第五章熱力學(xué)第一定律

1、第五章 熱力學(xué)第一定律51.0.020Kg的氦氣溫度由 升為 ，若在升溫過程中：（1）體積保持不變；（2）壓強(qiáng)保持不變；（3）不與外界交換熱量，試分別求出氣體內(nèi)能的改變，吸收的熱量，外界對(duì)氣體所作的功，設(shè)氦氣可看作理想氣體，且 ，解：理想氣體內(nèi)能是溫度的單值函數(shù)，一過程中氣體溫度的改變相同，所以內(nèi)能的改變也相同，為：熱量和功因過程而異，分別求之如下：（1）等容過程：V=常量 A0由熱力學(xué)第一定律， （2）等壓過程：由熱力學(xué)第一定律，負(fù)號(hào)表示氣體對(duì)外作功，（3）絕熱過程Q0由熱力學(xué)第一定律 52.分別通過下列過程把標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的0.014Kg氮?dú)鈮嚎s為原體積的一半；（1）等溫過程；（2）絕熱過程；

2、（3）等壓過程，試分別求出在這些過程中氣體內(nèi)能的改變，傳遞的熱量和外界對(duì)氣體所作的功，設(shè)氮?dú)饪煽醋骼硐霘怏w，且 ，解：把上述三過程分別表示在P-V圖上，（1）等溫過程理想氣體內(nèi)能是溫度的單值函數(shù)，過程中溫度不變，故由熱一、 負(fù)號(hào)表示系統(tǒng)向外界放熱（2）絕熱過程由 或 得由熱力學(xué)第一定律 另外，也可以由 及 先求得A（3）等壓過程，有或 而 所以 由熱力學(xué)第一定律，也可以由 求之另外，由計(jì)算結(jié)果可見，等壓壓縮過程，外界作功，系統(tǒng)放熱，內(nèi)能減少，數(shù)量關(guān)系為，系統(tǒng)放的熱等于其內(nèi)能的減少和外界作的功。53 在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的0.016Kg的氧氣，分別經(jīng)過下列過程從外界吸收了80cal的熱量。（1）若為等溫

3、過程，求終態(tài)體積。（2）若為等容過程，求終態(tài)壓強(qiáng)。（3）若為等壓過程，求氣體內(nèi)能的變化。設(shè)氧氣可看作理想氣體，且 解：（1）等溫過程 則故 （2）等容過程 （3）等壓過程 54 為確定多方過程方程 中的指數(shù)n，通常取 為縱坐標(biāo)， 為橫坐標(biāo)作圖。試討論在這種圖中多方過程曲線的形狀，并說(shuō)明如何確定n。解： 將 兩邊取對(duì)數(shù) 或 比較 知在本題圖中多方過程曲線的形狀為一直線，如圖所示。直線的斜率為 可由直線的斜率求n?；?即n可由兩截距之比求出。55 室溫下一定量理想氣體氧的體積為 ，壓強(qiáng)為 。經(jīng)過一多方過程后體積變?yōu)?，壓強(qiáng)為 。試求：（1）多方指數(shù)n；（2）內(nèi)能的變化；（3）吸收的熱量；（4）氧膨

4、脹時(shí)對(duì)外界所作的功。設(shè)氧的 。解：（1） 或 取對(duì)數(shù)得（2） 內(nèi)能減少。（3） （4）由熱力學(xué)第一定律 也可由 求 56 一摩爾理想氣體氦，原來(lái)的體積為 ，溫度為 ，設(shè)經(jīng)過準(zhǔn)靜態(tài)絕熱過程體積被壓縮為 ，求在壓縮過程中，外界對(duì)系統(tǒng)所作的功。設(shè)氦氣的 。解： 由熱力學(xué)第一定律57 在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的 氧氣，經(jīng)過一絕熱過程對(duì)外作功 。求終態(tài)壓強(qiáng)、體積和溫度。設(shè)氧氣為理想氣體，且 ， 解：絕熱 由熱力學(xué)第一定律 58.0.0080Kg氧氣。原來(lái)溫度為 ，體積為0.41l，若（1）經(jīng)過絕熱膨脹體積增為4.1l；（2）先經(jīng)過等溫過程再經(jīng)過等容過程達(dá)到與（1）同樣的終態(tài)。試分別計(jì)算在以上兩種過程中外界對(duì)氣體所作

5、的功。設(shè)氧氣可看作理想氣體，且 。解：如圖，將兩種過程在 圖上表示。 （1）絕熱過程 負(fù)號(hào)表示系統(tǒng)對(duì)外界作功 （2） 等容過程外界對(duì)氣體不作功 5-9.在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下，一摩爾單原子理想氣體先經(jīng)過一絕熱過程，再經(jīng)過一等溫過程，最后壓強(qiáng)和體積均為原來(lái)的兩倍，求整個(gè)過程中系統(tǒng)吸收的熱量。若先經(jīng)過等溫過程再經(jīng)過絕熱過程而達(dá)到同樣的狀態(tài)，則結(jié)果是否相同？解：（1）先絕熱壓縮再等溫膨脹，從態(tài)1到態(tài)2如圖，對(duì)態(tài)2 又，僅等溫過程吸熱 （2）先等溫膨脹再絕熱壓縮，氣體從態(tài)1到態(tài)2，如圖由（1）知 又 僅等溫過程態(tài)1到態(tài)4吸熱，8.31273ln166.3 J可見，結(jié)果與(1)中不同，說(shuō)明熱量是過程量。510.一

6、定量的氧氣在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下體積為10.0l，求下列過程中氣體所吸收的熱量： （1）等溫膨脹到20.0l；（2）先等容冷卻再等壓膨脹到（1）所達(dá)到的終態(tài)。設(shè)氧氣可看作理想氣體，且 。解：（1）等溫膨脹 1.013 10 702J （2）先等容冷卻在等壓膨脹 對(duì)123全過程： 則 由熱力學(xué)第一定律 507J511.圖511中的實(shí)線表示一任意形狀系統(tǒng)的界面。設(shè)當(dāng)系統(tǒng)的界面由實(shí)線膨脹到虛線的微元過程中，系統(tǒng)總體積增加dv，而在這過程界面上各均受到與界面垂直的外界對(duì)系統(tǒng)所作體積功為 ；若過程為準(zhǔn)靜態(tài)的，則此功又可表示為 ，其中P表示系統(tǒng)內(nèi)部均勻壓強(qiáng)。證：如圖，當(dāng)系統(tǒng)的界面由實(shí)線膨脹到虛線的微元過程中，所取面

7、元ds移動(dòng)距離dl，移動(dòng)方向與 相反，所以此微元過程中外界壓強(qiáng) 對(duì)面元ds作的功為由于 在界面上各處均勻，且在微元過程中可視為不變，則外界對(duì)整個(gè)系統(tǒng)所作的體積功為對(duì)于無(wú)摩擦的準(zhǔn)靜態(tài)過程 故此功又可表為 其中P表示系統(tǒng)內(nèi)部均勻壓強(qiáng)。513.某氣體服從狀態(tài)方程 ，內(nèi)能為： 、 為常數(shù)。試證明，在準(zhǔn)靜態(tài)絕熱過程中，這氣體滿足方程：常數(shù)其中 證：由熱力學(xué)第一定律， （1）由 ， 對(duì)準(zhǔn)靜態(tài)絕熱過程 則（1）式為 （2）將 微分代入（2）式得：或 （3）又，該氣體有 已知 為常數(shù)，則 為常數(shù)。令 則 為常數(shù)代入（3）式 積分得 常數(shù)514.在 時(shí)水蒸氣的飽和氣壓為0.bar。若已知在這條件下水蒸氣的焓是2

8、545.0KJ ，水的焓是100.59 KJ ，求在這條件下水蒸氣的凝結(jié)熱。解：在水蒸氣凝結(jié)為水的等溫等壓過程中，系統(tǒng)吸收的熱量等于其焓的增加，為 H水H氣100.592545.0 24444.41 KJ 即該條件下水蒸氣的凝結(jié)熱，負(fù)號(hào)表示水蒸氣凝結(jié)時(shí)放熱。515.分析實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表明，在1atm下，從300K到1200K范圍內(nèi)，銅的定壓摩爾熱容量 可表示為其中a2.3 ，b5.92， 的單位是 。試由此計(jì)算在1atm下，當(dāng)溫度從300K增加到1200K時(shí)銅的焓的改變。解：銅在升溫過程中壓強(qiáng)不變，吸收的熱量等于其焓的增加，所以 = 516.設(shè)一摩爾固體的物態(tài)方程可寫作內(nèi)能可表示為 其中a、b、c和

9、 均是常數(shù)。試求：（1） 摩爾焓的表達(dá)式；（2） 摩爾熱容量 和 解：（1） （2） 利用 先將u表示為T，v的函數(shù) = = = 注意：這道題目出的有毛病，因?yàn)橛蔁崃W(xué)關(guān)系可證但由本題所給條件 =aT而T p =aTbp顯然不滿足（ ）式，即本題條件違背熱力學(xué)基本關(guān)系。5-17 .若把氮?dú)?、氫氣和氨氣都看著作理想氣體（p 0）,由氣體熱力學(xué)性質(zhì)表可查到它們?cè)?98K的焓值分別為8669J m0 .試求在定壓下氨的合成熱。氨的合成反應(yīng)為 解：系統(tǒng)在定壓下吸收的熱量等于其焓的增加，為 = = 即氮的合成熱。負(fù)號(hào)表示此合成反應(yīng)是放熱的。518.料電池是把化學(xué)能直接轉(zhuǎn)化為電能的裝置。圖5-18所示是燃

10、料電池一例。把氫氣 和氧氣連續(xù)通入多孔Ni電極，Ni電極是浸在KOH電解溶液中的（電極的孔徑很小，可使電解液因毛細(xì)現(xiàn)象而滲入，但氫和氧氣都透不過）。負(fù)極上的化學(xué)反應(yīng)是，氫與電解液中的氫氧根離于結(jié)合，生成離子和水： 電子通過電極跑到外電路去。正極上的化學(xué)反應(yīng)是，氧與電解液中的水、電子結(jié)合為氫氧子： 這燃料電池反應(yīng)的總效果是： 若一燃料電池工作于298K定壓下，在反應(yīng)前后焓的改變?yōu)?兩極電壓為 。試求這燃料電池的效率。解：定壓下，1摩爾氫爾和半摩爾氧化合成1摩爾水時(shí)吸收的熱量為 負(fù)號(hào)表示實(shí)際放出的熱量為 每產(chǎn)生1個(gè)水分子就有兩個(gè)電子自陰極跑到陽(yáng)極，因而生成1摩爾的水就有 個(gè)電子自陰極跑到陽(yáng)極。每個(gè)

11、電子的電量為 庫(kù)侖，故總電量為 庫(kù)侖已知兩極間電壓為 ，故所作電功為 焦耳則，這燃料電池的效率為 519.大氣溫度隨高度降低的主要原因是，低處與高處各層間不斷發(fā)生空氣交換。由于空氣的導(dǎo)熱性能不好，所以空氣在升高時(shí)的膨脹（及下降時(shí)的壓縮）可認(rèn)為是絕熱過程。若假設(shè)過程是準(zhǔn)靜態(tài)的，并注意到大氣達(dá)到穩(wěn)定機(jī)械平衡時(shí)壓強(qiáng)差與高度的關(guān)系，證明空氣的溫度梯度為 其中p為空氣壓強(qiáng), 、T分別為緊度與溫度， 是空氣的 。證：所謂“大氣達(dá)穩(wěn)定機(jī)械平衡”，指重力場(chǎng)中的氣體分子在熱運(yùn)動(dòng)和重力兩種互相對(duì)立的作用下的平衡，平衡時(shí)分子數(shù)密度隨高度減小的規(guī)律可由玻爾茲曼分布律給出，結(jié)合p=nkT可得大氣壓強(qiáng)差與高度差的關(guān)系（等

12、溫氣壓公式）： 微分得， 從 有 代入上式得 （1） 認(rèn)為一定量的空氣上升時(shí)經(jīng)歷的過程，是理想氣體的準(zhǔn)靜態(tài)絕熱膨脹，有 取對(duì)數(shù)，再微分，有 或 將（1）代入此式得： 即空氣的溫度梯度。5-20.利用大氣壓隨高度變化的微分公式 證明： 其中 和 為地面的溫度和壓強(qiáng)，p是高度h處的壓強(qiáng)。假設(shè)上升空氣的膨脹是準(zhǔn)靜態(tài)絕熱過程。證：將dp表達(dá)式中的變量T用絕熱方程換掉后積分即得證明，具體作法如下：取一定量空氣在地面和高度z處兩狀態(tài)，由絕熱方程得 代入dp的表達(dá)式中，得 或 積分 整理 而 所以 5-21. 圖5-21有一除底部外都是絕熱的氣筒，被一位置固定的導(dǎo)熱板隔成相等的兩部分A和B，其中各盛有一摩爾

13、的理想氣體氮。今將80cal 的熱量緩慢地同底部供給氣體，設(shè)活塞上的壓強(qiáng)始終保持為1.00atm,求A部和B部溫度的改變以及各吸收的熱量(導(dǎo)熱板的熱容量可以忽略). 若將位置固定的導(dǎo)熱板換成可以自由滑動(dòng)的絕熱隔板,重復(fù)上述討論.解：(1)導(dǎo)熱板位置固定經(jīng)底部向氣體緩慢傳熱時(shí)，A部氣體進(jìn)行的是準(zhǔn)靜態(tài)等容過程，B部進(jìn)行的是準(zhǔn)表態(tài)等壓過程。由于隔板導(dǎo)熱，A、B兩部氣體溫度始終相等，因而 =6.7K =139.2J （2） 絕熱隔板可自由滑動(dòng)B部在1大氣壓下整體向上滑動(dòng)，體積保持不變且絕熱，所以溫度始終不變。A部氣體在此大氣壓下吸熱膨脹 5-22. 圖5-22所示是一種測(cè)定 =CP/CV的裝置。經(jīng)活塞

14、B將氣體壓入營(yíng)容器A中，使壓強(qiáng)略高于大氣壓（設(shè)為P1）。然后迅速開戶再關(guān)閉活塞C，此時(shí)氣體絕熱膨脹到大氣壓P0。經(jīng)過一段時(shí)間，容器中氣體的溫度又恢復(fù)到與室溫相同，壓強(qiáng)變?yōu)镻2，假設(shè)開啟C后關(guān)閉C前氣體經(jīng)歷的是準(zhǔn)靜態(tài)絕熱過程，試定出求 的表達(dá)式。解：由于P1略大于P0，當(dāng)開啟C后，將有一部分氣體沖出容器A，把仍留在A中的氣體作為研究對(duì)象，則從開戶C后到關(guān)閉C前，系統(tǒng)經(jīng)歷準(zhǔn)靜態(tài)絕熱膨脹過程，由狀態(tài)1（P1，T0）到狀態(tài)2（P0，T2）；從關(guān)閉C到留在A的氣體恢復(fù)室溫，系統(tǒng)經(jīng)歷準(zhǔn)靜態(tài)等容吸熱過程，由狀態(tài)2（P0，T2）到狀3（P2，T0）。兩過程可表示如圖 絕熱過程中 等容過程中 取對(duì)數(shù)整理得： 5

15、23.如圖5-23，瓶?jī)?nèi)盛有氣體，一橫截面為A的玻璃管通過瓶塞插入瓶?jī)?nèi)。玻璃管內(nèi)放有一質(zhì)量為m的光滑金屬小球（象一個(gè)活塞）。設(shè)小球在平衡位置時(shí)，氣體體積為V，壓強(qiáng) 為P=P0+ （P0為大氣壓強(qiáng)）現(xiàn)將小球稍向下移，然后放手，則小球?qū)⒁灾芷赥在平衡位置附近振動(dòng)。假定在小再教育上下振動(dòng)的過程中，瓶?jī)?nèi)氣體進(jìn)行的過程可看作準(zhǔn)靜態(tài)過程，試證明：（1）使小球進(jìn)行簡(jiǎn)諧振動(dòng)的準(zhǔn)靜態(tài)彈性力為 這里 =CP/CVy為位移。（2）小球進(jìn)行簡(jiǎn)諧振動(dòng)的周期為 （3）由此說(shuō)明如何利用這些現(xiàn)象測(cè)定 證：（1）取Y坐標(biāo)原點(diǎn)在小球平衡位置處，向下為正。小球所受的大氣壓力和重力始終為P0A+mg，方向向下。在平衡位置處，小球所受

16、合力為零，有 (1)其中pA為小球在平衡位置時(shí)，瓶?jī)?nèi)氣體施于小球的向上的壓力。當(dāng)小球離開平衡位置向下至于y處，瓶?jī)?nèi)氣體將經(jīng)歷一準(zhǔn)靜態(tài)絕熱過程，將p =C微分得 (2)設(shè)土法上馬球在y 處時(shí)，瓶?jī)?nèi)氣體的壓強(qiáng)為 ,體積為 則小球從y=0處至y處，瓶?jī)?nèi)氣體體積改變?yōu)?V= V=yA，壓強(qiáng)的改變面貌為 P= -P,考慮到 VV， P0). 證:(1)對(duì)于穩(wěn)定流動(dòng)的流體,雖然整個(gè)系統(tǒng)處于非平衡態(tài),但任一微小流塊可近似為處于平衡態(tài),其內(nèi)能為U,設(shè)其質(zhì)量為m,則動(dòng)能K= 對(duì)于小流塊的微元過程,其熱力學(xué)第一定律的表達(dá)式由(5.11)式給出:由于不流塊處在重力場(chǎng)中,外部對(duì)小流塊作的功 中還應(yīng)包括重力對(duì)小流塊作的

17、功-mgdz,即 其中dA是除重力外外部對(duì)小流塊的微功.小流塊在微元過程中熱力學(xué)第一定律的表達(dá)式為: (1)(2)(1)式或?yàn)?注意到 ,由初態(tài)到終態(tài)積分上式,即得小流塊從流進(jìn)到流出的過程中熱力學(xué)第一定律的表達(dá)式, (2) (3)(2)式中的A包括兩部分:周圍液體對(duì)小流塊作的功 ,其中 是流入時(shí)外界對(duì)小流塊作的正功, 是流出時(shí)外界對(duì)小流塊作的負(fù)功.由于小流塊對(duì)外作功 ,則A中包括- 綜之, 代入(2)式,有: 注意到H=U+Pv=mh, = ,Q=mq,以m除上式,即得: 5-27 圖5-27所示為一摩爾單原子理想氣體所經(jīng)歷的循環(huán)過程,其中AB為等溫線.已知3.001, 6.001求效率.設(shè)氣

18、體的 解:AB,CA為吸引過程,BC為放熱過程. 又 且 故 %5-28 圖5-28(T-V圖)所示為一理想氣體( 已知)的循環(huán)過程.其中CA為絕熱過程.A點(diǎn)的狀態(tài)參量(T, )和B點(diǎn)的狀態(tài)參量(T, )均為已知. (1)氣體在A B,B C兩過程中各和外界交換熱量嗎?是放熱還是吸熱? (2)求C點(diǎn)的狀態(tài)參量 (3)這個(gè)循環(huán)是不是卡諾循環(huán)? (4)求這個(gè)循環(huán)的效率.解:(1)A B是等溫膨脹過程,氣體從外界吸熱,B C是等容降溫過程,氣體向外界放熱. 從 又得 (3)不是卡諾循環(huán) (4) = = 5-29 設(shè)燃?xì)鉁u輪機(jī)內(nèi)工質(zhì)進(jìn)行如圖5-29的循環(huán)過程,其中1-2,3-4為絕熱過程;2-3,4-

19、1為等壓過程.試證明這循環(huán)的效率 為 又可寫為 其中 是絕熱壓縮過程的升壓比.設(shè)工作物質(zhì)為理想氣體, 為常數(shù). 證:循環(huán)中,工質(zhì)僅在2-3過程中吸熱, 循環(huán)中,工質(zhì)僅在4-1過程中放熱 循環(huán)效率為 從兩個(gè)絕熱過程,有 或 或 由等比定理 又可寫為 5-30 圖5-30所示為理想氣體經(jīng)在的循環(huán)過程,這循環(huán)由兩個(gè)等容過程和兩個(gè)等溫過程組成.設(shè)為已知,設(shè) 為已知試證明 證:如圖,由兩等溫過程可得 兩式相除有 即 若本題由兩個(gè)等容過程和兩個(gè)絕熱過程組成循環(huán),結(jié)論不變.5-31 圖5-31中ABCD為一摩爾理想氣體氦的循環(huán)過程,整個(gè)過程由兩條等壓線和兩條等容線組成.設(shè)已知A點(diǎn)的壓強(qiáng)為 2.0tam,體積為 1.01,B點(diǎn)的體積為2.01,C點(diǎn)的壓強(qiáng)為 1.0atm,求循環(huán)效率.設(shè) 解:DA和AB兩過程吸熱, = = =6.5atml BC和CD兩過程放熱 = = =5.5atml %5-32 圖5-32所示的循環(huán)過程中.設(shè) 問燃燒50kg汽油可得到