大學(xué)物理各章練習(xí)題：第六章氣體動理論

1、第六章 氣體動理論6-1 一束分子垂直射向真空室的一平板，設(shè)分子束的定向速度為v，單位體積分子數(shù)為n，分子的質(zhì)量為m，求分子與平板碰撞產(chǎn)生的壓強分析 器壁單位面積所受的正壓力稱為氣體的壓強由于壓強是大量氣體分子與器壁碰撞產(chǎn)生的平均效果，所以推導(dǎo)壓強公式時，應(yīng)計算器壁單位面積在單位時間內(nèi)受到氣體分子碰撞的平均沖力 Sv 圖6-1解 以面積為S的平板面為底面，取長度等于分子束定向速度v的柱體如圖6-1所示，單位時間內(nèi)與平板碰撞的分子都在此柱體內(nèi)柱體內(nèi)的分子數(shù)為nSv每個分子與平板碰撞時，作用在平板上的沖力為2mv，單位時間內(nèi)平板所受到的沖力為根據(jù)壓強的定義，分子與平板碰撞產(chǎn)生的壓強為6-2 一球形

2、容器，直徑為2R，內(nèi)盛理想氣體，分子數(shù)密度為n，每個分子的質(zhì)量為m，(1)若某分子速率為vi，與器壁法向成角射向器壁進(jìn)行完全彈性碰撞，問該分子在連續(xù)兩次碰撞間運動了多長的距離？(2)該分子每秒鐘撞擊容器多少次？(3)每一次給予器壁的沖量是多大？(4)由上結(jié)果導(dǎo)出氣體的壓強公式分析 任一時刻容器中氣體分子的速率各不相同，運動方向也不相同，由于壓強是大量氣體分子與器壁碰撞產(chǎn)生的平均效果，氣體壓強公式的推導(dǎo)過程為：首先任意選取某一速率和運動方向的分子，計算單位時間內(nèi)它與器壁碰撞給予器壁的沖力，再對容器中所有分子統(tǒng)計求和 A vi B m 圖6-2解 (1)如圖6-2所示，速率為vi的分子以角與器壁碰

3、撞，因入射角與反射角都相同，連續(xù)兩次碰撞間運動的距離都是同樣的弦長，為(2)該分子每秒鐘撞擊容器次數(shù)為(3)每一次撞擊給予器壁的沖量為(4)該分子每秒鐘給予器壁的沖力為由于結(jié)果與該分子的運動方向無關(guān)，只與速率有關(guān)，因此可得容器中所有分子每秒鐘給予器壁的沖量為其中根據(jù)壓強的定義，分子與器壁碰撞產(chǎn)生的壓強為其中為分子的平均平動動能6-3容積為10 L的容器內(nèi)有1 mol CO2氣體，其方均根速率為1440 km/h，求CO2氣體的壓強（CO2的摩爾質(zhì)量為kg/mol）分析 在常溫常壓下可以將氣體視為理想氣體，理想氣體壓強公式中引入了統(tǒng)計平均量-方均根速率和分子數(shù)密度n，1 mol的氣體中分子數(shù)為阿

4、伏伽德羅常量NA，根據(jù)這些關(guān)系可求出壓強解 容積為V的容器中有1 mol CO2氣體，則分子總數(shù)為NA，摩爾質(zhì)量為M，則分子數(shù)密度為，分子質(zhì)量為，因此由氣體壓強公式得代入數(shù)字得6-4 在實驗室中能夠獲得的最佳真空相當(dāng)于大約，試問在室溫（273K）下在這樣的“真空”中每立方厘米內(nèi)有多少個分子？分析 引入玻爾茲曼常量k和分子數(shù)密度n后，理想氣體狀態(tài)方程可以表示為解 由理想氣體狀態(tài)方程得6-5 已知氣體密度為1 kg/m3，壓強為，(1)求氣體分子的方均根速率；(2)設(shè)氣體為氧，求溫度分析 氣體密度是單位體積中氣體的質(zhì)量，因此與分子數(shù)密度n和分子質(zhì)量m的關(guān)系為解 壓強公式可寫為 (1)分子的方均根速

5、率(2)氧的摩爾質(zhì)量M =kg/mol，由定義，則6-6 體積為10-3 m3，壓強為的氣體，所有分子的平均平動動能的總和是多少？分析 氣體動理論的能量公式給出了微觀量氣體分子的平均平動動能和宏觀量氣體溫度之間的關(guān)系分子的平均平動動能是大量分子的統(tǒng)計平均值，是每個分子平均占有的平動動能量值解 由氣體動理論的能量公式，分子的平均平動動能為容器中分子數(shù)，又由壓強公式，可得容器中所有分子的平均平動動能的總和為6-7 一容器內(nèi)貯有氧氣，其壓強為，溫度T =，求(1)單位體積內(nèi)的分子數(shù)；(2)氧氣的密度；(3)氧分子的質(zhì)量；(4)分子間的平均距離；(5)分子的平均平動動能；(6)若容器是邊長為0.30

6、m的立方體，當(dāng)一個分子下降的高度等于容壁的邊長時，其重力勢能改變多少？并將重力勢能的改變與其平均平動動能相比較分析 常溫和常壓下，氧氣可視為理想氣體從宏觀的角度，可以認(rèn)為氣體是空間均勻分布的，因此分子間的平均距離的立方就是每個分子平均占有的體積通過本題的計算，可以得到氣體動理論中常用到的物理量的量級概念解 (1) 由理想氣體的狀態(tài)方程，可得單位體積內(nèi)的分子數(shù)為(2) 利用理想氣體的狀態(tài)方程，氧氣的密度為(3) 氧分子的質(zhì)量為(4) 分子平均占有的空間開方等于分子間的平均距離(5) 分子的平均平動動能(6) 一個氧分子下降的高度等于容壁的邊長時，其重力勢能改變?yōu)榕c分子平均平動動能相比較，有6-8

7、 在什么溫度時，氣體分子的平均平動動能等于一個電子由靜止通過1 V電位差的加速作用所得到的動能（即1eV的能量）解 根據(jù)題意，氣體分子的平均平動動能則 6-9 1 mol氫氣，在溫度時，求(1)具有若干平動動能；(2)具有若干轉(zhuǎn)動動能；(3)溫度每升高時增加的總動能是多少？分析 氫氣是雙原子分子氣體，如果作為剛性分子看待，就具有3個平動自由度和2個轉(zhuǎn)動自由度，根據(jù)能量按自由度均分原則可以求出平均平動動能和平均轉(zhuǎn)動動能解 (1) 1 mol氫氣的平動動能為(2) 1 mol氫氣的轉(zhuǎn)動動能為(3) 溫度每升高，1 mol氫氣增加的總動能為6-10 1 mol單原子理想氣體和1 mol雙原子理想氣體

8、，溫度升高時，其內(nèi)能各增加多少？1 g氧氣和1 g氫氣溫度升高時，其內(nèi)能各增加多少？分析 一定量理想氣體的內(nèi)能，對于單原子理想氣體，對于雙原子理想氣體，對于1 mol理想氣體氧氣和氫氣都是雙原子氣體，氧氣的摩爾質(zhì)量解 1 mol單原子理想氣體溫度升高，內(nèi)能增量為1 mol雙原子理想氣體溫度升高，內(nèi)能增量為1 g氧氣溫度升高，內(nèi)能增量為1 g氫氣溫度升高，內(nèi)能增量為6-11 計算：(1)氧分子在時的平均平動動能和平均轉(zhuǎn)動動能；(2)在此溫度下，4 g氧的內(nèi)能分析 氧氣是雙原子分子氣體，如果作為剛性分子看待，就具有3個平動自由度和2個轉(zhuǎn)動自由度，解 (1) 氧分子在時的平均平動動能為平均轉(zhuǎn)動動能為

9、(2) 4 g氧在時的內(nèi)能為6-12 有40個粒子速率分布如下表所示 (其中速率單位為m/s)：速率區(qū)間100以下100200 200300 300400 400500 500600 600700 700800 800900 900以上 粒子數(shù) 1 4 6 8 6 5 4 3 2 1若以各區(qū)間的中值速率標(biāo)志處于該區(qū)間內(nèi)的粒子速率值，試求這40個粒子的平均速率、方均根速率和最概然速率，并計算出所在區(qū)間的粒子數(shù)占總粒子數(shù)的百分率分析 為了更深入地理解麥克斯韋速率分布律以及氣體動理論中引入的平均速率、方均根速率和最概然速率的統(tǒng)計意義，有必要通過實際例子，經(jīng)過計算，體驗速率分布規(guī)律和統(tǒng)計方法解 這40

10、個粒子分成了10個速率區(qū)間，若取1000 m/s為粒子速率在900 m/s以上的速率區(qū)間的中值速率，則根據(jù)定義，其平均速率為方均根速率為最概然速率所在區(qū)間的粒子數(shù)占總粒子數(shù)的百分率為6-13上題所給分布情況，若以200m/s為間隔作重新統(tǒng)計，列出分布情況表，計算出相應(yīng)的、和，以及所在區(qū)間的粒子數(shù)占總粒子數(shù)的百分率，并與上題結(jié)果進(jìn)行比較 分析 通過本題和上題計算結(jié)果可以看出，在某一速率區(qū)間中的分子數(shù)和所計算的三種速率不但與速率區(qū)間位置有關(guān)，還與速率區(qū)間的寬度有關(guān)只有當(dāng)所統(tǒng)計的分子總數(shù)足夠大，劃分的速率區(qū)間足夠小時，才可能獲得處于平衡狀態(tài)的氣體分子速率的一個確定的分布函數(shù)，三種速率也才有確定值解

11、以200m/s為間隔對上題粒子速率作重新統(tǒng)計，速率分布情況為(其中速率單位為m/s)：速率區(qū)間 200以下 200400 400600 600800 800以上 粒子數(shù) 5 14 11 7 3 這40個粒子分成了5個速率區(qū)間，若取900 m/s為粒子速率在800 m/s以上的速率區(qū)間的中值速率，則根據(jù)定義，其平均速率為方均根速率為最概然速率所在區(qū)間的粒子數(shù)占總粒子數(shù)的百分率為 Nf(v) a 0 v0 2 v0 3 v0 v 圖6-146-14 N個假想的氣體分子，速率分布如圖6-14所示(1)用N和v0表示出a的值；(2)求最概然速率；(3)以v0為間隔等分為三個速率區(qū)間求各區(qū)間中分子數(shù)占總

12、分子數(shù)的百分率分析 速率分布函數(shù)表示氣體分子速率在v值附近單位速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分率本題給出了一個特殊的分布情況，通過計算，理解速率分布函數(shù)和最概然速率的物理意義，以及各速率區(qū)間中分子數(shù)占總分子數(shù)的百分率的計算方法解 (1) 由圖6-14可見，分布函數(shù)與氣體分子總數(shù)N的乘積曲線下的總面積應(yīng)等于氣體分子總數(shù)N，即則 (2) 最概然速率 (3) 以v0為間隔等分為三個速率區(qū)間，分子數(shù)占總分子數(shù)的百分率分別為*6-15 在速率區(qū)間內(nèi)麥克斯韋速率分布曲線下的面積等于分布在此區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)的百分率應(yīng)用(6-17)式和麥克斯韋速率分布函數(shù)表示式(6-18)式，求在速率區(qū)間vp1.01vp內(nèi)的

13、氣體分子數(shù)占總分子數(shù)的比率分析 麥克斯韋速率分布律表明，由速率分布函數(shù)可得氣體分子速率在v速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占分子總數(shù)的百分率為解 麥克斯韋速率分布函數(shù)，因，則分布函數(shù)可寫為速率區(qū)間vp1.01vp內(nèi)的氣體分子數(shù)占總分子數(shù)的比率為*6-16應(yīng)用平均速率表示式(6-20)*式、麥克斯韋速率分布函數(shù)表示式(6-18)式以及積分公式求的值分析 這里采用的是數(shù)學(xué)中加權(quán)求某量值的平均值的方法，權(quán)重就是麥克斯韋速率分布函數(shù)如果要計算方均根速率，可先求速率平方的平均值，只需將積分式中的v改為，即，再將積分結(jié)果開方解 麥克斯韋速率分布函數(shù)表示式(6-18)式和平均速率表示式(6-20)*式給出利用積分公式 得

14、 *6-17 試由麥克斯韋速率分布律推出相應(yīng)的平動動能分布律，并求出最概然能量Ep，它是否就等于分析 要找出分子按平動動能的分布規(guī)律，即求出分布在平動動能區(qū)間EkEk+dEk中的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分率解 速率為v的分子的平動動能為Ek = ，則，麥克斯韋速率分布律可改寫為即分子按平動動能分布律，其中分布函數(shù)參考最概然速率的定義，令，由上式得最概然動能因，則 6-18 飛機起飛前機艙中的壓強計指示為，溫度為起飛后壓強計指示為，溫度仍為試計算飛機此時距地面的高度解 根據(jù)玻爾茲曼分子數(shù)密度按高度分布公式和壓強公式，在高度和的壓強分別為和，則有得 6-19 設(shè)地球大氣是等溫的，溫度為，海平面上的氣壓

15、為，已知某地的海拔高度為h = 2000 m，空氣的摩爾質(zhì)量，求該地的氣壓值解 根據(jù)玻爾茲曼分子數(shù)密度按高度分布公式和理想氣體狀態(tài)方程，在高度處的壓強為6-20 在某一粒子加速器中，質(zhì)子在的壓強和273 K的溫度的真空室內(nèi)沿圓形軌道運動(1)估計在此壓強下每立方厘米內(nèi)的氣體分子數(shù)；(2)如果分子有效直徑為2.010-8 cm則在此條件下氣體分子的平均自由程為多大？分析 由理想氣體狀態(tài)方程可得壓強和分子數(shù)密度的關(guān)系，并由此可計算平均自由程解 (1) 由理想氣體狀態(tài)方程可得(2) 由定義，平均自由程為6-21設(shè)電子管內(nèi)溫度為300 K，如果要管內(nèi)分子的平均自由程大于10 cm時，則應(yīng)將它抽到多大壓

16、強？（分子有效直徑約為3.010-8 cm）分析 由平均自由程定義和理想氣體狀態(tài)方程可建立壓強與平均自由程以及溫度之間的關(guān)系解 由平均自由程定義和理想氣體狀態(tài)方程，得6-22 計算：(1)在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下，一個氮分子在1 s內(nèi)與其它分子的平均碰撞次數(shù)；(2)容積為4 L的容器，貯有標(biāo)準(zhǔn)狀況下的氮氣，求1 s內(nèi)氮分子間的總碰撞次數(shù)（氮分子的有效直徑為3.7610-8 cm）解 (1) 因平均速率，標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下22.4 L中的分子數(shù)為，則平均碰撞次數(shù)(2) 4 L氮的分子數(shù)N=，分子間的總碰撞次數(shù)為6-23 假設(shè)氦氣分子的有效直徑為10-10 m，壓強為，溫度為300 K，(1)計算氦氣分子的平均自由程

17、和飛行一個平均自由程所需要的時間；(2)如果有一個帶基本電荷的氦離子在垂直于電場的方向上運動，電場強度為104 V/m，試計算氦離子在電場中飛行時間內(nèi)沿電場方向移動的距離s及s與的比值；(3)氣體分子熱運動的平均速率與氦離子在電場方向的平均速率的比值；(4)氣體分子熱運動的平均平動動能與氦離子在電場中飛行一個遠(yuǎn)的距離所獲得的能量和它們的比值解 (1) 由平均自由程定義和理想氣體狀態(tài)方程，得平均速率 則 (2) 氦離子質(zhì)量為，沿電場方向受到的電場力為，加速度，在時間內(nèi)沿電場方向移動的距離為(3) 氦離子沿電場方向的平均速率為(4) 氦氣分子平均平動動能為氦離子在電場中飛行一個遠(yuǎn)的距離所獲得的能量為二者之比為 *6-24 用范德瓦耳斯方程計算壓強為，體積為0.050 L的1 mol氧氣的溫度，如果用理想氣體狀態(tài)方程計算，將引起怎樣的相對誤差？已知氧的范德瓦耳斯常數(shù)為：；解 由范德瓦耳斯方程得由理想氣體狀態(tài)方程得相對誤差為*6-25 在時，2 mol氮氣的體積為0.1 L，