概率統(tǒng)計(jì) 84-91

1、,參數(shù)估 計(jì)問題,假設(shè)檢 驗(yàn)問題,點(diǎn) 估 計(jì),區(qū)間估 計(jì),1,設(shè)總體分布含有一未知參數(shù)，又x1,x2,xn為來自于總體的樣本，若對于給定(01)，統(tǒng)計(jì)量1(x1,x2,xn)和2(x1,x2,xn)滿足,則稱區(qū)間1,2為相應(yīng)于置信度是1-的置信區(qū)間，簡稱置信區(qū)間。,一、置信區(qū)間,第三節(jié) 置信區(qū)間,1,2分別稱為置信下限和置信上限. (1-)稱為置信度。,注意：區(qū)間1,2是隨機(jī)區(qū)間。,二、單側(cè)置信限,若對于給定的(01),統(tǒng)計(jì)量 1(x1,x2,xn)滿足,3,則稱區(qū)間1,+)為相應(yīng)于置信度是1-的單側(cè)置信區(qū)間，1稱為置信度是1-的單側(cè)置信下限。類似，滿足下式,問題: 如何確定總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)

2、1,2呢？對于一般總體是難于確定的.現(xiàn)僅能確定正態(tài)總體N(,2)中參數(shù),2的區(qū)間估計(jì)這對許多實(shí)際應(yīng)用已經(jīng)夠了.,的2為單側(cè)置信上限。,第四節(jié) 正態(tài)分布均值和方差 的區(qū)間估計(jì),5,設(shè)總體XN(,2)，其中2已知，又X1,X2,Xn為來自于總體的樣本。,一. 均值EX的區(qū)間估計(jì) 下面分兩種情況進(jìn)行討論。 1.方差DX已知，對EX進(jìn)行區(qū)間估計(jì),由第七章第三節(jié)中的結(jié)論可知,于是,6,即,由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布可知，對于給定的，可以找到一個(gè)數(shù)z1-/2 ，使,7,當(dāng)0.05時(shí),查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得臨界值,此時(shí)的置信區(qū)間是,即為的置信區(qū)間。稱z1-/2為在置信度1-下的臨界值，或稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的雙側(cè)分位點(diǎn)。,區(qū)間

3、,當(dāng)0.01時(shí),查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得臨界值,此時(shí)的置信區(qū)間是,9,例1. 已知某種滾珠的直徑服從正態(tài)分布，且方差為0.06，現(xiàn)從某日生產(chǎn)的一批滾珠中隨機(jī)地抽取6只，測得直徑的數(shù)據(jù)（單位mm）為 14.6 15.1 14.9 14.8 15.2 15.1 試求該批滾珠平均直徑的95置信區(qū)間。,解 當(dāng)0.05時(shí)，1-=0.95,查表得,于是,故所求置信區(qū)間為,實(shí)際應(yīng)用中往往是D(X)未知的情況。,設(shè)x1,x2,xn為正態(tài)總體N(,2)的一個(gè)樣本，由于2未知，我們用樣本方差S2來代替總體方差2，,2.方差D(X)未知，對EX進(jìn)行區(qū)間估計(jì),12,U與V獨(dú)立,根據(jù)第七章定理四，統(tǒng)計(jì)量,請比較U與T,對給定

4、的，查t分布表可得臨界值,使得,14,即,故得均值的置信區(qū)間為,當(dāng)=0.05，n=9時(shí)，查t分布表得臨界值,因此，在方差2未知的情況下，的 置信區(qū)間是,15,例2 : 設(shè)有某種產(chǎn)品,其長度服從正態(tài)分布，現(xiàn)從該種產(chǎn)品中隨機(jī)抽取9件,得樣本均值 9.28(cm),樣本標(biāo)準(zhǔn)差 s0.36(cm),試求該產(chǎn)品平均長度的90置信區(qū)間.,解：當(dāng)=0.1, n=9時(shí), 查t分布表得,于是,故所求置信區(qū)間為9.06，9.50。,16,設(shè)總體 是來自于總體的樣本?，F(xiàn)利用樣本給出2的置信區(qū)間?？紤]統(tǒng)計(jì)量,二.方差DX的區(qū)間估計(jì),由第七章定理三可知，統(tǒng)計(jì)量,17,于是，對給定的(01)，查2分布 表，可得臨界值 使

5、得,18,因此，當(dāng)總體N(,2)中的參數(shù)為未知的情況下，方差2的置信區(qū)間為,19,注意這里選取的臨界值,不是唯一的。例如可以選取,順便指出，的置信區(qū)間是,等等。,20,例3.某自動(dòng)車床生產(chǎn)的零件,其長度X服從正態(tài)分布,現(xiàn)抽取16個(gè)零件，測得長度(單位：mm)如下： 12.15,12.12, 12.01 , 12.08, 12.09, 12.16,12.03,12.01,12.06 ,12.13 , 12.07 , 12.11,12.08, 12.01 ,12.03 , 12.06 試求DX的置信度為95%的置信區(qū)間。,解：經(jīng)計(jì)算,查,分布表得,21,故DX的置信區(qū)間為,22,第九章 假設(shè)檢驗(yàn)(

6、一),23,9.1 假設(shè)檢驗(yàn)的基本概念,假設(shè)檢驗(yàn)：對一個(gè)或多個(gè)總體的概率分布或參數(shù)的假設(shè). 所作的假設(shè)可以是正確的, 也可以是錯(cuò)誤的.,為判斷所作的假設(shè)是否正確, 從總體中抽取樣本, 根據(jù)樣本的取值, 按一定的原則進(jìn)行檢驗(yàn), 然后, 作出接受或拒絕所作假設(shè)的決定.,24,例1. 某廠有一批產(chǎn)品,按國家規(guī)定標(biāo)準(zhǔn),次品率不得超過4才能出廠?，F(xiàn)從中任取10件進(jìn)行檢驗(yàn)(每次取1件，取后放回)，發(fā)現(xiàn)有4件次品，問該批產(chǎn)品能否出廠？,1.問題的提出,假設(shè)該批產(chǎn)品的次品率為p， 問題：檢驗(yàn)假設(shè)p4%是否成立？ 利用抽樣的結(jié)果來判斷這一假設(shè)是否成立。,25,若以X表示折斷力，那么這個(gè)例子的問題就化為：如何根據(jù)

7、抽樣的結(jié)果來判斷等式：“EX570”是否成立。,例2.某車間生產(chǎn)的一種銅絲，其折斷力服從N(570, 64)?，F(xiàn)改變生產(chǎn)工藝，并從新產(chǎn)品中抽取10個(gè)樣品進(jìn)行測量，得 575.2(N), 問折斷力大小與原來是否相同？(假定方差不會(huì)改變)。,上述例子的共同特點(diǎn)是：先對總體的參數(shù)或總體的分布函數(shù)的形式作某種假設(shè)H0，然后由抽樣結(jié)果對假設(shè)H0是否成立進(jìn)行推斷。 在數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中，稱檢驗(yàn)假設(shè)H0的方法為假設(shè)檢驗(yàn)。,27,在假設(shè)檢驗(yàn)中，通常把那個(gè)需要我們?nèi)z驗(yàn)是否為真的假設(shè)H0稱為原假設(shè)或者零假設(shè)。,如例1中的假設(shè)H0：p4%，例2中的假設(shè)H0：EX570,等等。例1，例2是對總體參數(shù)的假設(shè)進(jìn)行判斷，這類問

8、題稱為參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)。,28,檢驗(yàn)假設(shè)的依據(jù)是“小概率事件在一次試驗(yàn)中實(shí)際上是不可能發(fā)生”原理(概率論中稱它為實(shí)際推斷原理). 它是指 這樣一個(gè)信念：概率很小的事件在一次實(shí)際試驗(yàn)中是不可能發(fā)生的。如果發(fā)生了，人們寧愿認(rèn)為該事件的前提條件起了變化。,2.假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想,29,小概率原理又稱實(shí)際推斷原理，它是概率論中一個(gè)基本而有實(shí)際價(jià)值的原理，在日常生活中也有廣泛應(yīng)用。人們出差，旅行可以放心大膽地乘坐火車，原因是火車出事故這事件的概率很小，在一次試驗(yàn)（乘坐一次火車）中，這個(gè)小概率事件實(shí)際上不會(huì)發(fā)生的。,30,假設(shè)檢驗(yàn)的過程,31,假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想,. 因此我們拒絕假設(shè) = 50,m,= 50

9、,抽樣分布,H0,32,假設(shè)檢驗(yàn)所以可行，其理論背景為實(shí)際推斷原理，即“小概率原理”,33,某廠生產(chǎn)的螺釘,按標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)度為68克/mm2, 而實(shí)際生產(chǎn)的螺釘強(qiáng)度 X 服從 N ( ,3.6 2 ). 若 E ( X ) = = 68, 則認(rèn)為這批螺釘符合要 求,否則認(rèn)為不符合要求.為此提出如下假設(shè):,現(xiàn)從該廠生產(chǎn)的螺釘中抽取容量為 36 的樣本, 其樣本均值為 ,問原假設(shè)是否正確?,引 例,34,若原假設(shè)正確, 則,35,規(guī)定 為小概率事件的概率大小,通常取 = 0.05, 0.01,例如, 取 = 0.05 , 則,因此, 可以確定一個(gè)常數(shù) c , 使得,36,由,37,顯著性水平和拒絕域(雙

10、側(cè)檢驗(yàn) ),38,顯著性水平和拒絕域(雙側(cè)檢驗(yàn) ),39,顯著性水平和拒絕域(雙側(cè)檢驗(yàn) ),40,由引例可見,在給定 的前提下,接受還是 拒絕原假設(shè)完全取決于樣本值, 因此所作檢驗(yàn)可能導(dǎo)致以下兩類錯(cuò)誤的產(chǎn)生：,41,H0 為真,H0 為假,正確,正確,第一類錯(cuò)誤 (棄真),第二類錯(cuò)誤 (取偽),假設(shè)檢驗(yàn)的兩類錯(cuò)誤,犯第一類錯(cuò)誤的概率通常記為 犯第二類錯(cuò)誤的概率通常記為 ,42,H0: 無罪,假設(shè)檢驗(yàn)中的兩類錯(cuò)誤 (決策結(jié)果),假設(shè)檢驗(yàn)就好像 一場審判過程,統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)過程, 錯(cuò)誤和 錯(cuò)誤的關(guān)系,你不能同時(shí)減少兩類錯(cuò)誤!,和的關(guān)系就像翹翹板，小就大，大就小,44,希望所用的檢驗(yàn)方法盡量少犯錯(cuò)誤,但不

11、能完全排除犯錯(cuò)誤的可能性. 在樣本的容量給定的情形下, 不可能使兩者都很小,降低一個(gè), 往往使另一個(gè)增大.,假設(shè)檢驗(yàn)的指導(dǎo)思想是: 控制犯第一類錯(cuò)誤的概率不超過 ,然后, 若有必要,通過增大樣本容量的方法,減少 .,45,所以,拒絕 H0 的概率為 , 又稱為顯著性水平, 越大,犯第一類錯(cuò)誤的概率越大, 即越顯著.,本引例中,犯第一類錯(cuò)誤的概率 =P(拒絕H0|H0為真),若H0為真, 則,46,H0 真,H0 不真,47,一般,作假設(shè)檢驗(yàn)時(shí),先控制犯第一類 錯(cuò)誤的概率 , 在保證 的條件下使 盡量地小.要降低 一般要增大樣本容量. 本課程僅考慮控制 .,備擇假設(shè)可以是單側(cè)的,也可以是雙側(cè)的.

12、引例中的備擇假設(shè)是雙側(cè)的.如果根據(jù)以往的生產(chǎn)情況, 0 = 68.現(xiàn)采用了新工藝,關(guān)心的是新工藝能否提高螺釘強(qiáng)度, 越大越好.此時(shí), 可作如下的假設(shè)檢驗(yàn):,注 1,注 2,48,右側(cè)檢驗(yàn)： 原假設(shè) H0 : = 68；,備擇假設(shè) H1 : 68,給定顯著性水平 , 根據(jù),可確定拒絕域,49,因而, 接受域,稱這種檢驗(yàn)為右側(cè)檢驗(yàn).,原假設(shè) H0: = 0 = 68,備擇假設(shè) H1: 68,左側(cè)檢驗(yàn),類似可確定拒絕域,因而, 接受域,50,顯著性水平和拒絕域(左側(cè)檢驗(yàn) ),51,顯著性水平和拒絕域(左側(cè)檢驗(yàn) ),52,顯著性水平和拒絕域(右側(cè)檢驗(yàn) ),置信水平,53,顯著性水平和拒絕域(右側(cè)檢驗(yàn) ),54,關(guān)于零假設(shè)與備擇假設(shè)的選取,H0與H1地位應(yīng)平等,但在控制犯第一類錯(cuò)誤 的概率 的原則下,使得采取拒絕H0 的決 策變得較慎重,即H0 得到特別的保護(hù).,因而,通常把有把握的、