聯(lián)系實(shí)際的數(shù)學(xué)試題

1、 聯(lián)系實(shí)際的數(shù)學(xué)試題聯(lián)系實(shí)際,解決實(shí)際問題的試題也是中考的一個(gè)熱點(diǎn).它既體現(xiàn)了課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，又體現(xiàn)了數(shù)學(xué)教學(xué)的方向。重視對(duì)學(xué)生運(yùn)用知識(shí)能力的考查,能表現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的作用;還有一些數(shù)學(xué)題目要探索、要討論,這類問題也應(yīng)有所了解和掌握,因?yàn)檫@樣的試題常體現(xiàn)考試的區(qū)分度.我們只是對(duì)一些問題進(jìn)行分析和指導(dǎo),讓同學(xué)們從中有所領(lǐng)悟,并學(xué)會(huì)處理這些問題的思想方法,若是用死記硬背的方法去看這些題那么收效是甚微的.例1 如圖,某人在公路a上向東行走,在A處測(cè)得公路旁的建筑物C在北偏東60o方向,前進(jìn)50米到達(dá)B處,又測(cè)得建筑物C在北偏東45o方向,繼續(xù)前進(jìn),求此人在行走過程中,離建筑物C的最近距離是多少(結(jié)果保留

2、根號(hào))?分析 無(wú)論什么樣的試題,解題前都要做到“認(rèn)真讀題,理解題意”.聯(lián)系實(shí)際的試題更是如此,切不可因?yàn)槲淖诌^長(zhǎng)而粗枝大葉.在理解題意后要學(xué)會(huì)善于把這個(gè)實(shí)際問題化為常見的、熟悉的數(shù)學(xué)問題.如此題就是這樣的一道基本題:在RtADC中,ADC90o,A30o,B為AD上的一點(diǎn),且AB50米,CBD45o,求CD的長(zhǎng). 無(wú)疑,這樣的轉(zhuǎn)化后不僅使問題更加清楚,而且在心理上也減輕了負(fù)擔(dān).下面給出解法:設(shè) CDx,則 BDx,AD50x A30o, tg30o (3)x50則 x25(1).例2 如圖所示,某海域直徑為30海里的暗礁區(qū)中心有一哨所A,值班人員發(fā)現(xiàn)有一輪船從哨所的正西方向45海里的B處向哨所

3、駛來,哨所及時(shí)向輪船發(fā)出了危險(xiǎn)信號(hào),但輪船沒有收到信號(hào),又繼續(xù)前進(jìn)了15海里到達(dá)C處,此時(shí)哨所第二次發(fā)出緊急信號(hào).(1)若輪船收到第一次危險(xiǎn)信號(hào)后,為避免觸礁,航向改變角度應(yīng)至少為東偏北a度,求sina的值;(2)當(dāng)輪船收到第二次危險(xiǎn)信號(hào)時(shí),為避免觸礁,輪船航向改變的角度至少應(yīng)為東偏南多少度?分析 與上例一樣,在理解題意的前提下,把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)試題.即(1)已知A的直徑為30海里,B為A外一點(diǎn).AB45海里,BD切A于點(diǎn)D,求sinB的值.(2)若C為AB上的一點(diǎn),且BC15海里,CE切A于點(diǎn)E,求ACE的度數(shù).把問題轉(zhuǎn)化為這樣的兩小問后,解決也就十分容易了.解 (1)在RtABD中,A

4、B45(海里), AD15(海里). sin B. (2)在RtACE中,AC451530. AE15. sinACE 則 ACE30o.例3 如圖,這是某防空部隊(duì)進(jìn)行射擊訓(xùn)練時(shí)在直角坐標(biāo)系中的示意圖,在地面O、A兩個(gè)觀察點(diǎn)測(cè)得空中固定目標(biāo)C的仰角分別為a和b,OA1千米,tga,tgb,位于O點(diǎn)正上方千米D點(diǎn)處的直升飛機(jī)向目標(biāo)C發(fā)射防空導(dǎo)彈,該導(dǎo)彈運(yùn)行達(dá)到距地面最大高度3千米時(shí),相應(yīng)的水平距離為4千米(即圖中E點(diǎn)).(1)若導(dǎo)彈運(yùn)行軌道為一拋物線,求該拋物線的解析式;(2)說明按(1)中軌道運(yùn)行的導(dǎo)彈能否擊中目標(biāo)C的理由.問題(1)即為,已知拋物線的頂點(diǎn)E(4,3).且經(jīng)過點(diǎn)D(0,),求其

5、解析式.解 設(shè)所求的解析式為 ya(xm)2h. 頂點(diǎn)E的坐標(biāo)為(4,3) ya(x4)23. 又 點(diǎn)D(0,)在拋物線上, 16a3,a.則所求的解析式為 y(x4)23即 yx2x.問題(2)要判斷導(dǎo)彈是否能擊中目標(biāo)C.顯然判斷的關(guān)鍵是問點(diǎn)C的坐標(biāo)是否滿足導(dǎo)彈運(yùn)行軌道的解析式 yx2x.不難看出,解決此問題要分兩步進(jìn)行(即兩個(gè)層次) 求點(diǎn)C的坐標(biāo); 把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入 yx2x.解 設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為(a,b),作CDx軸,D為垂足. ODa,ADa1,CDb.在RtOCD中CDODtgaa.在RtACD中,CDADtgb(a1),則 a(a1).解得 a7, CDb.故C點(diǎn)坐標(biāo)為(7,).把點(diǎn)C

6、(7, )代入yx2x, 727, 點(diǎn)C(7, )在拋物線yx2x上,故導(dǎo)彈能擊中目標(biāo)C.例4 一個(gè)批發(fā)與零售兼營(yíng)的文具店規(guī)定:凡一次購(gòu)買鉛筆301支以上(包括301支),可以按批發(fā)價(jià)付款;購(gòu)買300支以下(包括300支),只能按零售價(jià)付款.現(xiàn)有學(xué)生小王來購(gòu)買鉛筆,如果給學(xué)校初三年級(jí)的學(xué)生每人買1支,則只能按零售價(jià)付款,需用(m21)元(m為正整數(shù),且m21100);如果多買60支,則可以按批發(fā)價(jià)付款,同樣需用(m21)元.(1)設(shè)這個(gè)學(xué)校初三年級(jí)共有x名學(xué)生,則x的取值范圍應(yīng)為_;鉛筆的零售價(jià)每支應(yīng)為_元,批發(fā)價(jià)每支應(yīng)為_元(用含x、m的代數(shù)式表示).(2)若按批發(fā)價(jià)每購(gòu)15支比按零售價(jià)每購(gòu)

7、15支少付款1元,試求這個(gè)學(xué)校初三年級(jí)共有多少名學(xué)生,并確定m的值.這道題文字較長(zhǎng),若不細(xì)讀就會(huì)造成錯(cuò)誤.雖然要解決的問題較多,但仍然是逐個(gè)去解決的.對(duì)每個(gè)小問,都是基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法的考查.(1)不難知道,x的取值范圍應(yīng)為 240x300(x為正整數(shù));鉛筆的零售價(jià)每支應(yīng)為 元;鉛筆的批發(fā)價(jià)每支應(yīng)為 元.(2)從給出條件可得到如下等式: 15151.整理后,得 x260x900(m21)0.解得 x130(m1),或 x230(m1) (不合題意,舍去).怎樣去求x與m的值呢?首先應(yīng)當(dāng)注意已獲得的等式和不等式,即 240x300; x30(m1)從上式可見,求x、m的值,只要能確定其中的一個(gè)

8、值即可,則 24030(m1)300 8m110 9m11再考慮m為正整數(shù),故m10或m11.又因m10時(shí), m2199100,不合題意應(yīng)舍去.當(dāng)m11時(shí), m21120100,此時(shí)x300.經(jīng)檢驗(yàn)x300是所列方程的根.例5 已知:如圖, AP是ABC的高,點(diǎn)D、G分別在邊AB、AC上,點(diǎn)E、F在邊BC上,四邊形DEFG是矩形,APh,BCa.(1)設(shè)DGx,S矩形DEFGy,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并指出x的取值范圍;(2)當(dāng)AP6,BC8時(shí),請(qǐng)你求出面積等于9的矩形DEFG的邊長(zhǎng)DG;(3)按題設(shè)要求得到的無(wú)數(shù)個(gè)矩形中,是否能夠找到兩個(gè)不同的矩形,使它們的面積之和等于ABC的面積?如果能

9、找到,請(qǐng)你求出它們的邊長(zhǎng)DG;如果找不到,請(qǐng)你說明理由.象這樣的問題雖不是聯(lián)系實(shí)際的的試題,但也是中考的熱點(diǎn),因?yàn)樗w現(xiàn)了知識(shí)的靈活運(yùn)用以及對(duì)學(xué)生能力的考查.(1)、(2)是常見題,解決也不困難,而問題(3)就使不少學(xué)生迷感不解, 甚至題意都不清楚了.我們可先對(duì)問題(1)、(2)求解,再?gòu)闹锌磳?duì)問題(3)是否有所啟示.解 (1)由題意,得 yDEx ADG ABC 又 AMAPMPAPDEhDE. . 則 DExh 故 yx2hx (0xa).(2) AP6,BC8,y9. 9x26x 整理后,得 x2或x6 即 DG的長(zhǎng)為2或6.從(1)、(2)的解決,告訴我的解析式y(tǒng)x2hx (0xa)表

10、明符合題設(shè)的任一個(gè)矩形的面積與一邊DG長(zhǎng)都是滿足上述關(guān)系式的.因此,我們可以假設(shè)有兩個(gè)不同的矩形的面積之和是等于ABC面積.從而便可進(jìn)行推導(dǎo).(3)設(shè)兩個(gè)不同矩形的一邊長(zhǎng)和面積分別為x1、y1,x2、y2.則 y1hx1 y2hx2 故 y1y2hx1hx2ah整理后,得 x12x22ax1ax2a20怎樣從一個(gè)方程里,求出兩個(gè)未知數(shù)x1、x2的值呢?我們應(yīng)當(dāng)學(xué)會(huì)“猜想”,它可能是一個(gè)特殊的方程.(具有這種猜想,就能夠使我們思路開拓)(x12ax1a2)(x22ax2a2)0(x1)2(x2)20 (猜想得到證實(shí)) x1x2.故不可能找到兩個(gè)不同的矩形,使它們的面積之和等于ABC的面積.鞏固練

11、習(xí)1. 有一個(gè)拋物線形的立交橋拱,這個(gè)橋拱的最大高度為16米,跨度為40米,現(xiàn)把它的圖形放在坐標(biāo)系中(如圖所示),若在離跨度中心M點(diǎn)5米處垂直豎立一鐵柱支撐拱頂,問這鐵柱應(yīng)取多長(zhǎng)?2. A、B兩站相距72千米,慢車和快車均由A站開往B站,慢車每小時(shí)行36千米,快車每小時(shí)行72千米.快車比慢車晚20分鐘開出.(1) 設(shè)慢車行駛的時(shí)間為x(小時(shí)),試分別寫出慢車與快車所行路程y1、y2(千米)與x間的函數(shù)關(guān)系式,并指出自變量x的取值范圍;(2) 在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象;(3) 快車在距A站多遠(yuǎn)處追上慢車?3. 先閱讀下列一段文字,然后解答問題. 某農(nóng)場(chǎng)300名職工耕種51公頃土地,分別種植水稻、蔬菜和棉花.種植這些農(nóng)作物每公 頃所需職工人數(shù)如表1所示: 表1 表2農(nóng)作物每公頃所需人數(shù)農(nóng)作物每公頃預(yù)計(jì)產(chǎn)值水稻4水稻4.5萬(wàn)元蔬菜8蔬菜9萬(wàn)元棉花5棉花7.5萬(wàn)元 設(shè)水稻、蔬菜、棉花的種植面積分別為x公頃、y公頃、z公頃.(1)用含x的代數(shù)式分別表示y和z為: y_; z_.(2)若這些農(nóng)作物的預(yù)計(jì)產(chǎn)值如表2所示,且總產(chǎn)值p滿足關(guān)系式:360p370(x、y、z均 為整數(shù)),求這個(gè)農(nóng)場(chǎng)應(yīng)怎樣安排水稻、蔬菜、棉花的種植面積?答案與提示1. 設(shè)拋物線為ya(x20)216 (0x40) 點(diǎn)B(40,0)在拋物線上, 可求得 a.