數(shù)學(xué)建模一周試題

1、試題1.本次數(shù)學(xué)建模周共有如下十五道題。每支隊(duì)伍（2-3人/隊(duì)）必須從以下題中任意選取一題，并完成一篇論文，具體要求參閱論文格式規(guī)范。2.指導(dǎo)老師會(huì)根據(jù)題目的難度對(duì)論文最后的評(píng)分進(jìn)行調(diào)整。3.題目標(biāo)注為“A”的為有一定難度的題目，選擇此題你們將更有可能得到高分。 （一）乒乓球賽問(wèn)題 (A)A、B兩乒乓球隊(duì)進(jìn)行一場(chǎng)五局三勝制的乒乓球賽，兩隊(duì)各派3名選手上場(chǎng)，并各有3種選手的出場(chǎng)順序（分別記為 和）。根據(jù)過(guò)去的比賽記錄，可以預(yù)測(cè)出如果A隊(duì)以次序出場(chǎng)而B(niǎo)隊(duì)以次序出場(chǎng)，則打滿5局A隊(duì)可勝局。由此得矩陣如下：（1） 根據(jù)矩陣R 能看出哪一隊(duì)的實(shí)力較強(qiáng)嗎？（2） 如果兩隊(duì)都采取穩(wěn)妥的方案，比賽會(huì)出現(xiàn)什么結(jié)

2、果？（3） 如果你是A隊(duì)的教練，你會(huì)采取何種出場(chǎng)順序？（4） 比賽為五戰(zhàn)三勝制，但矩陣R 中的元素卻是在打滿五局的情況下得到的，這樣的數(shù)據(jù)處理和預(yù)測(cè)方式有何優(yōu)缺點(diǎn)？（二）野兔生長(zhǎng)問(wèn)題在某地區(qū)野兔的數(shù)量在連續(xù)十年的統(tǒng)計(jì)數(shù)量(單位十萬(wàn))如下：T=0T=1T=2T=3T=4T=5T=6T=7T=8T=912.319694.508536.905686.005125.564955.328077.561018.93929.5817分析該數(shù)據(jù)，得出野兔的生長(zhǎng)規(guī)律。 并指出在哪些年內(nèi)野兔的增長(zhǎng)有異?，F(xiàn)象，預(yù)測(cè)T=10 時(shí)野兔的數(shù)量。（三）停車場(chǎng)的設(shè)計(jì)問(wèn)題在New England的一個(gè)鎮(zhèn)上，有一位于街角處面積1

3、00200平方英尺的停車場(chǎng)，場(chǎng)主請(qǐng)你代為設(shè)計(jì)停車車位的安排方式，即設(shè)計(jì)在場(chǎng)地上劃線的方案。容易理解，如果將汽車按照與停車線構(gòu)成直角的方向，一輛緊挨一輛地排列成行，則可以在停車場(chǎng)內(nèi)塞進(jìn)最大數(shù)量的汽車，但是對(duì)于那些缺乏經(jīng)驗(yàn)的司機(jī)來(lái)說(shuō)，按照這種方式?？寇囕v是有困難的，它可能造成昂貴的保險(xiǎn)費(fèi)用支出。為了減少因停車造成意外損失的可能性，場(chǎng)主可能不得不雇傭一些技術(shù)熟練的司機(jī)專門(mén)停車；另一方面，如果從通道進(jìn)入停車位有一個(gè)足夠大的轉(zhuǎn)彎半徑，那么，看來(lái)大多數(shù)的司機(jī)都可以毫無(wú)困難地一次停車到位。當(dāng)然通道越寬，場(chǎng)內(nèi)所容納的車輛數(shù)目也越少，這將使得場(chǎng)主減少收入。（四）獎(jiǎng)學(xué)金的評(píng)定 (A)背景A Better Clas

4、s (ABC)學(xué)院的一些院級(jí)管理人員被學(xué)生成績(jī)的評(píng)定問(wèn)題所困擾。平均來(lái)說(shuō)，ABC的教員們一向打分較松（現(xiàn)在所給的平均分是A）,這使得無(wú)法對(duì)好的和中等的學(xué)生加以區(qū)分.然而,某項(xiàng)十分豐厚的獎(jiǎng)學(xué)金僅限于資助占總數(shù)10%的最優(yōu)秀學(xué)生,因此,需要對(duì)學(xué)生排定名次.教務(wù)長(zhǎng)的想法是在每一課程中將每個(gè)學(xué)生與其他學(xué)生加以比較,運(yùn)用由此得到的信息構(gòu)造一個(gè)排名順序.例如,某個(gè)學(xué)生在一門(mén)課程中成績(jī)?yōu)锳,而在同一課程中所有學(xué)生都得A,那么就此課而言這個(gè)學(xué)生僅僅屬于“中等”。反之，如果一個(gè)學(xué)生得到了課程中唯一的A，那么，他顯然處在“中等至上”水平。綜合從幾門(mén)不同課程所得到的信息，使得可以把所有學(xué)院的學(xué)生按照以10%劃分等級(jí)

5、順序（最優(yōu)秀的10%，其次的10%，等等）排序。問(wèn)題（1）假設(shè)學(xué)生成績(jī)是按照（A+，A, A, B+ ,）這樣的方式給出的,教務(wù)長(zhǎng)的想法能否實(shí)現(xiàn)?（2）如果學(xué)生成績(jī)是按照(A,B,C,)的方式給出的,教務(wù)長(zhǎng)的想法能否實(shí)現(xiàn)?（3）能否有其他方案給出所希望的排名?（4）需要關(guān)心的是,個(gè)別一門(mén)課程的成績(jī)能否使很多學(xué)生按10%劃分的等級(jí)順序變化.這種情況能發(fā)生嗎?數(shù)據(jù)參賽各隊(duì)?wèi)?yīng)設(shè)計(jì)出一組數(shù)據(jù)用以檢驗(yàn)和說(shuō)明各自的算法,并應(yīng)使數(shù)據(jù)能夠反映出算法有效性受到限制的情況.（五）購(gòu)房貸款的比較小李夫婦曾經(jīng)準(zhǔn)備申請(qǐng)商業(yè)貸款10萬(wàn)元用于購(gòu)置住房，每月還款880.66元，25年還清. 房產(chǎn)商介紹的一家金融機(jī)構(gòu)提出：貸款

6、10萬(wàn)元，每半月還款440.33元, 22年還清, 不過(guò)由于中介費(fèi)手續(xù)費(fèi)等原因，貸款時(shí)要預(yù)付4000元.小李考慮，雖然預(yù)付費(fèi)用不少，可是減少三年還款期意味著減少還款近3萬(wàn)2千元，而每月多跑一趟，那不算什么.這機(jī)構(gòu)的條件似乎還是蠻優(yōu)惠的.（六）貸款月還款多少隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，金融正越來(lái)越多的進(jìn)入普通人的生活；貸款，保險(xiǎn)，養(yǎng)老金和信用卡；個(gè)人住房抵押貸款是其中重要的一項(xiàng)。2005年12月，中國(guó)人民銀行公布了新的存，貸款利率水平，其中貸款利率如下表所列 種類, 期限1年以下(含1年)1-3年 (含3年)3-5 年(含5年)5-10 年(含10年)10-15年(含15年)15-20年(含20年)個(gè)人住房

7、按揭貸款5.315.315.315.585.585.58 以人民幣10萬(wàn)元為例計(jì)算貸款的月還款數(shù)（計(jì)算到20年）（七）. 還款周期與本息總額個(gè)人住房貸款以10萬(wàn)元為例子，期限為3年，試討論隨著還款的周期變化，本息總額如何變化。（八）費(fèi)用分擔(dān)問(wèn)題有三個(gè)位于某河流同旁的城鎮(zhèn)城1、城 2、城3(如圖）三城鎮(zhèn)的污水必須經(jīng)過(guò)處理后方能排入河中，他們既可以單獨(dú)建立污水處理廠，也可以通過(guò)管道輸送聯(lián)合建廠。為了討論方便起見(jiàn)，我們?cè)偌僭O(shè)污水只能由上游往下游。用Q表示污水量，單位為米3/秒，L表示管道長(zhǎng)度，單位為公里，則有經(jīng)驗(yàn)公式： 已知三城鎮(zhèn)的污水量分別為：Q1=5立方米/秒，Q2=3立方米/秒，Q3=5立方米

8、/秒，問(wèn)：三城鎮(zhèn)應(yīng)怎樣處理污水方可使總開(kāi)支最少？每一城鎮(zhèn)負(fù)擔(dān)的費(fèi)用應(yīng)各為多少？（九）徽章問(wèn)題 (AAA)題目過(guò)長(zhǎng)，請(qǐng)查看該文件夾中的徽章問(wèn)題.doc文檔*以下為lingo或者M(jìn)ATLAB軟件實(shí)現(xiàn)題目*（十）某糖果廠用原料A，B，C加工成三種不同牌號(hào)的糖果甲、乙、丙。已知各種糖果的中A，B，C的含量，原料成本，各種原料每月的限制用量，三種牌號(hào)糖果的單位加工費(fèi)及售價(jià)如下表所示。 甲乙丙原料成本/元/kg每月限制用量/kgA2.002000B1.502500C1.001200加工費(fèi)/元/kg0.500.400.30售價(jià)/元/kg3.402.852.25問(wèn)該廠每月生產(chǎn)這三種牌號(hào)糖果各多少kg，使得到的

9、利潤(rùn)為最大？（十一）、某廠生產(chǎn)三種產(chǎn)品,產(chǎn)品。依次經(jīng)A、B設(shè)備加工，產(chǎn)品經(jīng)A、C設(shè)備加工，產(chǎn)品經(jīng)過(guò)C、B設(shè)備加工。已知有關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示，請(qǐng)為該廠制訂一個(gè)最優(yōu)的生產(chǎn)計(jì)劃。產(chǎn) 品機(jī)器生產(chǎn)率/件/h原料成本/元產(chǎn)品價(jià)格/元ABC102015502052510010201045機(jī)器成本/元/h200100200每周可用時(shí)間/h504560（十二）、(A) 一個(gè)木材儲(chǔ)運(yùn)公司有很大的倉(cāng)庫(kù)用以儲(chǔ)運(yùn)出售木材。由于木材季度價(jià)格的變化，該公司于每季度初購(gòu)進(jìn)木材，一部分于本季度內(nèi)出售，一部分儲(chǔ)存起來(lái)以后。已知該公司倉(cāng)庫(kù)的最大儲(chǔ)存量為20萬(wàn)m3，儲(chǔ)存費(fèi)用為元/m3，式中，u為儲(chǔ)存時(shí)間（季度數(shù)）。已知每季度的買進(jìn)賣出

10、價(jià)及預(yù)計(jì)的銷售量如下表所示。季度買進(jìn)價(jià)/元/m3賣出價(jià)/元/m3預(yù)計(jì)銷售量/元/m3冬410425100春430440140夏460465200秋450455160由于木材不宜久貯，所有庫(kù)存木材應(yīng)于每年秋末售完，試建立這個(gè)問(wèn)題的線性規(guī)劃模型。（十三）、某飼養(yǎng)場(chǎng)飼養(yǎng)動(dòng)物出售，設(shè)每頭動(dòng)物每天至少需700g蛋白質(zhì)、30g礦物質(zhì)、100mg維生素?，F(xiàn)有五種飼料可供選用，各種飼料每kg營(yíng)養(yǎng)成分含量及單價(jià)如下表飼料蛋白質(zhì)/g礦物質(zhì)量/g維生素/mg價(jià)格/元/kg1310.50.2220.51.00.7310.20.20.446220.35180.50.80.8 要求確定既滿足動(dòng)物生長(zhǎng)的營(yíng)養(yǎng)需要，又使費(fèi)用最省的選用飼料的方案。（十四）、某地區(qū)有三個(gè)化肥廠，除供應(yīng)外地區(qū)需要外，估計(jì)每年可供應(yīng)本地區(qū)的數(shù)字為：化肥廠A7萬(wàn)噸，B8萬(wàn)噸，C3萬(wàn)噸。有四個(gè)產(chǎn)糧區(qū)需要該種化肥，需要量為：甲地區(qū)6萬(wàn)噸，乙地區(qū)6萬(wàn)噸，丙地區(qū)3萬(wàn)噸，丁地區(qū)3萬(wàn)噸。已知從各化肥廠到各產(chǎn)糧區(qū)的每噸化肥的運(yùn)價(jià)如下表所示： 產(chǎn)糧區(qū)化肥廠甲乙丙丁A5879B49107C8429試根據(jù)以上資料制訂