河北省秦皇島市盧龍縣中學(xué)2019_2020學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題含解析

1、河北省秦皇島市盧龍縣中學(xué)2019-2020學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題（含解析）一.選擇題：本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分.1. 直線的傾斜角為（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】由直線方程求出直線的斜率，再利用傾斜角的正切值等于斜率即可求得【詳解】設(shè)直線的傾斜角是，直線化為，故選c【點(diǎn)睛】本題考查了直線的傾斜角與斜率的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題2. 命題“”的否定是（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】利用全稱(chēng)命題的否定是特稱(chēng)命題，即可直接得解.【詳解】因?yàn)槿Q(chēng)命題的否定是特稱(chēng)命題，所以命題“，”的否定為“，”.故選：d.【點(diǎn)睛】本題考查了全稱(chēng)命題的否定，

2、屬于基礎(chǔ)題.3. 已知的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，則邊上的中線的長(zhǎng)為（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得，再利用兩點(diǎn)間距離公式求得結(jié)果.【詳解】由，可得中點(diǎn)又 本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用，關(guān)鍵是能夠利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得中點(diǎn)坐標(biāo).4. 已知直線與圓相交于a，b兩點(diǎn)(o為坐標(biāo)原點(diǎn))，則“”是“”的a 充分不必要條件b. 必要不充分條件c. 充要條件d. 既不充分也不必要條件【答案】a【解析】【分析】設(shè)，聯(lián)立，化為，由，可得，根據(jù)韋達(dá)定理解出，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】設(shè)，聯(lián)立，化為，直線與圓相交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)），解得，解得，則“”是“”的充分不必要

3、條件，故選a.【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件與必要條件的定義、直線與圓的位置關(guān)系，以及平面向量數(shù)量積公式的應(yīng)用，屬于中檔題. 利用向量的位置關(guān)系求參數(shù)是出題的熱點(diǎn)，主要命題方式有兩個(gè)：（1）兩向量平行，利用解答；（2）兩向量垂直，利用解答.5. 若直線和直線平行，則的值為（ ）a. b. c. 或d. 【答案】a【解析】【分析】由題知兩直線平行，直接列出()即可求得【詳解】直線和直線平行，可得，得.故選：a.【點(diǎn)睛】本題考查了已知兩直線平行求參的問(wèn)題，注意要排除兩直線重合的情況，屬于基礎(chǔ)題.6. q是橢圓上一點(diǎn)，為左、右焦點(diǎn)，過(guò)f1作外角平分線的垂線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是

4、（ ）a. 直線b. 圓c. 橢圓d. 雙曲線【答案】b【解析】設(shè)從引的外角平分線的垂線，垂足為，中，是的平分線，可得，根據(jù)橢圓的定義，可得，即動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離為定值，因此,點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓，故選b.7. 已知雙曲線的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，且其漸近線方程為，則該雙曲線的方程為（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】先求出拋物線的焦點(diǎn)，即可得雙曲線的焦點(diǎn)，可得到的值，結(jié)合雙曲線的漸近線方程可以設(shè)雙曲線的方程為,由雙曲線的幾何性質(zhì)可得 , 可解得,將代入所設(shè)雙曲線的方程即可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為，所以雙曲線的右焦點(diǎn)也為,則有，因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為,

5、所以可設(shè)其方程為,因,則 ,解得，則雙曲線的方程為,故選b .【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的方程與與性質(zhì)，以及雙曲線的方程與性質(zhì)，屬于中檔題. 求解雙曲線方程的題型一般步驟：（1）判斷焦點(diǎn)位置；（2）設(shè)方程；（3）列方程組求參數(shù)；（4）得結(jié)論.8. 古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯的著作圓錐曲線論中給出了圓的另一種定義：平面內(nèi)，到兩個(gè)定點(diǎn)、距離之比是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓.若兩定點(diǎn)、的距離為3，動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡圍成區(qū)域的面積為（ ）.a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】以a為原點(diǎn)，直線ab為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，首先確定圓的方程，然后確定其面積即可.【詳解】以a為原點(diǎn)，直線ab為x軸建立

6、平面直角坐標(biāo)系，則設(shè)，依題意有，化簡(jiǎn)整理得，即，則圓的面積為故選d【點(diǎn)睛】本題考查軌跡方程求解、圓的面積的求解等知識(shí)，屬于中等題9. 下列說(shuō)法正確的是（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【詳解】對(duì)a,若 或，故錯(cuò)誤；或或a與斜交 ，故錯(cuò)誤由線面垂直的性質(zhì)定理可知，若，則，正確或a與斜交 ，故錯(cuò)誤本題選擇c選項(xiàng).10. 唐代詩(shī)人李頎的詩(shī)古從軍行開(kāi)頭兩句說(shuō)：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河.”詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題“將軍飲馬”問(wèn)題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營(yíng)所在區(qū)域?yàn)?，若將軍從點(diǎn)處出發(fā)，河岸線

7、所在直線方程為，并假定將軍只要到達(dá)軍營(yíng)所在區(qū)域即回到軍營(yíng)，則“將軍飲馬”的最短總路程為（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】先求出點(diǎn)a關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，點(diǎn)到圓心的距離減去半徑即為最短.【詳解】解：設(shè)點(diǎn)a關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，的中點(diǎn)為，故解得，要使從點(diǎn)a到軍營(yíng)總路程最短，即為點(diǎn)到軍營(yíng)最短的距離，“將軍飲馬”的最短總路程為，故選a.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)學(xué)文化問(wèn)題、點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系等等，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立出數(shù)學(xué)模型，從而解決問(wèn)題.11. 已知三棱錐中，平面，且，.則該三棱錐外接球的體積為( )a. b. c. d. 【答案】d【解析】【

8、詳解】， 是以 為斜邊的直角三角形，其外接圓半徑 ，則三棱錐外接球即為以為底面，以 為高的三棱柱的外接球，三棱錐外接球的半徑滿足 故三棱錐外接球的體積 故選d.【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是球內(nèi)接多面體，其中根據(jù)已知求出球的半徑是解答的關(guān)鍵12. 已知雙曲線c：-=1（）的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)且與雙曲線的一條漸近線垂直的直線與的兩條漸近線分別交于兩點(diǎn)，若=，則雙曲線c的離心率為（ ）.a. b. c. d. 或【答案】d【解析】【分析】當(dāng)位于的兩側(cè)時(shí)，由=知，可得，在中，由，由勾股定理可得的關(guān)系，即可求出離心率.當(dāng)位于的同側(cè)時(shí)，由圖可以找出的關(guān)系，即可求出離心率.【詳解】由題意知：雙曲線的漸近線

9、方程為 ，當(dāng)位于的兩側(cè)時(shí)，如圖設(shè)在上， ，則 ， ， ， ，即 ， ， ，在中，由勾股定理得：，.當(dāng)位于的同側(cè)時(shí)， 點(diǎn)到直線距離 ， ， ， ，直線與垂直，是等腰三角形，由圖知 ， ， ， 是直角三角形.，故選：d【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓錐曲線的性質(zhì)和離心率，找出關(guān)于的關(guān)系式是關(guān)鍵，屬于中檔題.二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13. 已知拋物線的方程為，則的焦點(diǎn)坐標(biāo)是_【答案】【解析】【分析】把拋物線的方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程，再由標(biāo)準(zhǔn)方程得出的焦點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】解：由拋物線的方程為，得出其標(biāo)準(zhǔn)方程為，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程以及由標(biāo)準(zhǔn)方程

10、求拋物線的焦點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題型.14. 過(guò)點(diǎn)的直線被曲線截得的弦長(zhǎng)為2，則直線的方程為_(kāi).【答案】或【解析】【分析】考慮斜率存在和不存在兩種情況，利用垂徑定理計(jì)算得到答案.【詳解】圓的方程可化為圓心，半徑為；直線過(guò)點(diǎn)且被圓截得的弦長(zhǎng)為2，的斜率不存在時(shí)，直線，圓心到的距離為弦長(zhǎng)為：滿足題意；的斜率存在時(shí)，設(shè)：，即， 圓心到的距離，：綜上所述，直線的方程或；故答案為或【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓相交問(wèn)題，忽略掉斜率不存在的情況是容易發(fā)生的錯(cuò)誤.15. 已知直線，若成等差數(shù)列，則當(dāng)點(diǎn)到直線的距離最大時(shí)，直線的斜率是_.【答案】【解析】【分析】由已知得直線過(guò)定點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)到直線距離定義求解.【詳解】根據(jù)題

11、意得即，直線的方程為，可化為，所以直線過(guò)點(diǎn)，若點(diǎn)到直線的距離最大，則直線 ，所以，解得.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列，直線方程的應(yīng)用，兩直線垂直的斜率關(guān)系.16. 已知拋物線：，過(guò)焦點(diǎn)作傾斜角為的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，且，則_.【答案】3【解析】【分析】首先寫(xiě)出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，然后求解直線的方程，利用焦半徑公式求解比值【詳解】解：拋物線y22px（p0）的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），直線l傾斜角為60，直線l的方程為：y0（x）設(shè)直線與拋物線的交點(diǎn)為a（，）、b（，），|af|，|bf|，聯(lián)立方程組，消去y并整理，得12x220px+3p20，解得，|af|2p，|bf|，|af|：|bf|3：1，的值

12、為3故答案為3【點(diǎn)睛】本題重點(diǎn)考查了拋物線的幾何性質(zhì)、方程、直線與拋物線的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題三、解答題（本大題共6小題，其中第17題10分，其余各題均12分，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）17. 已知命題：方程表示橢圓，命題：，.（1）若命題為真，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若為真，為真，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1) ;(2) .【解析】試題分析:(1) 命題為真，根據(jù)一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象討論和,求出范圍即可;(2)根據(jù)復(fù)合命題的關(guān)系可知p真q假,求出m的取值范圍即可.試題解析:（1）命題為真，當(dāng) 時(shí)，；當(dāng)時(shí)，不等式恒成立.綜上，. （2）若為真，則. .若為

13、真，為真，為假.18. 已知長(zhǎng)方體中，棱，棱，連接，過(guò)b點(diǎn)作的垂線交于e，交于f. （1）求證：平面；（2）求平面與直線所成角的正弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)詳解；（2）【解析】【分析】（1）利用已知條件證明和即可得證.（2）連接，由，知 平面，所以即為直線與平面所成的角.由條件，即可求出直線與平面所成的角的正弦值.【詳解】 （1）平面， ，連接，則， ， 平面，又 平面， ，又， ，平面，則，又 ，平面，（2）連接， 平面，即為直線與平面所成的角.， ，, ，所以平面與直線所成角正弦值.【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面垂直的證明以及線面角的求法，屬于?？碱}.19. 已知的頂點(diǎn)邊上的中線所在直線方程為

14、，邊上的高所在直線方程為.求（1）頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）直線的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求所在邊的直線方程，然后與所在直線方程建立方程組求解.（2）先設(shè)，求出，代入直線方程，再根據(jù)在所在直線上，代入的直線方程，建立方程組求出點(diǎn)b的坐標(biāo)，再用兩點(diǎn)式寫(xiě)出bc所在的直線方程.【詳解】（1）因?yàn)檫吷系母咚谥本€方程為，所以，又因點(diǎn)，所以所在邊的直線方程為：又因?yàn)檫吷系闹芯€所在直線方程為，由，得所以（2）設(shè)，則的中點(diǎn)在中線上所以，即又點(diǎn)在所在直線上所以由，解得所以所以直線的方程，即【點(diǎn)睛】本題主要考查兩條直線的交點(diǎn)，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.20. 已知為橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)在

15、上，且軸，橢圓的離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）若直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，先求出，再由離心率求出，根據(jù)求出，即可得出橢圓方程；（2）先設(shè)，聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理與，以及判別式大于0，即可求出的取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)闉闄E圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，且軸，所以；又橢圓的離心率為，所以，因此，所以橢圓的方程為；（2）設(shè)，由得 ，所以，故，由，得，即，整理得，解得；又因，整理得，解得或；綜上，的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及根據(jù)直線與橢圓位置關(guān)系求參數(shù)的問(wèn)題，通常需要聯(lián)立直線與橢圓方

16、程，結(jié)合韋達(dá)定理，判別式等求解，屬于?？碱}型.21. 如圖，四棱錐中，底面為菱形，平面，為的中點(diǎn)（）證明：平面；（）設(shè)，三棱錐的體積為，求二面角的余弦值【答案】()證明見(jiàn)解析；（）.【解析】【分析】() )連接交于點(diǎn)，連接，根據(jù)中位線定理可得，由線面平行的判定定理即可證明平面；（）以點(diǎn)為原點(diǎn)，以方向?yàn)檩S，以方向?yàn)檩S，以方向?yàn)檩S，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面 與平面 的一個(gè)法向量，根據(jù)空間向量夾角余弦公式，可得結(jié)果.【詳解】()連接交于點(diǎn)，連接，則為中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以，平面平面，所以平面； （）設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為， ，則.取中點(diǎn)，連接.以點(diǎn)為原點(diǎn)，以方向?yàn)檩S，以方向?yàn)檩S，以方向?yàn)檩S，建立如圖所

17、示坐標(biāo)系. ， ，設(shè)平面的法向量為，由，得，令，則，平面的一個(gè)法向量為，即二面角的余弦值為.【點(diǎn)晴】本題主要考查線面平行的判定定理以及利用空間向量求二面角，屬于中檔題題.空間向量解答立體幾何問(wèn)題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）寫(xiě)出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.22. 已知拋物線，過(guò)其焦點(diǎn)的直線與拋物線相交于、兩點(diǎn)，滿足.（1）求拋物線的方程；（2）已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，記直線、的斜率分別為，求的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）設(shè)直線的方程為，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，消去，利用韋達(dá)定理并結(jié)合條件可求出實(shí)數(shù)的值，由此得出拋物線的方程；（2）由（1）得出直線的方程為，將該直線方程與拋