高三復(fù)習(xí)數(shù)列通項公式的求法

1、數(shù)列通項公式的求法1前n項和法（知求） 例1、已知數(shù)列的前n項和，求數(shù)列的前n項和變式：已知數(shù)列的前n項和，求數(shù)列的前n項和答案： ；變式： 練習(xí)：1、若數(shù)列的前n項和，求該數(shù)列的通項公式。答案：2、若數(shù)列的前n項和，求該數(shù)列的通項公式。答案：3、設(shè)數(shù)列的前n項和為，數(shù)列的前n項和為，滿足，求數(shù)列的通項公式。答案：2.形如型（累加法）（1）若f(n)為常數(shù),即：,此時數(shù)列為等差數(shù)列，則=.（2）若f(n)為n的函數(shù)時，用累加法.例 1. （2003天津文） 已知數(shù)列an滿足,證明證明：由已知得： = .例2.已知數(shù)列的首項為1，且寫出數(shù)列的通項公式.答案： 例3.已知數(shù)列滿足，求此數(shù)列的通項公

2、式.答案：評注：已知,，其中f(n)可以是關(guān)于n的一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、分式函數(shù)，求通項.若f(n)是關(guān)于n的一次函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和;若f(n)是關(guān)于n的二次函數(shù)，累加后可分組求和;若f(n)是關(guān)于n的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和;若f(n)是關(guān)于n的分式函數(shù)，累加后可裂項求和。3.形如型（累乘法）（1）當(dāng)f(n)為常數(shù)，即：（其中q是不為0的常數(shù)），此數(shù)列為等比且=.（2）當(dāng)f(n)為n的函數(shù)時,用累乘法. 例1、在數(shù)列中 ，求數(shù)列的通項公式。答案：練習(xí)：1、在數(shù)列中 ，求。答案：2、求數(shù)列的通項公式。解答：由已知當(dāng)，N-1個式子累乘，得到當(dāng)n=1，也滿足，所以

3、4.形如型（取倒數(shù)法）例1. 已知數(shù)列中，求通項公式 解：取倒數(shù)： 練習(xí)：1、若數(shù)列中，,求通項公式.答案：2、若數(shù)列中，求通項公式.答案：5形如,其中)型（構(gòu)造新的等比數(shù)列）（1）若c=1時，數(shù)列為等差數(shù)列;（2）若d=0時，數(shù)列為等比數(shù)列;（3）若時，數(shù)列為線性遞推數(shù)列，其通項可通過待定系數(shù)法構(gòu)造輔助數(shù)列來求.方法如下：設(shè),利用待定系數(shù)法求出A例1已知數(shù)列中，求通項.分析：待定系數(shù)法構(gòu)造構(gòu)造新的等比數(shù)列。解：由設(shè),解出A=-1,則所以數(shù)列構(gòu)成以為首項，以為公比的等比數(shù)列所以,即 . 練習(xí)：1、若數(shù)列中，,求通項公式。答案：2、若數(shù)列中，,求通項公式。答案：6.形如型（構(gòu)造新的等比數(shù)列）(1

4、)若一次函數(shù)(k,b是常數(shù)，且)，則后面待定系數(shù)法也用一次函數(shù)。例題. 在數(shù)列中，,求通項.解：原遞推式可化為比較系數(shù)可得：k=-6,b=9,上式即為所以是一個等比數(shù)列，首項,公比為. 即：，故.練習(xí)：1、已知數(shù)列中，求通項公式答案：(2)若(其中q是常數(shù)，且n0,1)若p=1時，即：，累加即可若時，即：，后面的待定系數(shù)法也用指數(shù)形式。兩邊同除以 . 即： ,令,則可化為.然后轉(zhuǎn)化為類型5來解，例1. 在數(shù)列中，且求通項公式解：由得 .設(shè)，則b. 即：,所以是首項為，公比為的等比數(shù)列.則=,即：,故評注：本題的關(guān)鍵是兩邊同除以3，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為類型5，構(gòu)造出新的等比數(shù)列，從而將求一般數(shù)列的通項問題轉(zhuǎn)化為求等比數(shù)列的通項問題.練習(xí)：1、已知數(shù)列中，求通項公式。答案：2、已知數(shù)列中，求通項公式。答案：7.形如(其中p,q為常數(shù))型（1）當(dāng)p+q=1時 用轉(zhuǎn)化法例1.數(shù)列中，若,且滿足,求.解：把變形為.則數(shù)列是以為首項，3為公比的等比數(shù)列，則 利用類型6的方法可得 .（2）當(dāng)時 用待定系數(shù)法.例2. 已知數(shù)列滿足，且,且滿足,求.解：令,即,與已知比較，則有,故或由來運(yùn)算，即有,則數(shù)列是以為首項，3為公比的等比數(shù)列，故,即 由來運(yùn)算，即有,則數(shù)列是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，故,即 由可得. 評注：形如的遞推數(shù)列,我們通常采用兩次類型(5)的方法來求解,但這種方法比較復(fù)雜,我們采用特征