大學(xué)物理各章練習(xí)題：第六章氣體動(dòng)理論

1、第六章 氣體動(dòng)理論6-1 一束分子垂直射向真空室的一平板，設(shè)分子束的定向速度為v，單位體積分子數(shù)為n，分子的質(zhì)量為m，求分子與平板碰撞產(chǎn)生的壓強(qiáng)分析 器壁單位面積所受的正壓力稱為氣體的壓強(qiáng)由于壓強(qiáng)是大量氣體分子與器壁碰撞產(chǎn)生的平均效果，所以推導(dǎo)壓強(qiáng)公式時(shí)，應(yīng)計(jì)算器壁單位面積在單位時(shí)間內(nèi)受到氣體分子碰撞的平均沖力 Sv 圖6-1解 以面積為S的平板面為底面，取長度等于分子束定向速度v的柱體如圖6-1所示，單位時(shí)間內(nèi)與平板碰撞的分子都在此柱體內(nèi)柱體內(nèi)的分子數(shù)為nSv每個(gè)分子與平板碰撞時(shí)，作用在平板上的沖力為2mv，單位時(shí)間內(nèi)平板所受到的沖力為根據(jù)壓強(qiáng)的定義，分子與平板碰撞產(chǎn)生的壓強(qiáng)為6-2 一球形

2、容器，直徑為2R，內(nèi)盛理想氣體，分子數(shù)密度為n，每個(gè)分子的質(zhì)量為m，(1)若某分子速率為vi，與器壁法向成角射向器壁進(jìn)行完全彈性碰撞，問該分子在連續(xù)兩次碰撞間運(yùn)動(dòng)了多長的距離？(2)該分子每秒鐘撞擊容器多少次？(3)每一次給予器壁的沖量是多大？(4)由上結(jié)果導(dǎo)出氣體的壓強(qiáng)公式分析 任一時(shí)刻容器中氣體分子的速率各不相同，運(yùn)動(dòng)方向也不相同，由于壓強(qiáng)是大量氣體分子與器壁碰撞產(chǎn)生的平均效果，氣體壓強(qiáng)公式的推導(dǎo)過程為：首先任意選取某一速率和運(yùn)動(dòng)方向的分子，計(jì)算單位時(shí)間內(nèi)它與器壁碰撞給予器壁的沖力，再對(duì)容器中所有分子統(tǒng)計(jì)求和 A vi B m 圖6-2解 (1)如圖6-2所示，速率為vi的分子以角與器壁碰

3、撞，因入射角與反射角都相同，連續(xù)兩次碰撞間運(yùn)動(dòng)的距離都是同樣的弦長，為(2)該分子每秒鐘撞擊容器次數(shù)為(3)每一次撞擊給予器壁的沖量為(4)該分子每秒鐘給予器壁的沖力為由于結(jié)果與該分子的運(yùn)動(dòng)方向無關(guān)，只與速率有關(guān)，因此可得容器中所有分子每秒鐘給予器壁的沖量為其中根據(jù)壓強(qiáng)的定義，分子與器壁碰撞產(chǎn)生的壓強(qiáng)為其中為分子的平均平動(dòng)動(dòng)能6-3容積為10 L的容器內(nèi)有1 mol CO2氣體，其方均根速率為1440 km/h，求CO2氣體的壓強(qiáng)（CO2的摩爾質(zhì)量為kg/mol）分析 在常溫常壓下可以將氣體視為理想氣體，理想氣體壓強(qiáng)公式中引入了統(tǒng)計(jì)平均量-方均根速率和分子數(shù)密度n，1 mol的氣體中分子數(shù)為阿

4、伏伽德羅常量NA，根據(jù)這些關(guān)系可求出壓強(qiáng)解 容積為V的容器中有1 mol CO2氣體，則分子總數(shù)為NA，摩爾質(zhì)量為M，則分子數(shù)密度為，分子質(zhì)量為，因此由氣體壓強(qiáng)公式得代入數(shù)字得6-4 在實(shí)驗(yàn)室中能夠獲得的最佳真空相當(dāng)于大約，試問在室溫（273K）下在這樣的“真空”中每立方厘米內(nèi)有多少個(gè)分子？分析 引入玻爾茲曼常量k和分子數(shù)密度n后，理想氣體狀態(tài)方程可以表示為解 由理想氣體狀態(tài)方程得6-5 已知?dú)怏w密度為1 kg/m3，壓強(qiáng)為，(1)求氣體分子的方均根速率；(2)設(shè)氣體為氧，求溫度分析 氣體密度是單位體積中氣體的質(zhì)量，因此與分子數(shù)密度n和分子質(zhì)量m的關(guān)系為解 壓強(qiáng)公式可寫為 (1)分子的方均根速

5、率(2)氧的摩爾質(zhì)量M =kg/mol，由定義，則6-6 體積為10-3 m3，壓強(qiáng)為的氣體，所有分子的平均平動(dòng)動(dòng)能的總和是多少？分析 氣體動(dòng)理論的能量公式給出了微觀量氣體分子的平均平動(dòng)動(dòng)能和宏觀量氣體溫度之間的關(guān)系分子的平均平動(dòng)動(dòng)能是大量分子的統(tǒng)計(jì)平均值，是每個(gè)分子平均占有的平動(dòng)動(dòng)能量值解 由氣體動(dòng)理論的能量公式，分子的平均平動(dòng)動(dòng)能為容器中分子數(shù)，又由壓強(qiáng)公式，可得容器中所有分子的平均平動(dòng)動(dòng)能的總和為6-7 一容器內(nèi)貯有氧氣，其壓強(qiáng)為，溫度T =，求(1)單位體積內(nèi)的分子數(shù)；(2)氧氣的密度；(3)氧分子的質(zhì)量；(4)分子間的平均距離；(5)分子的平均平動(dòng)動(dòng)能；(6)若容器是邊長為0.30

6、m的立方體，當(dāng)一個(gè)分子下降的高度等于容壁的邊長時(shí)，其重力勢(shì)能改變多少？并將重力勢(shì)能的改變與其平均平動(dòng)動(dòng)能相比較分析 常溫和常壓下，氧氣可視為理想氣體從宏觀的角度，可以認(rèn)為氣體是空間均勻分布的，因此分子間的平均距離的立方就是每個(gè)分子平均占有的體積通過本題的計(jì)算，可以得到氣體動(dòng)理論中常用到的物理量的量級(jí)概念解 (1) 由理想氣體的狀態(tài)方程，可得單位體積內(nèi)的分子數(shù)為(2) 利用理想氣體的狀態(tài)方程，氧氣的密度為(3) 氧分子的質(zhì)量為(4) 分子平均占有的空間開方等于分子間的平均距離(5) 分子的平均平動(dòng)動(dòng)能(6) 一個(gè)氧分子下降的高度等于容壁的邊長時(shí)，其重力勢(shì)能改變?yōu)榕c分子平均平動(dòng)動(dòng)能相比較，有6-8

7、 在什么溫度時(shí)，氣體分子的平均平動(dòng)動(dòng)能等于一個(gè)電子由靜止通過1 V電位差的加速作用所得到的動(dòng)能（即1eV的能量）解 根據(jù)題意，氣體分子的平均平動(dòng)動(dòng)能則 6-9 1 mol氫氣，在溫度時(shí)，求(1)具有若干平動(dòng)動(dòng)能；(2)具有若干轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能；(3)溫度每升高時(shí)增加的總動(dòng)能是多少？分析 氫氣是雙原子分子氣體，如果作為剛性分子看待，就具有3個(gè)平動(dòng)自由度和2個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，根據(jù)能量按自由度均分原則可以求出平均平動(dòng)動(dòng)能和平均轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能解 (1) 1 mol氫氣的平動(dòng)動(dòng)能為(2) 1 mol氫氣的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能為(3) 溫度每升高，1 mol氫氣增加的總動(dòng)能為6-10 1 mol單原子理想氣體和1 mol雙原子理想氣體

8、，溫度升高時(shí)，其內(nèi)能各增加多少？1 g氧氣和1 g氫氣溫度升高時(shí)，其內(nèi)能各增加多少？分析 一定量理想氣體的內(nèi)能，對(duì)于單原子理想氣體，對(duì)于雙原子理想氣體，對(duì)于1 mol理想氣體氧氣和氫氣都是雙原子氣體，氧氣的摩爾質(zhì)量解 1 mol單原子理想氣體溫度升高，內(nèi)能增量為1 mol雙原子理想氣體溫度升高，內(nèi)能增量為1 g氧氣溫度升高，內(nèi)能增量為1 g氫氣溫度升高，內(nèi)能增量為6-11 計(jì)算：(1)氧分子在時(shí)的平均平動(dòng)動(dòng)能和平均轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能；(2)在此溫度下，4 g氧的內(nèi)能分析 氧氣是雙原子分子氣體，如果作為剛性分子看待，就具有3個(gè)平動(dòng)自由度和2個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，解 (1) 氧分子在時(shí)的平均平動(dòng)動(dòng)能為平均轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能為

9、(2) 4 g氧在時(shí)的內(nèi)能為6-12 有40個(gè)粒子速率分布如下表所示 (其中速率單位為m/s)：速率區(qū)間100以下100200 200300 300400 400500 500600 600700 700800 800900 900以上 粒子數(shù) 1 4 6 8 6 5 4 3 2 1若以各區(qū)間的中值速率標(biāo)志處于該區(qū)間內(nèi)的粒子速率值，試求這40個(gè)粒子的平均速率、方均根速率和最概然速率，并計(jì)算出所在區(qū)間的粒子數(shù)占總粒子數(shù)的百分率分析 為了更深入地理解麥克斯韋速率分布律以及氣體動(dòng)理論中引入的平均速率、方均根速率和最概然速率的統(tǒng)計(jì)意義，有必要通過實(shí)際例子，經(jīng)過計(jì)算，體驗(yàn)速率分布規(guī)律和統(tǒng)計(jì)方法解 這40

10、個(gè)粒子分成了10個(gè)速率區(qū)間，若取1000 m/s為粒子速率在900 m/s以上的速率區(qū)間的中值速率，則根據(jù)定義，其平均速率為方均根速率為最概然速率所在區(qū)間的粒子數(shù)占總粒子數(shù)的百分率為6-13上題所給分布情況，若以200m/s為間隔作重新統(tǒng)計(jì)，列出分布情況表，計(jì)算出相應(yīng)的、和，以及所在區(qū)間的粒子數(shù)占總粒子數(shù)的百分率，并與上題結(jié)果進(jìn)行比較 分析 通過本題和上題計(jì)算結(jié)果可以看出，在某一速率區(qū)間中的分子數(shù)和所計(jì)算的三種速率不但與速率區(qū)間位置有關(guān)，還與速率區(qū)間的寬度有關(guān)只有當(dāng)所統(tǒng)計(jì)的分子總數(shù)足夠大，劃分的速率區(qū)間足夠小時(shí)，才可能獲得處于平衡狀態(tài)的氣體分子速率的一個(gè)確定的分布函數(shù)，三種速率也才有確定值解

11、以200m/s為間隔對(duì)上題粒子速率作重新統(tǒng)計(jì)，速率分布情況為(其中速率單位為m/s)：速率區(qū)間 200以下 200400 400600 600800 800以上 粒子數(shù) 5 14 11 7 3 這40個(gè)粒子分成了5個(gè)速率區(qū)間，若取900 m/s為粒子速率在800 m/s以上的速率區(qū)間的中值速率，則根據(jù)定義，其平均速率為方均根速率為最概然速率所在區(qū)間的粒子數(shù)占總粒子數(shù)的百分率為 Nf(v) a 0 v0 2 v0 3 v0 v 圖6-146-14 N個(gè)假想的氣體分子，速率分布如圖6-14所示(1)用N和v0表示出a的值；(2)求最概然速率；(3)以v0為間隔等分為三個(gè)速率區(qū)間求各區(qū)間中分子數(shù)占總

12、分子數(shù)的百分率分析 速率分布函數(shù)表示氣體分子速率在v值附近單位速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分率本題給出了一個(gè)特殊的分布情況，通過計(jì)算，理解速率分布函數(shù)和最概然速率的物理意義，以及各速率區(qū)間中分子數(shù)占總分子數(shù)的百分率的計(jì)算方法解 (1) 由圖6-14可見，分布函數(shù)與氣體分子總數(shù)N的乘積曲線下的總面積應(yīng)等于氣體分子總數(shù)N，即則 (2) 最概然速率 (3) 以v0為間隔等分為三個(gè)速率區(qū)間，分子數(shù)占總分子數(shù)的百分率分別為*6-15 在速率區(qū)間內(nèi)麥克斯韋速率分布曲線下的面積等于分布在此區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)的百分率應(yīng)用(6-17)式和麥克斯韋速率分布函數(shù)表示式(6-18)式，求在速率區(qū)間vp1.01vp內(nèi)的

13、氣體分子數(shù)占總分子數(shù)的比率分析 麥克斯韋速率分布律表明，由速率分布函數(shù)可得氣體分子速率在v速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占分子總數(shù)的百分率為解 麥克斯韋速率分布函數(shù)，因，則分布函數(shù)可寫為速率區(qū)間vp1.01vp內(nèi)的氣體分子數(shù)占總分子數(shù)的比率為*6-16應(yīng)用平均速率表示式(6-20)*式、麥克斯韋速率分布函數(shù)表示式(6-18)式以及積分公式求的值分析 這里采用的是數(shù)學(xué)中加權(quán)求某量值的平均值的方法，權(quán)重就是麥克斯韋速率分布函數(shù)如果要計(jì)算方均根速率，可先求速率平方的平均值，只需將積分式中的v改為，即，再將積分結(jié)果開方解 麥克斯韋速率分布函數(shù)表示式(6-18)式和平均速率表示式(6-20)*式給出利用積分公式 得

14、 *6-17 試由麥克斯韋速率分布律推出相應(yīng)的平動(dòng)動(dòng)能分布律，并求出最概然能量Ep，它是否就等于分析 要找出分子按平動(dòng)動(dòng)能的分布規(guī)律，即求出分布在平動(dòng)動(dòng)能區(qū)間EkEk+dEk中的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分率解 速率為v的分子的平動(dòng)動(dòng)能為Ek = ，則，麥克斯韋速率分布律可改寫為即分子按平動(dòng)動(dòng)能分布律，其中分布函數(shù)參考最概然速率的定義，令，由上式得最概然動(dòng)能因，則 6-18 飛機(jī)起飛前機(jī)艙中的壓強(qiáng)計(jì)指示為，溫度為起飛后壓強(qiáng)計(jì)指示為，溫度仍為試計(jì)算飛機(jī)此時(shí)距地面的高度解 根據(jù)玻爾茲曼分子數(shù)密度按高度分布公式和壓強(qiáng)公式，在高度和的壓強(qiáng)分別為和，則有得 6-19 設(shè)地球大氣是等溫的，溫度為，海平面上的氣壓

15、為，已知某地的海拔高度為h = 2000 m，空氣的摩爾質(zhì)量，求該地的氣壓值解 根據(jù)玻爾茲曼分子數(shù)密度按高度分布公式和理想氣體狀態(tài)方程，在高度處的壓強(qiáng)為6-20 在某一粒子加速器中，質(zhì)子在的壓強(qiáng)和273 K的溫度的真空室內(nèi)沿圓形軌道運(yùn)動(dòng)(1)估計(jì)在此壓強(qiáng)下每立方厘米內(nèi)的氣體分子數(shù)；(2)如果分子有效直徑為2.010-8 cm則在此條件下氣體分子的平均自由程為多大？分析 由理想氣體狀態(tài)方程可得壓強(qiáng)和分子數(shù)密度的關(guān)系，并由此可計(jì)算平均自由程解 (1) 由理想氣體狀態(tài)方程可得(2) 由定義，平均自由程為6-21設(shè)電子管內(nèi)溫度為300 K，如果要管內(nèi)分子的平均自由程大于10 cm時(shí)，則應(yīng)將它抽到多大壓

16、強(qiáng)？（分子有效直徑約為3.010-8 cm）分析 由平均自由程定義和理想氣體狀態(tài)方程可建立壓強(qiáng)與平均自由程以及溫度之間的關(guān)系解 由平均自由程定義和理想氣體狀態(tài)方程，得6-22 計(jì)算：(1)在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下，一個(gè)氮分子在1 s內(nèi)與其它分子的平均碰撞次數(shù)；(2)容積為4 L的容器，貯有標(biāo)準(zhǔn)狀況下的氮?dú)?，? s內(nèi)氮分子間的總碰撞次數(shù)（氮分子的有效直徑為3.7610-8 cm）解 (1) 因平均速率，標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下22.4 L中的分子數(shù)為，則平均碰撞次數(shù)(2) 4 L氮的分子數(shù)N=，分子間的總碰撞次數(shù)為6-23 假設(shè)氦氣分子的有效直徑為10-10 m，壓強(qiáng)為，溫度為300 K，(1)計(jì)算氦氣分子的平均自由程

17、和飛行一個(gè)平均自由程所需要的時(shí)間；(2)如果有一個(gè)帶基本電荷的氦離子在垂直于電場(chǎng)的方向上運(yùn)動(dòng)，電場(chǎng)強(qiáng)度為104 V/m，試計(jì)算氦離子在電場(chǎng)中飛行時(shí)間內(nèi)沿電場(chǎng)方向移動(dòng)的距離s及s與的比值；(3)氣體分子熱運(yùn)動(dòng)的平均速率與氦離子在電場(chǎng)方向的平均速率的比值；(4)氣體分子熱運(yùn)動(dòng)的平均平動(dòng)動(dòng)能與氦離子在電場(chǎng)中飛行一個(gè)遠(yuǎn)的距離所獲得的能量和它們的比值解 (1) 由平均自由程定義和理想氣體狀態(tài)方程，得平均速率 則 (2) 氦離子質(zhì)量為，沿電場(chǎng)方向受到的電場(chǎng)力為，加速度，在時(shí)間內(nèi)沿電場(chǎng)方向移動(dòng)的距離為(3) 氦離子沿電場(chǎng)方向的平均速率為(4) 氦氣分子平均平動(dòng)動(dòng)能為氦離子在電場(chǎng)中飛行一個(gè)遠(yuǎn)的距離所獲得的能量為二者之比為 *6-24 用范德瓦耳斯方程計(jì)算壓強(qiáng)為，體積為0.050 L的1 mol氧氣的溫度，如果用理想氣體狀態(tài)方程計(jì)算，將引起怎樣的相對(duì)誤差？已知氧的范德瓦耳斯常數(shù)為：；解 由范德瓦耳斯方程得由理想氣體狀態(tài)方程得相對(duì)誤差為*6-25 在時(shí)，2 mol氮?dú)獾捏w積為0.1 L，