常微分方程第二版答案第6章6-2

1、常微分方程 第6章習(xí)題621 求出常系數(shù)齊次性微分方程組的通解，其中的矩陣A分別為1） 2） 3）4） 5）解：1） 特征方程 即 矩陣A有特征根， 對應(yīng)于所有的特征向量滿足即。取，則 那么對應(yīng)的實值解為；對應(yīng)的特征向量滿足即，取，則，那么對應(yīng)的實值解為 。于是該方程組的通解為2）特征方程為 即矩陣A有特征根 對應(yīng)的特征向量應(yīng)滿足取，則 即么對應(yīng)的特解為 由此得所對應(yīng)的兩個特解為（對2X2的方程組取一個特解的實部和虛部就可，因為虛根都是成對出現(xiàn)的。） 它們在上線性無關(guān)，故得方程組的通解：3） 即矩陣A有特征根 ，。對應(yīng)于 ，特征向量應(yīng)滿足 又（只能進(jìn)行行變換）因此與相應(yīng)的特征向量可取為，對于二

2、重特征根，可以算出因此，方程 有二個線性無關(guān)的解為 ，注意到，就可得到 從而可行基解矩陣 因此所求通解為 ，即 4）特征方程 即 矩陣A有特征根：，對應(yīng)的特征向量應(yīng)滿足解之得 取 則故相應(yīng)的解為 相應(yīng)于 的特征向量應(yīng)滿足取 ，那么對應(yīng)的復(fù)解為分別取實部，部可得方程組的兩個實解,易知它們在上是線性無關(guān)的，于是方程組的通解為 5）特征方程為矩陣A的特征根為， 對應(yīng)于，相應(yīng)的特征向量應(yīng)滿足可以算出解之得， 則那么相應(yīng)的解為 對應(yīng)于三重特征根，可以算出因此，方程有三個線性無關(guān)解為， ， 注意到，可得由以上結(jié)果，可得方程組的一個基解矩陣因此所求方程組的通解為 或2求出常系數(shù)非齊次線性方程組，的通解，其中

3、：3），； 4）， ；5）， 。3）解先求對應(yīng)齊次方程組的通解特征方程 ，特征根為對于二重特征根，可以算出因此方程 有二個線性無關(guān)的解 由此可得齊次線性方程組的一個基解矩陣故非齊次方程組的通解為 容易求出故 于是非齊次方程組的通解為4）先求對應(yīng)齊次方程組的通解特征方程為特征根為 ， ，對應(yīng)于的特征向量為 對應(yīng)于的特征向量為應(yīng)滿足 解之得 ，令，則其相應(yīng)的復(fù)值解為：分別取實部和虛部，可得齊次方程組的兩個線性無關(guān)的實解, 從而可得齊次方程組的一個基解矩陣 容易求得 這個矩陣的逆的算法：這里是只能通過行變換將矩陣先變成下三角，再變成對角陣即可。自己認(rèn)真算，我都能算對，大家一定可以的，復(fù)習(xí)高等代數(shù)了。

4、我仔細(xì)算了一下，要是將齊次方程的通解寫出來，再用常數(shù)變易法求出特解方程組的階數(shù)高的時候比求矩陣的逆還復(fù)雜，所以還是建議大家用求矩陣的逆的方法來算吧。故 則 所以非齊次線性方程組的通解為(5)先求對應(yīng)齊次方程組的通解特征方程特征方程根為 。對于三重特重根 ，可以算出因此方程 有三個線性無關(guān)的解 ， 由此可得齊次線性方程的一個基解矩陣 從而容易求得 又 故 故非齊次線性方程組的通解為 由于特征向量取的不同，結(jié)果肯能也不一樣。但是課本答案出現(xiàn)肯定是不正確的。3求出微分方程組 滿足初值條件 的解，其中：（1）， ， ；（2）， ， ；（3）， ， 解 （1）齊次方程組的特征方程為 特征根 ： 對于二重

5、特征根 ，可以算出 同此方程 有二個線性無關(guān)解， 由此可得齊次方程組的一個基解矩陣從而可求得 故 所以 故非齊次線性方程組的通解為由初始條件 解之得 ， 故初值問題的解為 （2）齊次方程組的特征方程為 特征根為 ， 對應(yīng) 的特征向量應(yīng)滿足 取，則 故 從而可得齊次方程組的一個基解矩陣容易求得 而 又 故非齊次線性方程的通解為由初始條 有 解之得 故初值問題的解為 或 (3) 齊次方程組的特征方程為特征根 對應(yīng) 的特征向量應(yīng)滿足 取 ,則 那么相應(yīng)的解為 對應(yīng) 的特征向量應(yīng)滿足, 取 ,則那么相應(yīng)的解為 從而得齊次線性方程組的基解矩陣為 容易求得 由于 又 故非齊線性方程組通解為 由初值條件 ，得 解之得 因此值問題解為 或 4.證明:常系數(shù)齊次方程組 的任何解當(dāng) 時都趨于零,當(dāng)僅當(dāng)它的系數(shù)矩陣A的所有特征根都具有負(fù)的實部.證 必要性:設(shè)特征根為 ,與之對應(yīng)的方程組的解可表為 。1）當(dāng) 即 為實數(shù)時，的每一分量或者為一常向量，或者為的多項式的向量函數(shù)。此時總有當(dāng) 時, 或者是常向量。那么只有當(dāng) 時, ,故必為負(fù)實數(shù).2）當(dāng) 時, 為復(fù)數(shù), 則此時 其中 的向量多項式,當(dāng)時, ,那么,若使當(dāng)時,有成立,只有,于是,必為負(fù)實數(shù)。充分性：若系數(shù)矩陣A的所有特征根都具有負(fù)的實部，設(shè)特征根為，與之對應(yīng)的解為 （1）當(dāng)時，為負(fù)數(shù)，由解的結(jié)構(gòu)知，是關(guān)于的一個多項式的向量函