第9章靜定結(jié)構(gòu)位移計(jì)算

1、第9章 靜定結(jié)構(gòu)位移計(jì)算【9.1位移計(jì)算概述】【9.2變形體虛功原理】【9.3位移計(jì)算公式】【9.4靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算】【9.5圖乘法】【9.6其它因素產(chǎn)生的位移】【9.7互等定理】目的要求領(lǐng)會(huì)變形體虛功原理和互等定理。掌握實(shí)功、虛功、廣義力、廣義位移的概念。熟練掌握荷載產(chǎn)生的位移計(jì)算。熟練掌握?qǐng)D乘法求位移。了解溫度改變、支座移動(dòng)引起的位移計(jì)算。9.1 位移計(jì)算概述9.1.1 計(jì)算位移的目的：（1）驗(yàn)算結(jié)構(gòu)的剛度。結(jié)構(gòu)變形不得超過規(guī)范規(guī)定的容許值。（2）為超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算打基礎(chǔ)。 （3）結(jié)構(gòu)在施工過程中的撓度驗(yàn)算。（4)結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算和穩(wěn)定計(jì)算也需要計(jì)算結(jié)構(gòu)的位移。舉例919.1

2、.2 引起位移的主要原因： 各種因素對(duì)靜定結(jié)構(gòu)的影響： 內(nèi)力 變形 位移 荷載 溫度改變或材料脹縮 支座移動(dòng)或制造誤差 引起位移的主要原因有上述三種：荷載作用、溫度變化、支座移動(dòng)和制造誤差。9.1.3 計(jì)算方法本章只討論線性變形體系的位移計(jì)算，計(jì)算方法是單位荷載法，其理論基礎(chǔ)是虛功原理。 線性變形體系和疊加原理的使用條件是：材料處于彈性階段，應(yīng)力與應(yīng)變成正比；小變形。因此可以應(yīng)用疊加原理計(jì)算結(jié)構(gòu)的位移。 9.2 變形體的虛功原理9.2.1 虛功和虛功原理（1）實(shí)功：力在本身引起的位移上作功，恒為正值（2）虛功：力在其它原因引起的位移上所作的功（力在虛位移上作的功），可正可負(fù)如圖（9-1）力與位

3、移同向，虛功為正，力與位移反向，虛功為負(fù)。虛位移：與作功的力無關(guān)。是結(jié)構(gòu)的支承條件和變形條件允許的微小位移。引起位移的原因：可以是一組力，溫度變化、支座位移等，也可以是假想的位移，故稱為“虛”。（3）廣義力和廣義位移：在功的計(jì)算公式W=P中，涉及到兩方面因素： 與力有關(guān)的因素：例如，一個(gè)力、一個(gè)力偶、一對(duì)力、一對(duì)力偶。把這些與力有關(guān)的因素稱為廣義力； 與廣義力相應(yīng)的位移因素：例如，與集中力相應(yīng)的廣義位移是該力的作用點(diǎn)的總?cè)灰圃诹Φ姆较蛏系姆至?；與集中力偶相應(yīng)的廣義位移是它所作用截面的轉(zhuǎn)角；與作用點(diǎn)不同但等值、反向、共線的一對(duì)力相應(yīng)的廣義位移是兩力作用點(diǎn)沿兩力方向的相對(duì)線位移；與等值、反向一對(duì)

4、力偶相應(yīng)的廣義位移是兩力偶作用截面的相對(duì)轉(zhuǎn)角，等。把這些與位移有關(guān)的因素稱為廣義位移。廣義力與相應(yīng)廣義位移的關(guān)系是：它們的乘積是虛功。 9.2.2 變形體虛功原理：變形虛功：當(dāng)給體系一虛位移時(shí)，除了外力（荷載、反力）在虛位移上作虛功外，內(nèi)力在相應(yīng)變形上也要作虛功。內(nèi)力在相應(yīng)變形上所作的虛功稱為變形虛功。變形體的虛功原理可描述為：變形體處于平衡的必要和充分條件是，對(duì)于任何虛位移，外力所作虛功總和，等于各微段上的內(nèi)力在其變形上所作的虛功總和。即：外力虛功變形虛功 （91） （為虛功方程）注意：變形體虛功原理，對(duì)剛體也適用。因剛體發(fā)生虛位移時(shí)，微段不變形，故得所以：剛體虛功原理是變形體虛功原理得一個(gè)

5、特例。虛功原理的適用范圍：彈性、非彈性、線性、非線性的變形體系都適用。9.2.3 變形虛功的計(jì)算如圖93所示，微段的變形虛功：整個(gè)結(jié)構(gòu)得變形虛功： （c）所有微段兩側(cè)截面內(nèi)力在相應(yīng)變形上所作的虛功總和，稱變形虛功。虛功方程： 對(duì)于平面桿件結(jié)構(gòu)： （92）虛功方程： （93）圖939.2.4 虛功原理的應(yīng)用虛功有兩種常見表達(dá)形式：由于產(chǎn)生虛功的力和位移無關(guān)，因此，即可以把位移看作是虛設(shè)的，也可以把力看作是虛設(shè)的。（1）位移是虛設(shè)的，虛功可以描述為：實(shí)際存在的力虛設(shè)的位移，由于位移是虛設(shè)的，這種形式下的虛功原理又叫做虛位移原理，可以用于求未知力。（2）力是虛設(shè)的，虛功可以描述為：實(shí)際存在的位移虛設(shè)

6、的力，由于力是虛設(shè)的，這種形式下的虛功原理又叫做虛力原理，可以用于求未知位移。9.3 位移計(jì)算的一般公式 單位荷載法9.3.1 一般公式 例圖9-4（a）所示，由于荷載、支座移動(dòng)引起了變形，求指定點(diǎn)K沿指定方向K-K上的位移。（a） （b） 圖9-4應(yīng)用虛功原理，建立虛設(shè)狀態(tài)如圖9-4（b），、為引起的內(nèi)力 （94）式（94）為平面桿系結(jié)構(gòu)位移計(jì)算一般公式位移實(shí)際方向的確定： 為正，實(shí)際方向與方向相同；為負(fù)，實(shí)際方向與方向相反。 廣義位移要點(diǎn)：用虛功原理求位移，關(guān)鍵在于虛設(shè)一個(gè)恰當(dāng)?shù)牧顟B(tài)。恰當(dāng)之處：讓在所求位移上作虛功，虛功恰好等于所求位移。這種計(jì)算位移的方法，叫虛設(shè)單位荷載法。9.3.2

7、虛設(shè)廣義單位荷載必須與擬求的廣義位移相對(duì)應(yīng)。如圖9-5所示。 圖9-59.4 靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算9.4.1 荷載作用下的位移計(jì)算公式假定：結(jié)構(gòu)的材料是線彈性，位移微小，應(yīng)力應(yīng)變符合虎克定律，位移與荷載成正比，荷載產(chǎn)生的位移可以疊加。例圖9-6（a）所示，求K點(diǎn)指定方向的位移 圖9-6位移計(jì)算公式： （95）荷載引起： （a） 、虛擬狀態(tài)中微段上的內(nèi)力 、實(shí)際狀態(tài)微段的變形由材力知： 剪應(yīng)力不均勻系數(shù)矩形, 圓, 位移計(jì)算公式： （96）（96）式平面桿件結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算公式。分析：右三項(xiàng)分別表示：彎曲變形、軸向變形、剪切變形對(duì)所求位移的影響。梁和剛架：（、引起的位移很小,

8、可忽略不計(jì)） （97）桁架：（只有軸力、且EA沿桿長L是常數(shù)） （98）組合結(jié)構(gòu)：（梁式桿只計(jì)M，鏈桿只計(jì)N） （99）剪切變形中修正系數(shù)K的來源：式（a）中：虛擬狀態(tài)的剪力在實(shí)際狀態(tài)剪切變形上所作的虛功。由于“虛設(shè)狀態(tài)”中、“實(shí)際狀態(tài)”中分布不均勻，相應(yīng)剪應(yīng)變分布也不均勻，所以微段所作的虛功應(yīng)按積分計(jì)算： 圖9-7由材力知： b所求剪應(yīng)力處的截面寬度 S該位置以上（下）截面積對(duì)z軸的靜矩，如圖9-7。 式中 剪應(yīng)力分布不均勻改正系數(shù)。（無量綱）9.4.2 計(jì)算舉例例1 試求圖9-8（a）所示剛架A點(diǎn)的豎向位移。各桿材料相同，截面I、A為常數(shù)。圖9-8解：(1)、建立虛擬狀態(tài)如圖（b），(2)

9、、寫、式設(shè)坐標(biāo)如圖：AB段： BC段： (3)、代入（7-6）式積分： 括號(hào)內(nèi)第一項(xiàng)是彎矩M的影響；第二項(xiàng)是軸力N的影響；第三項(xiàng)是剪力Q的影響。(4)、討論：設(shè)截面為矩形 當(dāng)時(shí)，取，得： 由此可見：影響可忽略。一般桿系結(jié)構(gòu)不超過。所以只考慮M的影響即可。例2 試求圖9-9所示等截面圓弧曲梁B點(diǎn)得水平位移。實(shí)際狀態(tài) 虛擬狀態(tài)圖9-9解：(1)、建立虛擬狀態(tài)如圖。(2)、為小曲率桿，近似用直桿位移公式，只考慮彎矩M的影響，寫、表達(dá)式，即列彎矩方程： (3)、計(jì)算位移例3 試求圖9-10所示對(duì)稱桁架結(jié)點(diǎn)D的豎向位移。圖中右半部各括號(hào)內(nèi)數(shù)值為桿件得截面積，設(shè)，A（）圖9-10解：(1) 建立虛擬狀態(tài)如

10、圖。(2) 求各桿內(nèi)力、(3) 求（下弦視為兩根桿） 例4 圖9-11所示曲梁為圓弧形，EI=常數(shù)，試求B點(diǎn)的水平位移。圖9-11（）9.5 圖乘法求位移從上節(jié)知，計(jì)算梁和剛架在荷載作用下的位移時(shí)，先寫、方程式，再代入公式積分，當(dāng)荷載比較復(fù)雜時(shí)，運(yùn)算十分繁。但當(dāng)結(jié)構(gòu)符合一定條件時(shí)，可以用圖乘法代替積分法運(yùn)算，可使計(jì)算簡化。9.5.1 圖乘法的條件（1）桿段是直桿；（2）桿段內(nèi)EI為常數(shù)；（3）或圖至少有一個(gè)是直線圖形。9.5.2 公式推導(dǎo) 圖9-12如圖9-12， 若所有桿件均可圖乘： （910）式中：-為一個(gè)彎矩圖的面積；yc-為另一個(gè)彎矩圖中的豎標(biāo)。即：當(dāng)滿足圖乘條件時(shí)，積分的值，就等于圖

11、的面積乘以形心位置對(duì)應(yīng)的圖（直線圖）上的豎距再除以EI，這就叫圖乘法（圖形相乘法）。注意事項(xiàng)：(1) 必須符合三個(gè)條件。EI沿桿長變化或?yàn)榍鷹U不能用。EI各段不同時(shí)應(yīng)分段。(2) 必須取自直線圖，并與曲線圖形心對(duì)應(yīng)。若、圖均為直線圖，可互換。(3) 同側(cè)圖形相乘為正，異側(cè)圖形相乘為負(fù)。(4) 二次拋物線圖形（均布荷載作用下M圖）的面積及形心位置公式：。 圖9-6 (5) 拋物線的頂點(diǎn)（Q=0點(diǎn)）切線平行于底邊的點(diǎn)。 當(dāng)彎矩圖的形心位置或面積不便于確定時(shí)，常將該圖形分解為幾個(gè)易于確定形心位置和面積的部分，并將它們分別與另一圖形相乘，再將所得結(jié)果相加。下面分兩種情況討論： （1） 直線圖形乘直線圖

12、形圖3所示兩直線圖形相乘，先將第一個(gè)圖形分成兩個(gè)三角形，分別與第二個(gè)圖形相乘再疊加，結(jié)果為： 圖9-7注：豎標(biāo)在基線同側(cè)時(shí)乘積為正值，在異側(cè)乘積為負(fù)。各種直線形圖形與直線形圖形相乘，都可用該式處理。（2） 復(fù)雜拋物線形圖形乘直線形圖形：當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)（Q=0處）不在拋物線的中點(diǎn)或端點(diǎn)時(shí)，可將其分成直線形和簡單拋物線（如圖4），兩者分別與另一圖形相乘，再把乘得的結(jié)果相加。 圖9-8圖乘法舉例929.6 其它因素產(chǎn)生的位移9.6.1 溫度變化引起的位移計(jì)算溫度作用是指結(jié)構(gòu)使用與建造時(shí)溫度發(fā)生改變對(duì)結(jié)構(gòu)的作用。溫度改變對(duì)靜定結(jié)構(gòu)不產(chǎn)生內(nèi)力，但材料會(huì)發(fā)生自由膨脹和收縮，從而引起截面的應(yīng)變（即溫度應(yīng)變）

13、，使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生變形和位移。 （1）溫度變形：假設(shè)溫度改變沿桿長均勻，沿截面高度為線性分布。因此，截面發(fā)生溫度變形后，仍保持為平面。截面的變形可分解為沿軸向拉伸變形和截面轉(zhuǎn)角變形 。 圖9-9形心軸處的溫度改變： t0=（h1t2+h2t1）/h 上、下邊緣的溫度改變差值：t=t2-t1 微段的變形：du=t0ds，d =a（t2-t1）ds/h = atds/h，d=0 （2）溫度改變引起的位移計(jì)算公式：將溫度變形代入位移計(jì)算一般公式： 得到溫度改變引起的位移計(jì)算公式： （911）式中：材料的線膨脹系數(shù)； h桿件的截面高度； t0桿件軸線上的溫度改變；t桿件兩側(cè)溫度改變之差。正負(fù)號(hào)規(guī)定： 件同側(cè)

14、受拉時(shí)乘積為正，否則為負(fù)。計(jì)算舉例 舉例939.6.2 支座移動(dòng)引起的位移計(jì)算 （1） 支座移動(dòng)引起的位移：靜定結(jié)構(gòu)由于支座移動(dòng)不會(huì)產(chǎn)生內(nèi)力和變形，位移計(jì)算公式 。 (912)單位荷載產(chǎn)生的反力與支座位移同向時(shí)，為正，否則為負(fù)。 （2） 制造誤差引起的位移計(jì)算公式：制造誤差通常是桿件長度偏差0 將制造誤差視為初變形，制造誤差引起的位移就等于單位荷載產(chǎn)生的內(nèi)力在這些初變形上作的虛功，即： （913）正負(fù)規(guī)定： 與初變形方向一致時(shí)乘積為正，否則為負(fù)。 支座移動(dòng)引起的位移 舉例94 制造誤差引起的位移 舉例959.7 互等定理9.7.1互等定理 （1） 功的互等定理： 狀態(tài)1的外力在狀態(tài)2的位移上作的虛功T12，等于狀態(tài)2的外力在狀態(tài)1的位移上作的虛功T21。即：T12=T21。功的互等定理推導(dǎo) 舉例96（2） 位移互等定理： 由第一個(gè)單位力引起的沿第二個(gè)單位力方向的位移21，等于第二個(gè)單位力引起的沿第一個(gè)單位力方向的位移12，即：12=21。位移互等定理推導(dǎo) 舉例97（3） 反力互等定理： 由于支