余數(shù)性質(zhì)（二）教師版

1、5-5-4.余數(shù)性質(zhì)（二）教學目標1. 學習余數(shù)的三大定理及綜合運用2. 理解棄9法，并運用其解題知識點撥一、三大余數(shù)定理：1.余數(shù)的加法定理a與b的和除以c的余數(shù)，等于a,b分別除以c的余數(shù)之和，或這個和除以c的余數(shù)。例如：23，16除以5的余數(shù)分別是3和1，所以23+1639除以5的余數(shù)等于4，即兩個余數(shù)的和3+1.當余數(shù)的和比除數(shù)大時，所求的余數(shù)等于余數(shù)之和再除以c的余數(shù)。例如：23，19除以5的余數(shù)分別是3和4，所以23+1942除以5的余數(shù)等于3+4=7除以5的余數(shù)為22.余數(shù)的加法定理a與b的差除以c的余數(shù)，等于a,b分別除以c的余數(shù)之差。例如：23，16除以5的余數(shù)分別是3和1，

2、所以23167除以5的余數(shù)等于2，兩個余數(shù)差312.當余數(shù)的差不夠減時時，補上除數(shù)再減。例如：23，14除以5的余數(shù)分別是3和4，23149除以5的余數(shù)等于4，兩個余數(shù)差為35443.余數(shù)的乘法定理a與b的乘積除以c的余數(shù)，等于a,b分別除以c的余數(shù)的積，或者這個積除以c所得的余數(shù)。例如：23，16除以5的余數(shù)分別是3和1，所以2316除以5的余數(shù)等于313。當余數(shù)的和比除數(shù)大時，所求的余數(shù)等于余數(shù)之積再除以c的余數(shù)。例如：23，19除以5的余數(shù)分別是3和4，所以2319除以5的余數(shù)等于34除以5的余數(shù)，即2.乘方：如果a與b除以m的余數(shù)相同，那么與除以m的余數(shù)也相同二、棄九法原理在公元前9世

3、紀，有個印度數(shù)學家名叫花拉子米，寫有一本花拉子米算術(shù)，他們在計算時通常是在一個鋪有沙子的土板上進行，由于害怕以前的計算結(jié)果丟失而經(jīng)常檢驗加法運算是否正確，他們的檢驗方式是這樣進行的：例如：檢驗算式1234除以9的余數(shù)為11898除以9的余數(shù)為818922除以9的余數(shù)為4除以9的余數(shù)為7除以9的余數(shù)為0這些余數(shù)的和除以9的余數(shù)為2而等式右邊和除以9的余數(shù)為3，那么上面這個算式一定是錯的。上述檢驗方法恰好用到的就是我們前面所講的余數(shù)的加法定理，即如果這個等式是正確的，那么左邊幾個加數(shù)除以9的余數(shù)的和再除以9的余數(shù)一定與等式右邊和除以9的余數(shù)相同。而我們在求一個自然數(shù)除以9所得的余數(shù)時，常常不用去列

4、除法豎式進行計算，只要計算這個自然數(shù)的各個位數(shù)字之和除以9的余數(shù)就可以了，在算的時候往往就是一個9一個9的找并且劃去，所以這種方法被稱作“棄九法”。所以我們總結(jié)出棄九發(fā)原理：任何一個整數(shù)模9同余于它的各數(shù)位上數(shù)字之和。以后我們求一個整數(shù)被9除的余數(shù)，只要先計算這個整數(shù)各數(shù)位上數(shù)字之和，再求這個和被9除的余數(shù)即可。利用十進制的這個特性，不僅可以檢驗幾個數(shù)相加，對于檢驗相乘、相除和乘方的結(jié)果對不對同樣適用注意：棄九法只能知道原題一定是錯的或有可能正確，但不能保證一定正確。例如：檢驗算式9+9=9時，等式兩邊的除以9的余數(shù)都是0，但是顯然算式是錯誤的但是反過來，如果一個算式一定是正確的，那么它的等式

5、2兩端一定滿足棄九法的規(guī)律。這個思想往往可以幫助我們解決一些較復(fù)雜的算式迷問題。例題精講模塊一、余數(shù)性質(zhì)的綜合運用【例 1】 與的和除以7的余數(shù)是_【考點】余數(shù)性質(zhì)的綜合運用 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】南京市，少年數(shù)學智力冬令營 【解析】 找規(guī)律用7除2，的余數(shù)分別是2，4，1，2，4，1，2，4，1，,2的個數(shù)是3的倍數(shù)時，用7除的余數(shù)為1；2的個數(shù)是3的倍數(shù)多1時，用7除的余數(shù)為2；2的個數(shù)是3的倍數(shù)多2時，用7除的余數(shù)為4因為，所以除以7余4又兩個數(shù)的積除以7的余數(shù)，與兩個數(shù)分別除以7所得余數(shù)的積相同而2003除以7余1，所以除以7余1故與的和除以7的余數(shù)是【答案】【鞏固】 除

6、以7的余數(shù)是多少？【考點】余數(shù)性質(zhì)的綜合運用 【難度】3星 【題型】解答【解析】 除以7的余數(shù)為1，所以，其除以7的余數(shù)為：；2008除以7的余數(shù)為6，則除以7的余數(shù)等于除以7的余數(shù)，為1；所以除以7的余數(shù)為：【答案】【鞏固】 被除所得的余數(shù)是多少？【考點】余數(shù)性質(zhì)的綜合運用 【難度】3星 【題型】解答【解析】 31被13除所得的余數(shù)為5，當n取1，2，3，時被13除所得余數(shù)分別是5，12，8，1，5，12，8，1以4為周期循環(huán)出現(xiàn)，所以被13除的余數(shù)與被13除的余數(shù)相同，余12，則除以13的余數(shù)為12；30被13除所得的余數(shù)是4，當n取1，2，3，時，被13除所得的余數(shù)分別是4，3，12，9

7、，10，1，4，3，12，9，10，以6為周期循環(huán)出現(xiàn)，所以被13除所得的余數(shù)等于被13除所得的余數(shù)，即4，故除以13的余數(shù)為4；所以被13除所得的余數(shù)是【答案】【例 2】 、為非零自然數(shù)，且被整除。的最小值為 ?！究键c】余數(shù)性質(zhì)的綜合運用 【難度】4星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯，6年級，決賽，第7題，10分【解析】 除以的余數(shù)是，除以的余數(shù)是，所以能被整除，經(jīng)試算，最小值為【答案】【例 3】 除以10所得的余數(shù)為多少？【考點】余數(shù)的加減法定理 【難度】3星 【題型】解答【解析】 求結(jié)果除以10的余數(shù)即求其個位數(shù)字從1到2005這2005個數(shù)的個位數(shù)字是10個一循環(huán)的，而對一個數(shù)的冪方的個

8、位數(shù)，我們知道它總是4個一循環(huán)的，因此把所有加數(shù)的個位數(shù)按每20個(20是4和10的最小公倍數(shù))一組，則不同組中對應(yīng)的個位數(shù)字應(yīng)該是一樣的首先計算的個位數(shù)字，為的個位數(shù)字，為4，由于2005個加數(shù)共可分成100組另5個數(shù)，100組的個位數(shù)字和是的個位數(shù)即0，另外5個數(shù)為、，它們和的個位數(shù)字是的個位數(shù) 3，所以原式的個位數(shù)字是3，即除以10的余數(shù)是3【答案】【例 4】 已知n是正整數(shù)，規(guī)定，令，則整數(shù)m除以2008的余數(shù)為多少？【考點】余數(shù)性質(zhì)的綜合運用 【難度】3星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】清華附中【解析】2008能夠整除，所以的余數(shù)是2007【答案】【例 5】 設(shè)n為正整數(shù)，k被7除余數(shù)為2，

9、k被11除余數(shù)為3，求n的最小值【考點】余數(shù)性質(zhì)的綜合運用 【難度】3星 【題型】解答【解析】 2004被7除余數(shù)為2，被11除余數(shù)也為2，所以被7除余數(shù)為2，被11除余數(shù)為3由于被7除余2，而被7除余1，所以n除以3的余數(shù)為1；由于被11除余3，被11除余1，所以n除以10的余數(shù)為8可見是3和10的公倍數(shù)，最小為，所以n的最小值為28【答案】【例 6】 試求不大于100，且使能被11整除的所有自然數(shù)n的和【考點】余數(shù)性質(zhì)的綜合運用 【難度】3星 【題型】解答【解析】 通過逐次計算，可以求出被11除的余數(shù)，依次為：為3，為9，為5，為4，為1，因而被11除的余數(shù)5個構(gòu)成一個周期：3，9，5，4

10、，1，3，9，5，4，1，；類似地，可以求出被11除的余數(shù)10個構(gòu)成一個周期：7，5，2，3，10，4，6，9，8，1，；于是被11除的余數(shù)也是10個構(gòu)成一個周期：3，7，0，0，4，0，8，7，5，6，；這就表明，每一個周期中，只有第3、4、6個這三個數(shù)滿足題意，即時能被11整除，所以，所有滿足條件的自然數(shù)n的和為：【答案】【例 7】 對任意的自然數(shù)n，證明能被1897整除 【考點】余數(shù)性質(zhì)的綜合運用 【難度】3星 【題型】解答【解析】 略【答案】，7與271互質(zhì)，因為，所以，故能被7整除又因為，所以，故能被271整除因為7與271互質(zhì)，所以能被1897整除【例 8】 若為自然數(shù)，證明【考點

11、】余數(shù)性質(zhì)的綜合運用 【難度】3星 【題型】解答【解析】 略【答案】，由于與的奇偶性相同，所以，如果 能被5整除，那么；如果不能被5整除，那么被5除的余數(shù)為1、2、3或者4，被5除的余數(shù)為、被5除的余數(shù)，即為1、16、81、256被5除的余數(shù)，而這四個數(shù)除以5均余1，所以不管為多少，被5除的余數(shù)為1，而，即14個相乘，所以除以5均余1，則能被5整除，有所以由于2與5互質(zhì)，所以【例 9】 有一位奧運會志愿者，向看臺上的一百名觀眾按順序發(fā)放編號1，2，3，100，同時還向每位觀眾贈送一個單色喇叭他希望如果兩位觀眾的編號之差是質(zhì)數(shù)，那么他們拿到的喇叭就是不同顏色的為了實現(xiàn)他自己的愿望，他最少要準備

12、種顏色的喇叭【考點】余數(shù)性質(zhì)的綜合運用 【難度】4星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】迎春杯，五年級,初賽，第11題【解析】 編號、這四個編號兩兩之間的差都是質(zhì)數(shù)，所以這四個編號的觀眾應(yīng)該使用不同顏色的喇叭所以他最少應(yīng)該準備種不同顏色的喇叭，然后按編號被除后的余數(shù)分派不同顏色喇叭【答案】種模塊二、棄九法【例 10】 將1至2008這2008個自然數(shù)，按從小到大的次序依次寫出，得一個多位數(shù)：008，試求這個多位數(shù)除以9的余數(shù)【考點】棄九法 【難度】3星 【題型】解答【解析】 以這個八位數(shù)為例，它被9除的余數(shù)等于被9除的余數(shù)，但是由于1999與被9除的余數(shù)相同，2000與被9除的余數(shù)相同，所以就與被9除的余

13、數(shù)相同由此可得，從1開始的自然數(shù)008被9除的余數(shù)與前2008個自然數(shù)之和除以9的余數(shù)相同根據(jù)等差數(shù)列求和公式，這個和為：，它被9除的余數(shù)為1另外還可以利用連續(xù)9個自然數(shù)之和必能被9整除這個性質(zhì)，將原多位數(shù)分成，007，2008等數(shù)，可見它被9除的余數(shù)與2008被9除的余數(shù)相同因此，此數(shù)被9除的余數(shù)為1【答案】1【鞏固】 連續(xù)寫出從開始的自然數(shù)，寫到時停止，得到一個多位數(shù)：，請說明：這個多位數(shù)除以，得到的余數(shù)是幾？為什么？【考點】棄九法 【難度】3星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】希望杯【分析】 因為連續(xù)個自然數(shù)可以被整除，而且最后一個自然數(shù)都是的倍數(shù)，因為是的倍數(shù)，所以是的倍數(shù)，又因為，所以除以，得

14、到的余數(shù)是【答案】0【例 11】 將依次寫到第1997個數(shù)字，組成一個1997位數(shù)，那么此數(shù)除以9的余數(shù)是 _【考點】棄九法 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】小學數(shù)學奧林匹克【解析】 本題第一步是要求出第1997個數(shù)字是什么，再對數(shù)字求和共有9個數(shù)字，共有90個兩位數(shù)，共有數(shù)字： (個), 共900個三位數(shù)，共有數(shù)字： (個),所以數(shù)連續(xù)寫，不會寫到999,從100開始是3位數(shù)，每三個數(shù)字表示一個數(shù)，即有602個三位數(shù)，第603個三位數(shù)只寫了它的百位和十位從100開始的第602個三位數(shù)是701，第603個三位數(shù)是9，其中2未寫出來因為連續(xù)9個自然數(shù)之和能被9整除，所以排列起來的9個自然數(shù)也

15、能被9整除，702個數(shù)能分成的組數(shù)是： (組)，依次排列后，它仍然能被9整除，但702中2未寫出來，所以余數(shù)為【答案】7【例 12】 有2個三位數(shù)相乘的積是一個五位數(shù)，積的后四位是1031，第一個數(shù)各個位的數(shù)字之和是10，第二個數(shù)的各個位數(shù)字之和是8，求兩個三位數(shù)的和?！究键c】棄九法 【難度】3星 【題型】解答【解析】 本題條件僅給出了兩個乘數(shù)的數(shù)字之和，同時發(fā)現(xiàn)乘積的一部分已經(jīng)給出，即乘積的一部分數(shù)字之和已經(jīng)給出，我們可以采用棄九法原理的倒推來構(gòu)造出原三位數(shù)。因為這是一個一定正確的算式，所以一定可以滿足棄九法的條件，兩個三位數(shù)除以9的余數(shù)分別為1和8，所以等式一邊除以9的余數(shù)為8，那么103

16、1除以9的余數(shù)也必須為8，只能是3.將31031分解質(zhì)因數(shù)發(fā)現(xiàn)僅有一種情況可以滿足是兩個三位數(shù)的乘積，即所以兩個三位數(shù)是143和217，那么兩個三位數(shù)的和是360【答案】360【例 13】 設(shè)的各位數(shù)字之和為，的各位數(shù)字之和為，的各位數(shù)字之和為，的各位數(shù)字之和為，那么 【考點】棄九法 【難度】3星 【題型】填空【解析】 由于一個數(shù)除以9的余數(shù)與它的各位數(shù)字之和除以9的余數(shù)相同，所以與、 除以9都同余，而2009除以9的余數(shù)為2，則除以9的余數(shù)與除以9的余數(shù)相同，而除以9的余數(shù)為1，所以除以9的余數(shù)為除以9的余數(shù)，即為5另一方面，由于，所以的位數(shù)不超過8036位，那么它的各位數(shù)字之和不超過，即；那么的各位數(shù)字之和，的各位數(shù)字之和，小于18且除以9的余數(shù)為5，那么為5或14，的各位數(shù)字之和為5，即【答案】5【例 14】 3個三位數(shù)乘積的算式 (其中)， 在校對時，發(fā)現(xiàn)