y0)的每一條直線都是二次曲線(1)的切線,推論 如果(x0,y0)是二次曲線(1)的正常點，那么通過(x0,y0)的切線方程是,上一頁,下一頁,返回,第五章 二次曲線的一般理論5.3 二次曲線的切線,例1 求二次曲線x2-xy+y2+2x-4y-3=0在點(2,1)的切線方程,解：因為F(2,1)=4-2+1+4-4-3=0, 且 F1(2,1)=5/20, F 2 (2,1)=-2 0 所以(2,1)是二次曲線上的正常點，因此得在 點(2,1)的切線方程為： 5/2 (x-2)-2(y-1)=0 即：5x-4y-6=0,上一頁,返回,第五章 二次曲線的一般理論5.3 二次曲線的切線,1.二次曲線的直徑,定理5.4.1 二次曲線的一族平行弦的中點軌跡是一條直線,定義5.4.1 二次曲線的平行弦中點軌