示范教案一1.7.2平方差公式(二

1、第十二課時課 題1.7.2 平方差公式(二)教學目標(一)教學知識點1.了解平方差公式的幾何背景.2.會用面積法推導平方差公式，并能運用公式進行簡單的運算.3.體會符號運算對證明猜想的作用.(二)能力訓練要求1.用符號運算證明猜想，提高解決問題的能力.2.培養(yǎng)學生觀察、歸納、概括等能力.(三)情感與價值觀要求1.在拼圖游戲中對平方差公式有一個直觀的幾何解釋，體驗學習數(shù)學的樂趣.2.體驗符號運算對猜想的作用，享受數(shù)學符號表示運算規(guī)律的簡捷美.教學重點平方差公式的幾何解釋和廣泛的應用.教學難點準確地運用平方差公式進行簡單運算，培養(yǎng)基本的運算技能.教學方法啟發(fā)探究相結(jié)合教具準備一塊大正方形紙板，剪刀

2、.投影片四張第一張：想一想，記作(1.7.2 A)第二張：例3，記作(1.7.2 B)第三張：例4，記作(1.7.2 C)第四張：補充練習，記作(1.7.2 D)教學過程.創(chuàng)設問題情景，引入新課師同學們，請把自己準備好的正方形紙板拿出來，設它的邊長為a.這個正方形的面積是多少？生a2.師請你用手中的剪刀從這個正方形紙板上，剪下一個邊長為b的小正方形(如圖123).現(xiàn)在我們就有了一個新的圖形(如上圖陰影部分)，你能表示出陰影部分的面積嗎？圖123生剪去一個邊長為b的小正方形，余下圖形的面積，即陰影部分的面積為(a2b2).師你能用陰影部分的圖形拼成一個長方形嗎？同學們可在小組內(nèi)交流討論.(教師可

3、巡視同學們拼圖的情況，了解同學們拼圖的想法)生老師，我們拼出來啦.師講給大伙聽一聽.生我是把剩下的圖形(即上圖陰影部分)先剪成兩個長方形(沿上圖虛線剪開)，我們可以注意到，上面的大長方形寬是(ab),長是a;下面的小長方形長是(ab),寬是b.我們可以將兩個長方形拼成一個更大長方形，是由于大長方形的寬和小長方形的長都是(ab),我們可以將這兩個邊重合，這樣就拼成了一個如圖124所示的圖形(陰影部分)，它的長和寬分別為(a+b),(ab),面積為(a+b)(ab).圖124師比較上面兩個圖形中陰影部分的面積，你發(fā)現(xiàn)了什么？生這兩部分面積應該是相等的，即(a+b)(ab)=a2b2.生這恰好是我們

4、上節(jié)課學過的平方差公式.生我明白了.上一節(jié)課，我們用多項式與多項式相乘的法則驗證了平方差公式.今天，我們又通過拼圖游戲給出平方差公式的一個幾何解釋，太妙了.生用拼圖來驗證平方差公式很直觀，一剪一拼，利用面積相等就可推證.師由此我們對平方差公式有了更多的認識.這節(jié)課我們來繼續(xù)學習平方差公式，也許你會發(fā)現(xiàn)它更“神奇”的作用.講授新課師出示投影片(1.7.2 A)想一想：(1)計算下列各組算式，并觀察它們的特點 (2)從以上的過程中，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？(3)請你用字母表示這一規(guī)律，你能說明它的正確性嗎？生(1)中算式算出來的結(jié)果如下 生從上面的算式可以發(fā)現(xiàn)，一個自然數(shù)的平方比它相鄰兩數(shù)的積大1.師是

5、不是大于1的所有自然數(shù)都有這個特點呢？生我猜想是.我又找了幾個例子如： 師你能用字母表示這一規(guī)律嗎？生設這個自然數(shù)為a,與它相鄰的兩個自然數(shù)為a1,a+1,則有(a+1)(a1)=a21.生這個結(jié)論是正確的，用平方差公式即可說明.生可是，我有一個疑問，a必須是一個自然數(shù)，還必須大于2嗎？(同學們驚訝，然后討論)生a可以代表任意一個數(shù).師很好！同學們能大膽提出問題，又勇于解決問題，值得提倡.生老師，我還有個問題，這個結(jié)論反映了數(shù)字之間的一種關系.在平時有什么用途呢？(陷入沉思)生例如：計算2931很麻煩，我們就可以轉(zhuǎn)化為(301)(30+1)=3021=9001=899.師的確如此.我們在做一些

6、數(shù)的運算時，如果能一直有這樣“巧奪天工”的方法，太好了.我們不妨再做幾個類似的練習.出示投影片(1.7.2 B)例3用平方差公式計算：(1)10397 (2)118122師我們可以發(fā)現(xiàn)，直接運算上面的算式很麻煩.但注意觀察就會發(fā)現(xiàn)新的奧妙.生我發(fā)現(xiàn)了，103=100+3,97=1003,因此10397=(100+3)(1003)=100009=9991.太簡便了！生我觀察也發(fā)現(xiàn)了第(2)題的“奧妙”.118=1202,122=120+2118122=(1202)(120+2)=12024=144004=14396.生遇到類似這樣的題，我們就不用筆算，口算就能得出.師我們再來看一個例題(出示投影

7、片1.7.2 C).例4計算：(1)a2(a+b)(ab)+a2b2;(2)(2x5)(2x+5)2x(2x3).分析：上面兩個小題，是整式的混合運算，平方差公式的應用，能使運算簡便；還需注意的是運算順序以及結(jié)果一定要化簡.解：(1)a2(a+b)(ab)+a2b2=a2(a2b2)+a2b2=a4a2b2+a2b2=a4(2)(2x5)(2x+5)2x(2x3)=(2x)252(4x26x)=4x2254x2+6x=6x25注意：在(2)小題中，2x與2x3的積算出來后，要放到括號里，因為它們是一個整體.例5公式的逆用(1)(x+y)2(xy)2 (2)252242分析：逆用平方差公式可以使

8、運算簡便.解：(1)(x+y)2(xy)2=(x+y)+(xy)(x+y)(xy)=2x2y=4xy(2)252242=(25+24)(2524)=49.隨堂練習1.(課本P32)計算(1)704696(2)(x+2y)(x2y)+(x+1)(x1)(3)x(x1)(x)(x+)(可讓學生先在練習本上完成，教師巡視作業(yè)中的錯誤，或同桌互查互糾)解：(1)704696=(700+4)(7004)=16=(2)(x+2y)(x2y)+(x+1)(x1)=(x24y2)+(x21)=x24y2+x21=2x24y21(3)x(x1)(x)(x+)=(x2x)x2()2=x2xx2+=x2.(補充練習

9、)出示投影片(1.7.2 D)解方程：(2x+1)(2x1)+3(x+2)(x2)=(7x+1)(x1)(先由學生試著完成)解：(2x+1)(2x1)+3(x+2)(x2)=(7x+1)(x1)(2x)21+3(x24)=7x26x14x21+3x212=7x26x16x=12x=2.課時小結(jié)師同學們這節(jié)課一定有不少體會和收獲.生我能用拼圖對平方差公式進行幾何解釋.也就是說對平方差公式的理解又多了一個層面.生平方差公式不僅在計算整式時，可以使運算簡便，而且數(shù)的運算如果也能恰當?shù)赜昧似椒讲罟剑卜浅Ｉ衿?生我覺得這節(jié)課我印象最深的是犯錯誤的地方.例如a(a+1)(a+b)(ab)一定要先算乘法

10、，同時減號后面的積(a+b)(ab),算出來一定先放在括號里，然后再去括號.就不容易犯錯誤了.課后作業(yè)課本P32、習題1.12.活動與探究計算：1990219892+1988219872+221.過程先做乘方運算，再做減法，則計算繁瑣，觀察算式特點，考慮逆用平方差公式.結(jié)果原式=(1990219892)+(1988219872)+(221)=(1990+1989)(19901989)+(1988+1987)(19881987)+(2+1)(21)=1990+1989+1988+1987+2+1=板書設計1.7.2 平方差公式(二)一、平方差公式的幾何解釋：二、想一想特例歸納建立猜想用符號表示給

11、出證明即(a+1)(a1)=a21三、例題講解：例3 例4四、練習備課資料參考練習1.選擇題(1)在下列多項式的乘法中，不能用平方差公式計算的是( )A.(ab)(ab)B.(c2d2)(d2+c2)C.(x3y3)(x3+y3)D.(mn)(m+n)(2)用平方差公式計算(x1)(x+1)(x2+1)結(jié)果正確的是( )A.x41B.x4+1C.(x1)4D.(x+1)4(3)下列各式中，結(jié)果是a236b2的是( )A.(6b+a)(6ba)B.(6b+a)(6ba)C.(a+4b)(a4b)D.(6ba)(6ba)2.填空題(4)(5x+3y)( )=25x29y2(5)(0.2x0.4y)( )=0.16y20.04x2(6)(x11y)( )=x2+121y2(7)若(7m+A)(4n+B)=16n249m2,則A= ，B= .3.計算(8)(2x2+3y)(3y2x2).(9)(p5)(p2)(p+2)(p+5).(10)(x2y+4)(x2y4)(x2y+2)(x2y3).4.求值(11)(2003年上海市中考題)已知x22x=2,將下式先化簡，再求值(x1)2+(x+3)(x3)+(x3)(x1)5.探索規(guī)律(12)(2003年北京市中考)觀察下列順序排列的等式：90+1=191+2=1192+3=2