誤差與范數(shù)概念及習題與答案

1、第一章 誤差與范數(shù)誤差的來源例1.1.1 用差商求在處導數(shù)的近似值.取 ，=0.000 000 000 000 001和=0.000 000 000 000 000 1分別用MATLAB軟件計算，取十五位數(shù)字計算.解 在MATLAB工作窗口輸入下面程序a=3;h=0.1;y=log(a+h)-log(a);yx=y/h運行后得yx = 0.991將此程序中改為0.000 1，運行后得yx = 0.385后者比前者好.再取h = 0.000 000 000 000 001，運行后得yx = 0.006不如前者好.取h = 0.000 000 000 000 000 1，運行后得yx = 0算出的

2、結果反而毫無價值.例1.1.2 分別求方程組在下列情況時的解，其中.（1）;（2）.解 （1） 首先將方程組化為同解方程，然后在MATLAB工作窗口輸入程序 b=2,2;A=1,1;1,1.01; X=Ab運行后輸出當時，的解為；（2）同理可得，當時，的解為.例1.1.3 計算的近似值.解 泰勒級數(shù)e , 取，得. （1.2）這是一個無限過程，計算機無法求到精確值.只能在（1.2）取有限項時計算，再估計誤差.如果取有限項作為的值必然會有誤差，根據(jù)泰勒余項定理可知其截斷誤差為e.如果?。?.2）的前九項，輸入程序 n=8;s=1;S =1;fork=1:ns=s*k;S=S+1/s,ends,

3、S,R=3/(s*(n+1)或S1=1+1+1/2+1/(1*2*3)+1/(1*2*3*4)+1/(1*2*3*4*5)+1/(1*2*3*4*5*6)+1/(1*2*3*4*5*6*7)+1/(1*2*3*4*5*6*7*8),R1=3/(1*2*3*4*5*6*7*8*9)運行后結果S = R = 2.127 8.5768e-006因為截斷誤差為所以e的近似值e2.718 28.1.2 誤差和有效數(shù)字例1.2.1 取作為的四舍五入近似值時，求其絕對誤差和相對誤差.解 在MATLAB工作窗口輸入程序juewu=exp(1)-2.71828運行后輸出結果為juewu = 1.828 459

4、045 505 326e-006例1.2.2 計算d 的近似值，并確定其絕對誤差和相對誤差.解 因為被積函數(shù)的原函數(shù)不是初等函數(shù)，故用泰勒級數(shù)求之. , （1.5）這是一個無限過程，計算機無法求到精確值.可用（1.5）的前四項代替被積函數(shù)，得d)d=.根據(jù)泰勒余項定理和交錯級數(shù)收斂性的判別定理，得到絕對誤差= WU，在MATLAB命令窗口輸入計算程序如下：syms xf=1-x2/(1*2*3)+x4/(1*2*3*4*5)-x6/(1*2*3*4*5*6*7)y=int(f,x,0,pi/2),y1=double(y)y11=pi/2-(pi/2)3/(3*3*2)+(pi/2)5/(5*5

5、*4*3*2)-(pi/2)7/(7*7*6*5*4*3*2)inf=int(sin(x)/x,x,0,pi/2) ,infd=double(inf)WU =(pi/2)9/(9*9*8*7*6*5*4*3*2), R =infd-y11因為運行后輸出結果為： 1.370 762 168 154 49，=1.370 744 664 189 38，1.750 396 510 491 47e-005， WU= 1.782 679 830 970 664e-005. 所以，的絕對誤差為，故d.的相對誤差為 k,juecha,xiangcha,xk= liti112(2,2.5,100)運行后輸出計算

6、結果列入表13和表 1-4中.將算法2的MATLAB調用函數(shù)程序的函數(shù)分別用y1=15-2*x2和y1=x-(2*x2+x-15)/(4*x+1)代替，得到算法1和算法3的調用函數(shù)程序，將其保存，運行后將三種算法的前8個迭代值列在一起（見表 1-3），進行比較.將三種算法的對應的絕對誤差和相對誤差的值列在一起（見表 1-4），進行比較.表 1-3 例1.3.4中三種算法的計算結果算 法迭代次數(shù)算法1的迭代結果算法2的迭代結果算法3的迭代結果022.000 000 002.000 000 00173.000 000 002.555 555 562-832.142 857 142.500 550

7、063-13 7632.837 837 842.500 000 064-378 840 3232.246 963 562.500 000 005-2.870 42.246 963 562.500 000 006-1.647 82.321 774 842.500 000 007-5.430 72.657 901 652.500 000 0099-Inf2.500 000 012.500 000 00表 1-4 例1.3.4中三種算法計算結果的誤差算法迭代 次數(shù)算法1的誤差算法2的誤差算法3的誤差絕對誤差相對誤差絕對誤差相對誤差絕對誤差相對誤差00.500 000 000.250 000 000.

8、500 000 000.250 000 000.500 000 000.250 000 0014.500 000 000.642 857 140.500 000 000.166 666 670.055 555 600.021 739 13285.500 000 001.030 120 480.357 142 860.1666 666 700.000 550 100.000 219 97313 765.500 000.000 100 020.337 837 840.119 047 620.000 000 060.000 000 024378 840 3261.000 000 010.253 03

9、6 440.112 612 620.000 000 000.000 000 0052.870 399 8110.230 287 040.084 345 480061.647 839 0110.178 225 160.076 762 470075.430 746 8010.157 901 650.059 408 390099InfNaN0.000 000 010.000 000 00001.4 數(shù)值計算中應注意的問題 例1.4.1 求數(shù)的近似值.解 （1）直接用MATLAB命令 x=(715)*(sqrt(1+8(-19)-1)運行后輸出結果x = 0問題出現(xiàn)在兩個相近的數(shù)與相減時，計算機運行程

10、序sqrt(1+8(-19)-1運行后輸出結果 ans = 0由于計算機硬件只支持有限位機器數(shù)的運算，因此在計算中可能引入和傳播舍入誤差.因為有效數(shù)字的嚴重損失，導致輸出的結果為0，計算機不能再與數(shù)繼續(xù)進行真實的計算，所以，最后輸出的結果與的精確值不符.（2）如果化為，再用MATLAB命令 x=(715)*( (8(-19)/(sqrt(1+8(-19)+1)運行后輸出結果 x = 1.6471e-005這是因為化為后，計算機運行程序 x= (8(-19)/(sqrt(1+8(-19)+1)運行后的結果為x =3.4694e-018由于有效數(shù)字的損失甚少，所以運算的結果再與繼續(xù)計算，最后輸出的

11、結果與的精確值相差無幾.例1.4.2 求數(shù)的近似值.解 （1）直接用MATLAB程序 x=30;x1= sqrt(x2-1)運行后輸出結果x1 = 29.9833輸入MATLAB程序 x=30; x1=29.9833;y=log(x-x1)運行后輸出結果y = -4.0923（2）因為中的很大，如果采用倒數(shù)變換法，即 .輸入MATLAB程序 x=30;y=-log(x+sqrt(x2-1)運行后輸出結果y = -4.0941（3）輸入MATLAB程序 x=30; y=log(x-sqrt(x2-1)運行后輸出結果y = -4.0941可見，（2）計算的近似值比（1）的誤差小.參加計算的數(shù)，有時

12、數(shù)量級相差很大.如果不注意采取相應的措施，在它們的加減法運算中，絕對值很小的那個數(shù)經(jīng)常會被絕對值較大的那個數(shù)“吃掉”，不能發(fā)揮其作用，造成計算結果失真.例1.4.4 請在16位十進制數(shù)值精度計算機上利用軟件MATLAB計算下面的兩個數(shù)和將計算結果與準確值比較，解釋計算結果.解 在MATLAB工作窗口輸入下面程序 x=1111+0.1+0.3, y=11111+0.1+0.3運行后輸出結果 x = 1.1114e+014，y =1.1111e+015從輸出的結果可以看出，x，而y.為什么僅僅比多一位1，而y呢？這是因為計算機進行運算時，首先要把參加運算的數(shù)寫成絕對值小于1而“階碼”相同的數(shù)，這一過程稱為數(shù)的“對階”.在16位十進制數(shù)值精度計算機上利用軟件MATLAB計算這兩個數(shù)，把運算的數(shù)寫成浮點規(guī)格化形式為在16位十進制數(shù)值精度計算機上，三項的數(shù)都表示為小數(shù)點后面1