數(shù)字電子技術(shù)ch

1、0W1Z本択蓋曲剪釀歸鞘寸E *農(nóng)爼証護WSs巾邑EE泉氯應(yīng)堰牛顯穩(wěn)國釀歸Z.E穩(wěn)土釀制IE 曲護察歸團梢M絵數(shù)字電子技術(shù)邏輯代數(shù)與初等代數(shù)的比較初等代數(shù)邏輯代數(shù)變量A、X取值00 0、1、+oo0、1數(shù)值符號0、1、 90、1數(shù)值表示數(shù)值，有大小，例如：10兩個對立的邏 輯狀態(tài)，例如：1表示有，0表示無基本運算加、減、乘、除與、或、非河北工程大學(xué)信電學(xué)坯-數(shù)字電子技術(shù)3.1邏輯代數(shù)分析數(shù)字電路或數(shù)字系統(tǒng)的數(shù)學(xué)工具，用二值函數(shù)進行 邏輯描述和運算簡單3.1.1 邏輯代數(shù)的基本定律和恒等式1、基本定律:加運算：0+0=0 f 0+1=1 f 1+0=1 f 1+1=1:乘運算：00=00*1=0

2、1*0=01*1=1A + 0 = A, A + l = l, A + A = A, A + A =1:非運算:1 = 0 0 = 1 A = A4、分配律求證：=AA+AB+AC+BC=A +A(B+C)+BC；分配律；分配律，A=AA2、交換律 A+B=B+A A B=B A3、結(jié)合律 A+(B+C)=(A+B)+C=(A+C)+BA(B C)=(A B) CA(B+C)=A B+A CA+B C=(A+B)(A+Cfti右邊=(A+B)(A+C)v；分配律;1+B+C=1;A 1=1一河北工程大學(xué)信電學(xué)孩丄=A(1+B+C)+BC=A 1+BC=A+BC數(shù)字電子技術(shù)5、吸收律吸收是指吸收

3、多余(冗余)項，多余(冗余)因 子被取消、去掉n被消化了。(!) A+AB=A證明： A+AB=A(1+B)=A1=AJ利用吸收律可以對邏輯式進行化簡。一/ 例如： AB + CD + ABD(E + F) = AB + CD(2) A(A+B)=A證明：A(A+B)=AA+AB=A+AB;AA=A=A;A+AB=A=河匕工程大學(xué) 信電學(xué)賽 丄數(shù)字電子技術(shù) A+AB=A+BAB+ABA +( A + A=A + BA +ABC +DE =A +BC +DE(A+B)(A+C)二A+BC證明:(A+B)( A+C)=A A+AC+B A+BC=A+AC+BA+BC;AA=A=A+BA+BC=A+

4、BC;A+AB=A;A+AB=A河匕工程大學(xué)信電學(xué)跌_數(shù)字電子技術(shù)(5)AB+AC+BC二AB+AC證明:AB+AC+BC=AB + ACBC+ABC=AB + AC4(A + APC證明:B+AO+BCD=AB + ACVB=AB + ACB +ACB=AB + AC AB + AC + BCD = AB + AC河北工程大學(xué)信電學(xué)糧丄6、反演律 德摩根(De Morgan)定理:AB = A + BA + B = AB可以用列真值表的方法證明：ABA*BABABA + B0001111010110110010111110000反演定律具有特殊重要的意義，它經(jīng)常用于求一個函數(shù)的非 函數(shù)或者對

5、邏輯函數(shù)進行變換。- 數(shù)字電子技術(shù) 3.1.2邏輯代數(shù)的基本規(guī)則1. 代入規(guī)則：等式中某一變量都代之以一個邏輯函數(shù)，則等式仍然成立。例如，已知aTb = AB (用函數(shù)A + C代替A) 則(A + C) + B = A + C B = A C B2. 反演規(guī)則：將Y式中”換成換成”“0”換成1，換成0”原變量換成反變量，反變量換成原變量注意:運算順序：括號一乘一加不屬于單個變量上的反號應(yīng)保留不變反演規(guī)則的應(yīng)用：求邏輯函數(shù)的反函數(shù)將Y式中”換成換成，Iy“0”換成換成0”原變量換應(yīng)反變量，反麥量換成原變量例如：己知已知變換時，原函數(shù)運Yl=A(B + C) + CD/算的先后順序不變YiA +

6、 BCC + DVy2=ab+c+d+c不屬于單個變量上的反號應(yīng)保留不變 丿Y2=(A + B)CDC3對偶規(guī)則：如果兩個表達式相等，則它們的對偶式也一定相等。將Y中”換成+號+”換成”“0”換成換成o”Yf（對偶式）例如 yx=A(B + C) + CD y； = (A + BC)(C+D)Y2=AB + C+D + C Y； = (A + B)CDC對偶規(guī)則的應(yīng)用：證明等式成立0 0 = 0 1 + 1 = 1A A = 0 A + A = 1注意：對偶規(guī)則 同反演規(guī)則的區(qū) 別：變量不變換數(shù)字電子技術(shù) 3. L 3邏輯函數(shù)的代數(shù)變換與化簡法1.邏輯函數(shù)的變換 一個特定邏輯問題，； 對應(yīng)的真

7、值表是唯一的； ,代數(shù)表達式和電路卻： 是多樣的。：例：同或門電路。yL = A 9 AB + jB AB&cB ABABA AB1=AB(A + B)=AB + ABB AB&AB2、邏輯函數(shù)的化簡Y=AB + AC 最簡與或式最簡 與非.與非式、ABAC1 乘積項（與項）的個 數(shù)最少； 變量的個數(shù)最少。最簡或與非式(A+B)(A + C)核心最簡與或非式AB + AC最簡或非或非式最簡或與式(A + B) (A + C) a + B+ A + C（3）關(guān)于邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡法（與或式公式定理最簡與或式）并項法：A + A = 1例 Y =ABC + ABC + ABC + ABC= A(B

8、C + BC) + A (BC + BC)= ABC + A(BC)=A吸收法：A + AB = A例 Y =A_+A BC (A + BC + D) + BC= (A + BC) + (A + BC) (A + BC+D)= A + BC消去法：A + AB = A + B例Y=AB + AC + BC= AB + (A + B)C= AB + ABC =AB + C配項法:A=A (B + B) =AB+AB最簡與或式乘積項的項數(shù)最少。每個乘積項中變量個數(shù)最少O利用 邏輯代數(shù)的基本公式提出AB例 1： F =ABC +ABC +ABC= ABC+AB(C+C)= ABC+AB= A(BC+

9、B)= A(C+反變量吸)-河匕工程大學(xué)信電鑄跌一提出A=AC+AB例 2： F = AB + ABBC + BC= (AB + AW + (BC + BC)CS =AB +入玖至+ BC(A + A) + BC= AB + ABC + ABCzg=r)+ ABC + ABC + B=AB + ABC + ABC+ ABC + ABC + BC= AB + AC(B + B) + BC被吸收= AB + AC(B + B) + BC=AB + AC + BC- 數(shù)字電子技術(shù) 例3:證明Y = AB = AB +AB = A AB B AdB 右邊=AAB + BAB； AB = A + B一一

10、一一-J = AAB + BAB； A = A=A (A + B) + B (A + B) ； A + B = A B= AA + AB + BA + BB ；展開= O + AB + BA + O=A B + B A=左邊河匕工程大學(xué) 信電崗就 一數(shù)字電子技術(shù) 異或門可以用4個與非門實現(xiàn):Y = AB = AB + AB = AABBABAB3代數(shù)法化簡在使用中遇到的困難:1邏輯代數(shù)與普通代數(shù)的公式易混淆,化簡過程要求對所有公式熟練掌握;2代數(shù)法化簡無一套主善的方法可循,它依賴于人的經(jīng)驗 和靈活性；3用這種化簡方法技巧強,較難掌握。特別是對代數(shù)化簡后得到的邏輯表達式是否是最簡式判斷有一定困難

11、?？ㄖZ圖法可以比較簡便地得到最簡的邏輯表達式。3-2邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法3、2、1最小項的定義及其性質(zhì) 1、最小項的定義n個變量X. X2,，X的最小項是n個變量的乘積，每 個變量都以其原變量或非變量的形式在乘積項中出現(xiàn)，且僅出現(xiàn)一次。1）是n個變量的乘積（“與”形式） 2）最小項中包含所有變量 3）每個變量在最小項中出現(xiàn)，且只出現(xiàn)一次。包括所有變量的乘積項，每個變量均以原變 量或反變量的形式出現(xiàn)一次。Y =F(A,B )（2變量共有4個最小項）AB AB AB ABY =F(A,B,C)(3變量共有8個最小項)ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABCY=F（A,B,C

12、,D） （ 4變量共有16個最小項）ABCD ABCD 入萬C萬ABCD ABCD5 變量共有2個最小項）2、最小項的性質(zhì)3變量全部最小項的真值表 對變量的任一組值，任意兩個不同的最小項的乘積必為0。（3）對變量的任一組值，全部最小項的和必為1。3、最小項的編號把與最小項對應(yīng)的變量取值當(dāng)成二進制數(shù)，與之 相應(yīng)的十進制數(shù)，就是該最小項的編號。對應(yīng)規(guī)律：原變量o 1 反變量o 0I (二=1ABCABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC0000/1最小項的表示：通常用“表示最小項，加表示 最小項，下標(biāo)i為最小項編號。100/A6m1%7m7 數(shù)字電子技術(shù) 3、2 2邏輯函數(shù)的最小項表

13、達式任何一個邏輯函數(shù)都可以表示成唯一的一組最小項之和，稱為標(biāo)準(zhǔn)與或表達式，也稱為最小項表達式y(tǒng)=A+BC=A(B + B)(C + C) + (A + A)BC=ABC + ABC + ABC + ABC + ABC + ABC=ABC + ABC + ABC + ABC + ABC=m0 4- mx + m2 + m3 4- m7= m(0, 1, 2, 3, 7 )- 數(shù)字電子技術(shù) 如果列出了函數(shù)的真值表，則只要將函數(shù)值為1的那些最 小項相加，便是函數(shù)的最小項表達式。ABCY最小項0 0 00=ABC0 0 11ni *0 101m2 m2=ABC0 111祝 310 00加4hm3=AB

14、C10 11叫1100m67 fm5=ABC1110m7Y = mj + m2 + m3 + m5 =工加 2,3,5)=ABC + ABC + ABC + ABC 數(shù)字電子技術(shù) 3、2、3用卡諾圖表示邏輯函數(shù)1、卡諾圖的引出卡諾圖：將n變量的全部最小項都用小方塊表示， 并使具有邏輯相鄰的最小項在幾何位置上也相鄰地排 列起來，所得到的圖形叫n變量的卡諾圖。邏輯相鄰:如果兩個最小項只有_個變量互為反變 量”那么”就稱這兩個最小項在邏輯上相鄰。如最小項m6=ABC與 m7=ABC在邏輯上相鄰m6 m7ABd + ABCF=l ABG + ABC + ABC4ABC+ABC=BC邏輯相鄰下面舉例說明

15、卡諾圖的畫法。一變量卡諾圖:（設(shè)變量為D ）m。D0二變量卡諾圖：（設(shè)變量為C、D ）、門01mm2m30C卡諾圖的每一個方塊（最小項）代表一種輸入組合，并且把對應(yīng)的輸入組合注明在陣列圖的上方和左方。三變量卡諾圖:（設(shè)變量為B、C、00 0110叫m3m2m4m5m7m6)0四變量卡諾圖:（設(shè)變量為A、B、C、D ）AB00mmim3m2m4msm7m6mi2mi3m15mi4m8m9mio01B10xCD 00011110(1)(2)鄰接”的特點。；ABCD1ABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCD;“折疊展開”

16、I的法則演示a、新增加 的方格按照 展開方向應(yīng) 標(biāo)以新變量b、新的方格 內(nèi)最小項編 號應(yīng)為展開 前對應(yīng)方格 編號加2nl數(shù)字電子技術(shù) 2、卡諾圖的特點一變量到多變量的卡諾圖之間遵循“折疊展開”的法則。 最小項之間具有“幾何相鄰，邏輯相鄰”，即“循環(huán)數(shù)字電子技術(shù)卡諾圖的實質(zhì):幾何相鄰：是指 在卡諾圖上相接 和廂對的關(guān)縈。邏輯相鄰幾何相鄰緊挨著V行或列的兩頭、對折起來位置重合；在卡諾圖上接在一起的最小項之間一定是邏輯相鄰?。豢ㄖZ圖的缺點：函數(shù)的變量個數(shù)不宜超過6個。例：五變量的卡諾圖 （三十二個最小項）AB00加0mx加3加2加6m7叫叫加8m9加10伊15加13tn 12加24m25r幾何相鄰3

17、1加29加28加16mYlm21加20m19叫m22加23CDE-000 001 011 OlOlllO 111 101 100 !011110以此軸為對稱軸Q對折后位置重合）！變超以無圖行 窮數(shù)個，用進。 個六時使法簡 量過上法形化100001110101110001CD00 01 11 10穴=3、已知邏輯函數(shù)畫卡諾圖(1)將函數(shù)化為最小項之和的形式；(2 )在卡諾圖中找出和表達式中最小項對應(yīng)的小方格 填上1 ”其余的小方格填上0 (有時也可用空格表示), 任何邏輯函數(shù)都等于其卡諾圖中為1的方格頁型輕最 小項之和?？ㄖZ例1 :已知邏輯函數(shù)的最小項表達式，AB 畫出卡諾圖。01L(ABCD

18、= 7(2,4,5,6,10,13,14,15數(shù)字電子技術(shù) 例|2：畫出下式的卡諾圖L(A,B, C, D) = (A + B + C + D)(A + B + C + D)(A + B + C + D) (A + B + C + D)(A + B + C + D)解1-先求原函數(shù)的反函數(shù),并化為最小項表達式L = ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD=三(610,13,2.畫卡諾圖111010 0 11110|根據(jù)反函數(shù)的表達式，在其最小項的芮格內(nèi)填入o ,其余方格內(nèi)填入1 ,i即得到原函數(shù)的卡諾圖。四變量卡諾圖單元格的編號:CDCDnlakooJHkolOOO1

19、口1001324576121315149111011 10- 數(shù)字電子技術(shù) 3、2、4用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)1、化簡的依據(jù) 應(yīng)用互補律A+A=l可以逐步對2個（為整數(shù)）循環(huán)邏輯鄰接的 削、塑營半鯉 mn竺鬥穿迺蟹工紗主；ABCD 4- ABCD = ABDABCD + ABCD = ABDABD + ABD = ADABD + ABD = ADAD + AD = D河匕工程大學(xué)信電削完丄卡諾圖中最小項合并規(guī)律:(1) 兩個相鄰最小項合并可以消去一個因子400 01 11 10000111104；迫.(9： ABC ABC = BCABCD + ABCD = BCDABC + ABC = AB A

20、BCD + ABCD = ABD(2) 四個相鄰最小項合并可以消去兩個因子;0：3 12/ii! 8：b ill丨 a000110CD00 01 11 10()(2.! 57:11315J10000110BD00 01 11 10CDBCBD叫 +m2+ms +m10=ABCD + ABCD + ABCD + ABCD =BD:巳：匚亠化入手is弋專爐匸00132/000、f201：4501；4：57=6 ： 11121311=12131514：10891110：108 ：_(3)八個相鄰最小項合并可以消去三個因子BDB00 01 11 1000 01 11 10C總結(jié)：2個相鄰最小項合并可以

21、消去n個因子數(shù)字電子技術(shù)2、化簡的步驟(1) 將邏輯函數(shù)寫成最小項表達式。(2) 按最小項表達式填卡諾圖,凡式中包含的 最小項,其對應(yīng)方格填-其余方格填0。(3 )合并最小項,即將循環(huán)相鄰的1方格圈成一 組(包圍圈)，每一組含2個方格(最小項),對 應(yīng)每個包圍圈寫出一個新的乘積項。(4)將所有包圍圈對應(yīng)乘積項相加。例1:用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)Y = BCD + BC + ACD + ABC解化簡步驟：(1) 畫函數(shù)的卡諾圖(2) 合并最小項：(3) 寫出最簡與或表達式01111000101?11:1_r -111:9 10(BC:111Y =BCABD + ABC畫句圍圈時應(yīng)遵循以下原則,(1)包圍圈內(nèi)的方格數(shù)一定是2個f且包圍圈必須 呈矩形。001001AD00000010h101001 11 100001100000/0000